1、2018-2019 学年广东省汕尾市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z ，则 z（ ）A B C D2 （5 分）设全集 UR，集合 A x|1x3，B x|log2x1，则 AB（ ）A （0，3） B （0，3 C （0，2 D （1，23 （5 分）如图是某地某月 1 日至 15 日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A这 15 天日平均温度的极差为 15B连续三天日平
2、均温度的方差最大的是 7 日，8 日，9 日三天C由折线图能预测 16 日温度要低于 19D由折线图能预测本月温度小于 25的天数少于温度大于 25的天数4 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线方程为 y x，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B C D5 （5 分）设向量 （1，2） ， （2x，1） ，若 ，则 x（ ）A B C4 D26 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 2 页（共 24 页）A B C D7 （5 分）函数 f（x ） 的图象大致为（ ）A BC D8 （5 分） 数书九
3、章是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的 x ，输出的 y ，则判断框“ ”中应填入的是（ ）Ak2？ Bk3？ Ck4？ Dk 5？9 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知第 3 页（共 24 页）c +1，b2，A ，则 B（ ）A B C D 或10 （5 分）已知函数 f（x ）log （2x）1og 2（x +4） ，则下列结论中正确的是（ ）A函数 f（x）的定义域是 4，2B函数 yf （x 1）是偶函数C函数
4、f（x ）在区间1，2）上是减函数D函数 f（x）的图象关于直线 x1 轴对称11 （5 分）若函数 f（x ）cos2 xasin2x 的图象关于直线 x 轴对称，则函数y cos（x ）+f（x）的最小值为（ ）A2 B C0 D12 （5 分）已知 f（x ） ，若函数 yf（x）m（2x1）有两个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A （，8 12）（2 ，+ ） B （4C （，4 6）（1， +） D （， 2 2）（1，+）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，若 zx+2y，则 z 的
5、最大值为 14 （5 分） （ x） 5 的展开式中 的系数是 15 （5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，P（1，y 0）是抛物线上一点，过点 P 向抛物线 C 的准线引垂线，垂足为 D，若PDF 为等边三角形，则 p 16 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，ABC 是边长为 2 的等边三角形，ADC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，以 AC 为折痕把ADC 折起，当 DAAB 时，四面体 DABC的外接球的体积为 第 4 页（共 24 页）三、解答题
6、：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分17 （12 分）已知数列a n为等差数列，S 20，S 6S 3 21（）求数列a n的通项公式；（）设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Tn18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD 为矩形，APB 是以P 为直角的等腰直角三角形，平面 PAB平面 ABCD（）证明：平面 PAD平面 PBC；（）M 为直线 PC 的中点，且 APAD2，求二面角 AMD B 的正弦值19 （12 分）已知椭圆 C：
7、1（ab0）经过点（ ）离心率为 （）求椭圆 C 的方程；（）过点 M（2，0）的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点，若 1，求直线 l 的方程20 （12 分）微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号，很多手机用户加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，运动的积极性明显增强微信运动公众号为了解用户的一些情况，在微信运动用户中随机抽取了 100 名用户，统计了他们某一天的步数，数据整理如下：x/万步 0x0.4 0.4 x 0.80.8 x 1.21.2 x 1.61.6 x 2.02.0 x 2.42.4 x 2.8y/人 5 20 50 18 3 3
8、 1（）根据表中数据，在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图，并在纵轴上标明各小长方形的高；第 5 页（共 24 页）（）若视频率分布为概率分布，在微信运动用户中随机抽取 3 人，求至少 2 人步数多于 1.2 万步的概率；（）若视频率分布为概率分布，在微信运动用户中随机抽取 2 人，其中每日走路不超过 0.8 万步的有 X 人，超过 1.2 万步的有 Y 人，设 |X Y|，求的分布列及数学期望21 （12 分）函数 f（x ）e x11n（xa） （）若函数 f（x ）在点（2，f（2） ）处的切线过点（1， 0） ，求 a 的值；（）若不等式 f（x ）0 在定义域上恒成立，求 a
