1、30.1二次函数知识点 1二次函数的概念1.下列函数表达式中,一定为二次函数的是()A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+1 D.y=x2+1x2. 二次函数y=2x(x-3)的二次项系数与一次项系数的和为()A.2 B.-2 C.-1 D.-43.若函数y=(3-m)xm2-7-x+1是二次函数,则m的值为()A.3 B.-3 C.3 D.94.若函数y=mxn+2x-1是y关于x的二次函数,则m,n.5.教材练习第1题变式 二次函数y=x(3-5x)-1的二次项系数、一次项系数 、常数项分别为.6.下列各式中,y一定是x的二次函数的有哪些?y一定不是x的二次函数的
2、有哪些?对于y有可能是x的二次函数的,请补充条件,使它一定是y关于x的二次函数.(1)y=3x2+2x-5;(2)y=(3x+2)(4x-3)-12x2;(3)y=(a-2)xa2-2+bx+c;(4)y=mx2+(m-2)x+1;(5)y=(b-1)x2+3;(6)y=2x2+3x-k(k为常数).知识点 2二次函数的建模7.下列函数关系中,是二次函数的是()A.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离s一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.半圆面积S与半径R之间的关系8.n个球队进行单循环比赛(参加比赛的任何一个球队都与
3、其他所有的球队各赛一场),总的比赛场数为y,则()A.y=2n B.y=n2C.y=n(n-1) D.y=12n(n-1)9. 某厂四月份的产值是3百万元,设第二季度每个月产值的增长率相同,都为x(x0),六月份的产值为y百万元,则y关于x的函数表达式是 .10.某公司经销一种绿茶,每千克的成本为50元.市场调查发现,在一段时间内,销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化,具体表达式为w=-2x+240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y元,解答下列问题:(1)求y关于x的函数表达式;(2)请指出y是x的什么函数,并指出各项系数.11.下列函数中,是二次函数的有()y=1-2x2
4、;y=1x2;y=x(1-x);y=(1-2x)(1+2x).A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12.如图30-1-1,正方形ABCD的边长为1,E,F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合),不管点E,F怎样运动,始终保持AEEF.设BE=x,DF=y,则y是x的函数,函数表达式是()图30-1-1A.y=x+1 B.y=x-1C.y=x2-x+1 D.y=x2-x-113.已知关于x的函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1,若这个函数是一次函数,则m的值为;若这个函数是二次函数,则m的值满足.14. 当k为何值时,函数y=(k+1)xk2-2k-1+(k-3)x+k是
5、y关于x的二次函数?15.如图30-1-2,利用长为18 m的墙,用篱笆围一个矩形场地ABCD,且ADAB,设AD的长为x m,矩形的面积为S m2.(1)若篱笆的长为36 m,求S与x之间的函数表达式,并直接写出自变量x的取值范围;(2)在(1)的条件下,若矩形场地的面积为160 m2,求出此时AD的长.图30-1-216.某果园有100棵橙子树,平均每棵橙子树结600个橙子.现准备多种一些橙子树提高产量,但是如果多种树,那么树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光将会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)如果果园增种x棵橙子树,那么果园共有棵橙子树,平均每棵橙子
6、树结个橙子;(2)如果果园中橙子的总产量为y个,请写出y与x之间的关系式,并填写下表:x/棵78910111213y/个(3)根据表格可以看出,当果园里增种多少棵树时,可以使橙子的总产量最高?最高总产量是多少?教师详解详析【备课资源】教材的地位和作用这节内容是在学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数的基础上来学习二次函数的概念的.二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数,在历年的中考题中占有较大比例.同时,二次函数和以前学过的一元二次方程有着密切的联系.学习二次函数将为一元二次方程的解答提供新的方法和途径,并使学生能更为深刻地理解“数形结合”的重要思想.而本节课的二次函数的概念是学习二次
