1、小结与思考类型之一二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质1.2019哈尔滨 将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为()图5-X-1A.y=2(x+2)2+3 B.y=2(x-2)2+3C.y=2(x-2)2-3 D.y=2(x+2)2-32.2019益阳 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图5-X-1所示,有下列结论:ac0;b-2a0;b2-4ac0;a-b+c2时,y的值随x值的增大而增大,则实数m的取值范围是.4.如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M(1,1),那么称此抛物线为定点抛物线.(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出
2、一条定点抛物线的一个函数表达式.小敏写出了一个答案:y=2x2+3x-4,请你写出一个不同于小敏的答案;(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式,请你解答.类型之二二次函数表达式的求法5.一条抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的函数表达式为()A.y=-2(x-1)2+3 B.y=-2(x+1)2+3C.y=-(2x+1)2+3 D.y=-(2x-1)2+36.2019徐州 已知二次函数的图像经过点P(2,2),顶点为O(0,0),将该图像向右平移,当它再
3、次经过点P时,所得抛物线的函数表达式为.7.2018宁波 已知抛物线y=-12x2+bx+c经过点(1,0),0,32.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)将抛物线y=-12x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.类型之三二次函数与一元二次方程之间的联系8.若二次函数y=kx2-7x-7的图像与x轴有交点,则k的取值范围是.9.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数值y与自变量x的部分对应值如下表:x-5-4-3-2-1y3-2-5-6-5则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的根是.10.2019湖州 已知抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两
4、个不同的交点.(1)求c的取值范围;(2)若抛物线y=2x2-4x+c经过点A(2,m)和点B(3,n),试比较m和n的大小,并说明理由.类型之四二次函数的实际应用11.2019黔东南 某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康,某村组织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如下表:x(元)152030y(袋)252010若日销售量y是销售价x的一次函数,试求:(1)日销售量y与每袋的销售价x之间的函数表达式;(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日
5、销售的利润最大,每袋的销售价应定为多少元?每日销售的最大利润是多少元?12.如图5-X-2,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m,宽是4 m.按照图中所示的平面直角坐标系,抛物线可以用y=-16x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m,到地面OA的距离为172 m.(1)求该抛物线的函数表达式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m,宽为4 m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离最小是多
6、少米?图5-X-2类型之五二次函数与几何知识的综合13.2017扬州 如图5-X-3,已知ABC的顶点坐标分别为A(0,2),B(1,0),C(2,1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b的取值范围是()图5-X-3A.b-2 B.b-214.如图5-X-4,正方形OABC和正方形CDEF在平面直角坐标系中,点O,C,F在y轴上,点O为坐标原点,M为OC的中点,抛物线y=ax2+b经过M,B,E三点,则FECB的值为.图5-X-4教师详解详析1.B2.A解析 抛物线开口向下,且与y轴的正半轴相交,a0,ac0,故正确;对称轴在-1至-2之间,-2-b2
7、a-1,4ab2a,b-2a0,错误;当x=-1时,y=a-b+c0,错误.正确的是.故选A.3.m-2解析 抛物线的对称轴为直线x=-m.当x2时,y的值随x值的增大而增大,-m2,解得m-2.4.解:(1)答案不唯一,依题意,可选择点(1,1)作为抛物线的顶点,二次项系数是1,根据顶点式,得y=x2-2x+2.(2)定点抛物线的顶点坐标为(b,c+b2+1),且-1+2b+c+1=1,c=1-2b,则顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1,当b=1时,c+b2+1的值最小,即抛物线顶点纵坐标的值最小,此时c=-1,此时抛物线的函数表达式为y=-x2+2x.5.B6.y=1
8、2x2-4x+8解析 设过点O(0,0)的二次函数的表达式为y=ax2,把点P(2,2)代入,有2=4a,a=12,抛物线的函数表达式为y=12x2,把这个图像向右平移m个单位长度的表达式为y=12(x-m)2,代入P(2,2),有2=12(2-m)2,解得m1=0(舍去),m2=4,所以所得的抛物线的函数表达式为y=12(x-4)2=12x2-4x+8.7.解:(1)把(1,0),0,32代入y=-12x2+bx+c,得-12+b+c=0,c=32,解得b=-1,c=32.抛物线的函数表达式为y=-12x2-x+32.(2)y=-12x2-x+32=-12(x+1)2+2,顶点坐标为(-1,
9、2),将抛物线y=-12x2-x+32平移,使其顶点恰好落在原点的一种平移方法:先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度.(答案不唯一)平移后的函数表达式为y=-12x2.8.k-74且k0解析 二次函数y=kx2-7x-7的图像与x轴有交点,b2-4ac=49+28k0且k0,解得k-74且k0,则k的取值范围是k-74且k0.9.x1=-5,x2=1解析 观察表格可知该二次函数图像的对称轴为直线x=-2,当x=-5或x=1时,y的值都是3,一元二次方程ax2+bx+c=3的根是x1=-5,x2=1.10.解:(1)抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不同的交点,方程2x2-4x+c
10、=0有两个不相等的实数根,(-4)2-42c0.解得c2.(2)m0,在抛物线对称轴的右侧,y随x的增大而增大.23,mn.11.解:(1)设日销售量y与每袋的销售价x之间的函数表达式为y=kx+b.由题意,得25=15k+b,20=20k+b,解得k=-1,b=40,故日销售量y与每袋的销售价x之间的函数表达式为y=-x+40.(2)依题意,设利润为w元,得w=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400.整理,得w=-(x-25)2+225.-16,这辆货车能安全通过.(3)当y=8时,-16x2+2x+4=8,即x2-12x+24=0,x1+x2=12,x1x2=24,两排灯的水平
11、距离的最小值是|x1-x2|=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=122-424=144-96=43(m).即两排灯的水平距离最小是43 m.13.C解析 把C(2,1)代入y=x2+bx+1,得22+2b+1=1,解得b=-2.故b的取值范围是b-2.故选C.14.1+2解析 设正方形OABC的边长为m,正方形CDEF的边长为n.M为OC的中点,M0,m2,B(m,m),E(n,m+n).抛物线y=ax2+b经过点M,B,b=m2,am2+b=m,解得a=12m,b=m2,抛物线的函数表达式为y=12mx2+m2.把E(n,m+n)代入抛物线的函数表达式,得m+n=12mn2+m2,解得n=m+2m或n=m-2m(不合题意,舍去),即CB=m,FE=m+2m,FECB=1+2.
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