9、的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin22acos （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（）点 P（1，1） ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，若| PA|PB|5，求 a 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +2|+|xa| （）若函数 f（x ）的最小值为 2，求 a 的值；（）若
10、 x（ 4，+）时，不等式 f（x）2x 成立，求 a 的取值范围第 6 页（共 24 页）2018-2019 学年广东省汕尾市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z ，则 z（ ）A B C D【分析】通过计算复数运算，求出 z 即可【解答】解：z i，故选：A【点评】本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题2 （5 分）设全集 UR，集合 A x|1x3，B x|log2x1，则 AB（
11、;）A （0，3） B （0，3 C （0，2 D （1，2【分析】由对数不等式的单调性解对数不等式得：B（0，2，又 A（1，3） ，故得解【解答】解：解对数不等式 log2x1 得：0x2，即 B（0，2，又 A（1，3） ，所以 AB （1，2 ，故选：D【点评】本题考查了对数不等式的解法及交集的运算，属简单题3 （5 分）如图是某地某月 1 日至 15 日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列第 7 页（共 24 页）结论正确的是（ ）A这 15 天日平均温度的极差为 15B连续三天日平均温度的方差最大的是 7 日，8 日，9 日三天C由折线图能预测 16 日温度要低
12、于 19D由折线图能预测本月温度小于 25的天数少于温度大于 25的天数【分析】利用折线图的性质直接求解【解答】解：由某地某月 1 日至 15 日的日平均温度变化的折线图，得：在 A 中，这 15 天日平均温度的极差为：381919，故 A 错误；在 B 中，连续三天日平均温度的方差最大的是 7 日，8 日，9 日三天，故 B 正确；在 C 中，由折线图无法预测 16 日温度要是否低于 19，故 C 错误；在 D 中，由折线图无法预测本月温度小于 25的天数是否少于温度大于 25的天数，故 D 错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能
13、力，考查数形结合思想，是基础题4 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线方程为 y x，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B C D【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得 b a，再由离心率公式及 a，b，c 的关系，计算即可得到所求值【解答】解：双曲线 1 的渐近线方程为 y x，第 8 页（共 24 页）由一条渐近线为 y x，可得 ，即 b a，即有 e 故选：B【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题5 （5 分）设向量 （1，2） ， （2x，1） ，若 ，则 x（ ）A B C4 D
14、2【分析】根据 即可得出 ，从而得出 14x0，解出 x 即可【解答】解： ； ；14x0； 故选：B【点评】考查共线向量基本定理，以及平行向量的坐标关系6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【分析】利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积【解答】解：几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为： 第 9 页（共 24 页）故选：A【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键7 （5 分）函数 f（x ） 的图象大致为（ ）A BC D【分析】先判断函数奇函数，再求出 f（1）即可判断【解
15、答】解：f（x ） f（x） ，则函数 f（x）为奇函数，故排除 AD，当 x1 时，f（ 1）1+cos10，故排除 B，故选：C【点评】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值，属于基础题8 （5 分） 数书九章是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的 x ，输出的 y ，则判断框“ ”中应填入的是（ ）第 10 页（共 24 页）Ak2？ Bk3？ Ck4？ Dk 5？【分析】模拟程序的运行过程，即可得出输出 y 的值时判断框中应填入的是什么【解答】解：模拟程序的运
16、行过程如下，输入 x ，k1，y 1 +1 ，k2，y +1 ，k3，y +1 ，k4，y +1 ，此时不满足循环条件，输出 y ；则判断框中应填入的是 k4？故选：C【点评】本题考查了算法与程序框图的应用问题，是基础题9 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知c +1，b2，A ，则 B（ ）A B C D 或【分析】由已知利用余弦定理可得 a，由正弦定理可求得 sinB 的值，结合大边对大角可求 B 为锐角，即可求得 B 的值【解答】解：c +1，b2，A ，由余弦定理可得：a ，第 11 页（共 24 页）由正弦定理可得：sinB ，ba，B