7、函数的基础,为以后学习二次函数的图像作铺垫,所以这节课在整个初中数学体系中具有承上启下的重要作用教学目标知识与技能掌握二次函数的概念,通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义.了解二次函数与一次函数、反比例函数、正比例函数的区别与联系过程与方法1.在实际问题情境中,使学生经历探索、分析和建立二次函数的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的关系.2.结合具体情境体会二次函数的意义,体会数学建模思想在解决实际问题过程中的重要作用情感、态度与价值观通过解决实际问题,使学生认识到学习二次函数的必要性,体验函数思想是有效地描述现实世界中变量间关系的一种重要手段,更深切
8、地感知数学知识与现实世界的密切联系教学重点难点重点理解二次函数的意义,掌握二次函数的一般表达式难点对二次函数的一般形式中系数的意义的理解易错点判定一个函数是二次函数,应满足:(1)含自变量的表达式必须是整式;(2)自变量的最高次数为2;(3)二次项系数不等于0教学导入设计活动一忆一忆说出下面两个问题中各自两个量之间的函数表达式,并指出它们是不是正比例函数,是不是一次函数.(1)汽车以40千米/时的速度从A站出发,匀速行驶了t小时,那么汽车行驶的路程s(千米)和时间t(时)之间的函数表达式为s=40t,它是正比例函数;(2)汽车从A站出发,在某一时刻行驶了4千米,再以40千米/时的速度匀速行驶了
9、t小时,那么汽车行驶的路程s(千米)与时间t(时)之间的函数表达式为s=40t+4,它是一次函数活动二想一想(1) 边长为a的正方形,面积S=a2;(2)矩形的周长为20 cm,其中一边长为x cm,则面积y(cm2)与边长x(cm)之间的函数表达式是y=.它是一次函数吗?是反比例函数吗?答案 (10-x)x不是不是【详解详析】1.C解析 选项A,y=3x-1是一次函数,故A项错误;选项B,y=ax2+bx+c当a=0时不是二次函数,故B项错误;选项C,s=2t2-2t+1是二次函数,故C项正确;选项D,y=x2+1x的右边不是整式,所以它不是二次函数.故D项错误.2.D3.B解析 函数y=(
10、3-m)xm2-7-x+1是二次函数,m2-7=2,且3-m0,解得m=-3.4.0=25.-5,3,-1解析 y=x(3-5x)-1=-5x2+3x-1,其二次项系数、一次项系数、常数项分别为-5,3,-1. 6.解:(1)y=3x2+2x-5,y一定是x的二次函数.(2)y=(3x+2)(4x-3)-12x2,y一定不是x的二次函数.(3)y=(a-2)xa2-2+bx+c,y不一定是x的二次函数,当a=-2时,y是x的二次函数.(4)y=mx2+(m-2)x+1,y不一定是x的二次函数,当m0时,y是x的二次函数.(5)y=(b-1)x2+3,y不一定是x的二次函数,当b1时,y是x的二
11、次函数.(6)y=2x2+3x-k(k为常数),y一定是x的二次函数.y一定是x的二次函数的有(1)(6),y一定不是x的函数的是(2),y不一定是x的二次函数的是(3)(4)(5),补充条件见以上分析中.7.D解析 A项,y=kx+b(k,b为常数),是一次函数,错误;B项,t=sv,是反比例函数,错误;C项,C=3a,是正比例函数,错误;D项,S=12R2,是二次函数,正确.8.D解析 每个球队与其他队比赛(n-1)场,因为是单循环比赛,所以共比赛12n(n-1)场,由此得出函数表达式为y=12n(n-1).9.y=3(1+x)2解析 五月份的产值为3(1+x)百万元,六月份的产值为3(1
12、+x)2百万元,y=3(1+x)2.10.解:(1)y=-2x2+340x-12000.(2)y是x的二次函数,其中二次项系数为-2,一次项系数为340,常数项为-12000.11.C12.C解析 由题意易知BAE+AEB=90,CEF+AEB=90,BAE=CEF.又B=C=90,ABEECF,ABEC=BECF,即11-x=x1-y,1(1-y)=(1-x)x,化简得y=x2-x+1.故选C.13.0m0且m1解析 根据一次函数的定义,得m2-m=0,解得m=0或m=1.又m-10,即m1,当m=0时,这个函数是一次函数.根据二次函数的定义,得m2-m0,解得m10,m21.当m0且m1时
13、,这个函数是二次函数.14.解:由题意,得k2-2k-1=2,k+10,解,得k1=3,k2=-1,解,得k-1,当k=3时,y是关于x的二次函数.15.解:(1)AD=BC=x m,AB=(36-2x)m.由题意,得S=x(36-2x)=-2x2+36x(9x12).(2)当S=160时,-2x2+36x=160,解得x1=10,x2=8.9x12,x=8舍去,AD=10 m.16.解:(1)(100+x)(600-5x)(2)y=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60000,填写的表格如下:x/棵78910111213y/个60455604806049560500604956048060455(3)根据表格可以看出,当果园里增种10棵树时,橙子的总产量最高,最高总产量是60500个.
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