17、 为锐角，B 故选：C【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，大边对大角在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题10 （5 分）已知函数 f（x ）log （2x）1og 2（x +4） ，则下列结论中正确的是（ ）A函数 f（x）的定义域是 4，2B函数 yf （x 1）是偶函数C函数 f（x ）在区间1，2）上是减函数D函数 f（x）的图象关于直线 x1 轴对称【分析】由对数的运算性质及真数大于 0，可判断 A；由偶函数的定义可判断 B；由函数的单调性可判断 C；由 f（2x）与 f（x）的关系可判断 D【解答】解：函数 f（x ）log （2x）1og 2（
18、x +4）log 2（2x ）log 2（x+4）log 2（2x ） （4+x） ，由 2x0，x+40，可得4x 2，即定义域为（4 ，2） ，故 A 错误；由 yf（x1）log 2（3 x） （3+x）log 2（3x 2） ，定义域为（3，3） ，且 f（x1） f（x 1） ，即 yf（x1）为偶函数，故 B 正确；由 x 1，2） ，f（1）log 29，f （0）log 28，即 f（1）f（0） ，故 C 错误；由 f（2x） log 2x（6x）f（x） ，可得 f（x）的图象不关于直线 x1 对称，故D 错误故选：B【点评】本题考查对数函数的图象和性质，主要是定义域和奇偶
19、性和单调性、对称性，考查化简变形能力和运算能力，属于基础题11 （5 分）若函数 f（x ）cos2 xasin2x 的图象关于直线 x 轴对称，则函数第 12 页（共 24 页）y cos（x ）+f（x ）的最小值为（ ）A2 B C0 D【分析】先把 f（x ）化为 Asin（x+）的形式，再结合对称性确定 a，之后把 f（x）代入 y 利用二倍角余弦形成二次函数即可得解【解答】解：f（x ）cos2 x asin2x （ cos2x ） cos（2x+ ） ，tan a，函数 f（x）的图象关于直线 x 轴对称， ， ，tan1a，f（x）cos2x +sin2x ，y
20、2cos2（x ） ，结合二次函数的单调性可知，当 时，y min ，故选：D【点评】此题考查了三角函数的变形，对称性，倍角公式，换元法等，难度适中12 （5 分）已知 f（x ） ，若函数 yf（x）m（2x1）有两个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A （，8 12）（2 ，+ ） B （4C （，4 6）（1， +） D （， 2 2）（1，+）【分析】由函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系得：yf（x）m（2x1）第 13 页（共 24 页）有两个零点等价于 tf（x）的图象与直线 tm （2x1）有两个交点，由利用导数研究曲线的切线问题得：当 x0 时，过点（ ，
21、0）的直线与 yxe x1切于点（x 0，x 0e ） ，解得： x01，即 2m（1+1）e 11 2，即 m1，当 x0 时，设直线 ym（ 2x1）与曲线 y +2， （x 2）相切，解得 m6+4，结合图象可知：实数 m 的取值范围是：（，4 6）（1，+） ，得解【解答】解：yf（x）m（2x 1）有两个零点等价于 tf（x）的图象与直线tm（2x1）有两个交点，当 x0 时，过点（ ，0）的直线与 yxe x1 切于点（x 0，x 0e ） ，又 y（x+1）e x1 ，即切线方程为：yx 0e （ x0+1）e （xx 0） ，又此切线过点（ ，0） ，所以解得：x 01，即 2
22、m（1+1） e11 2，即 m1，当 x0 时，设直线 ym（ 2x1）与曲线 y +2， （x 2）相切，得 2mx2（m+2）x 10，由0 得 m2+12m+40，由图知 m6+4 ，结合图象可知：当 tf（x）的图象与直线 t m（2x1）有两个交点时，实数 m 的取值范围是：（ ，4 6）（1，+ ） ，故选：C第 14 页（共 24 页）【点评】本题考查了函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系及利用导数研究曲线的切线问题，属难度较大的题型二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，若 zx+2y，则 z 的最大值为 7
23、 【分析】画出满足条件的平面区域，将 zx+2y 转化为：y x+ ，通过图象得出函数过（0，1）时，z 取到最大值，求出即可【解答】解：画出 x，y 满足约束条件 的平面区域，如图示：将 zx +2y 转化为：y x+ ，通过图象得出函数过 A（3，2）时，z 取到最大值，zmax3+227，故答案为：7第 15 页（共 24 页）【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题14 （5 分） （ x） 5 的展开式中 的系数是 40 【分析】写出二项展开式的通项，由 x 的指数为1 求得 r 值，则答案可求【解答】解：（ x） 5 的展开式的通项为 令 3r101，
24、可得 r3（ x） 5 的展开式中 的系数是 故答案为：40【点评】本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题15 （5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，P（1，y 0）是抛物线上一点，过点 P 向抛物线 C 的准线引垂线，垂足为 D，若PDF 为等边三角形，则 p 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出 PQ 坐标，再由抛物线的定义，结合等边三角形的定义，得到的方程，可得 p 的值【解答】解：抛物线 C：y 22px（p0） ，焦点为 F（ ，0） ，准线为 l：x ，P（1，y 0）是抛物线上一点，则 y022p，由题意可得 D（
25、， ） ，由于PFD 为等边三角形，则有| PF|PD| FD|，即有：1+ 2p，可得 p 第 16 页（共 24 页）故答案为： 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查等边三角形的概念和两点距离公式的运用，属于中档题16 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，ABC 是边长为 2 的等边三角形，ADC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，以 AC 为折痕把ADC 折起，当 DAAB 时，四面体 DABC的外接球的体积为 【分析】证明BAD 和BCD 全等，得到BAD 和BCD 都是直角，于是得出 BD 是两个直角三角形BAD 和B
26、CD 的公共斜边，于是得出 BD 为四面体 DABC 的外接球的直径，求出 BD 的长度，可得出外接球的半径，即可求出外接球的体积【解答】解：在四面体中，由已知条件可知，ADCD，ABBC，BDBD ，则BADBCD，所以，BCDABD90，所以，BAD 和BCD 是公共斜边的直角三角形，则 BD 是四面体 DABC 外接球的一条直径，易知，ADAB cos45 ，且 ，设四面体 DABC 的外接球的半径为 R，则 ，因此，四面体 DABC 的外接球的体积为 故答案为： 【点评】本题考查球的表面积与题意，解本题的关键在于找出四面体外接球的直径，考查计算能力与推理能力，属于中等题三、解答题：共
27、70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分17 （12 分）已知数列a n为等差数列，S 20，S 6S 3 21（）求数列a n的通项公式；（）设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Tn【分析】 （）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式（）利用（）的结论，进一步利用列想想效法求出数列的和【解答】解：（）数列a n为等差数列，S 20，S 6S 321第 17 页（共 24 页）设数列的首项为 a1，公差为 d，则： ，解得：a 11，d2，故：a n2n3，
28、（）由于：a n2n3，所以： ，所以： （ ） ， ， 所以：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD 为矩形，APB 是以P 为直角的等腰直角三角形，平面 PAB平面 ABCD（）证明：平面 PAD平面 PBC；（）M 为直线 PC 的中点，且 APAD2，求二面角 AMD B 的正弦值【分析】 （）由 ABCD 为矩形，得 ADAB，再由面面垂直的性质可得 AD平面PAB，则 ADPB，结合 PAPB，由线面垂直的判定可得 PB平面 PAD
29、，进一步得到平面 PAD平面 PBC；（）取 AB 中点 O，分别以 OP，OB 所在直线为 x，y 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 MAD 与平面 MBD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角AMDB 的余弦值，再由平方关系求得二面角 AMDB 的正弦值【解答】 （）证明：ABCD 为矩形，ADAB第 18 页（共 24 页）平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB，AD平面 PAB，则 ADPB，又 PAPB，PAADA ，PB平面 PAD，而 PB平面 PBC，平面 PAD平面 PBC；（）取 AB 中点 O，分别以 OP，OB 所在直线为 x，y 轴建
30、立空间直角坐标系，由 APAD 2，APB 是以 P 为直角的等腰直角三角形，得：A（0， ，0） ，D（ 0， ，2） ，B（0， ，0） ，M （ ， ，1） ， ， 设平面 MAD 的一个法向量为 ，由 ，取 y1，得 ；设平面 MBD 的一个法向量为 ，由 ，取 z1，得 cos 二面角 AMD B 的正弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题第 19 页（共 24 页）19 （12 分）已知椭圆 C： 1（ab0）经过点（ ）离心率为 （）求椭圆 C 的方程；（）过点 M（2，0）的直线 l 交椭圆于 A，B 两
31、点，F 为椭圆 C 的左焦点，若 1，求直线 l 的方程【分析】 （）由题中已知条件可得 ， ，代入椭圆 C 的方程，将点的坐标代入椭圆方程可求出 c 的值，进而得出 a、b 的值，于是可得到椭圆 C 的方程；（）设直线 l 的方程为 xmy +2，设点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程，列出韦达定理，由等式 结合韦达定理可求出 m 的值，即可求出直线 l 的方程【解答】解：（）设椭圆 C 的焦距为 2c（c0） ，则 ， ，所以，椭圆 C 的方程为 ，将点 的坐标代入椭圆 C 的方程得 ，解得 c1，则 ， ，因此，椭圆 C 的方程为 ；
32、（）设直线 l 的方程为 xmy +2，设点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，将直线 l 的方程代入椭圆的方程，并化简得（ 2m2+3）y 2+8my+20，64m 242（2m 2+3）24（2m 21）0，解得 或 由韦达定理可得 ， ，同理可得 ，所以， （m 2+1）y 1y2+3m（y 1+y2）+9 ，解得 m4，合乎题意！第 20 页（共 24 页）因此，直线 l 的方程为 x4y20 或 x+4y20【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查韦达定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题20 （12 分）微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号，很多手
33、机用户加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，运动的积极性明显增强微信运动公众号为了解用户的一些情况，在微信运动用户中随机抽取了 100 名用户，统计了他们某一天的步数，数据整理如下：x/万步 0x0.4 0.4 x 0.80.8 x 1.21.2 x 1.61.6 x 2.02.0 x 2.42.4 x 2.8y/人 5 20 50 18 3 3 1（）根据表中数据，在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图，并在纵轴上标明各小长方形的高；（）若视频率分布为概率分布，在微信运动用户中随机抽取 3 人，求至少 2 人步数多于 1.2 万步的概率；（）若视频率分布为概率分布，在微信运动用户
34、中随机抽取 2 人，其中每日走路不超过 0.8 万步的有 X 人，超过 1.2 万步的有 Y 人，设 |X Y|，求的分布列及数学期望【分析】 （）根据题意，完成频率分布表，由此能作出频率分布直方图（）这 100 人中只有 25 人步数多于 1.2 万步，在这 100 人中随机抽取 3 人，利用互斥事件概率加法公式能求出至少 2 人步数多于 1.2 万步的概率（）由题知微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过 0.8 万步的概率为 ，超过1.2 万步的概率为 ，且当 XY0 或 XY1 时，0，当 X1，Y0 或第 21 页（共 24 页）X0，Y1 时，1，当 X2，Y0 或 X0，Y2 时
35、，2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 E【解答】解：（）根据题意，补充下表，x/万步 0x0.4 0.4 x 0.80.8 x 1.21.2 x 1.61.6 x 2.02.0 x 2.42.4 x 2.8Y/人 5 20 50 18 3 3 1频率 0.05 0.20 0.50 0.18 0.03 0.03 0.010.125 0.5 1.25 0.45 0.075 0.075 0.025根据表中数据，作出频率分布直方图如下：（）这 100 人中只有 25 人步数多于 1.2 万步，在这 100 人中随机抽取 3 人，至少 2 人步数多于 1.2 万步的概
36、率为P （）由题知微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过 0.8 万步的概率为 ，超过1.2 万步的概率为 ，且当 XY0 或 XY 1 时，0，P（0） ，当 X1，Y0 或 X0，Y 1 时，1，P（1） ，当 X2，Y0 或 X0，Y 2 时，2，P（2） ，第 22 页（共 24 页） 的分布列为： 0 1 2PE0 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程能力，是中档题21 （12 分）函数 f（x ）e x11n（xa） （）若
37、函数 f（x ）在点（2，f（2） ）处的切线过点（1， 0） ，求 a 的值；（）若不等式 f（x ）0 在定义域上恒成立，求 a 的取值范围【分析】 （）求出函数的导数，计算 k 的值，得到关于 a 的方程，解出即可；（）求出函数的导数，得到导函数的单调性，根据 ，故x0ln（x 0a） ，得到关于 a 的不等式，解出即可【解答】解：（）f（ x）e x ，kf（2） e2 ，f（2）e 21ln （2a） ，e 2 ，整理可得 lne（2a） ，解得 a1，（）由题意知，xa，f（x）e x ，设 h（x）e x ，h（x）e x+ 0，故 f（x）在（ 0，+）递增，故 xa 时，f
38、（x），当 x+时，f（x）+ ，故 f（x）0 在（a，+）上有唯一实数根 x0，当 x（a，x 0）时，f（x ）0，当 x（x 0，+ ）时， f（x ）0，第 23 页（共 24 页）故 xx 0 时，f（x）取最小值，由 f（x 0） 0，得 ，故 x0ln（x 0a） ，f（x）f（x 0） 1ln（x 0a） +x0a+ a12+ a10，解得：a1，故 a 的范围是（1，+） 【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4
39、-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin22acos （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（）点 P（1，1） ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，若| PA|PB|5，求 a 的值【分析】 （）利用 sin2+cos21 即可把曲线 C 的参数方程化为普通方程，消去参数求出直线的普通方程即可；（）联立直线方程和 C 的方程，结合二次函数的性质得到关于 t 的方程，解出即可【解答】解：（）C：sin 22acos 2sin
40、22acos ，y 22ax，而直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，则 l 的普通方程是：x 2y+10，（）由（）得：y 22ax，l 的参数方程为 （t 为参数） ，将代入 得： t2+（2 4 a）t+5（12a）0，第 24 页（共 24 页）故 t1t25（12a） ，由|PA| |PB|5 ，即 5|12a|5解得：a0 或 1【点评】本题考查了极坐标方程，参数方程以及普通方程的转化，考查直线和曲线的位置关系，是一道常规题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +2|+|xa| （）若函数 f（x ）的最小值为 2，求 a 的值；（）若 x（ 4，+）时，不等式
41、 f（x）2x 成立，求 a 的取值范围【分析】 （）由绝对值不等式的性质可得 f（x ）的最小值，解方程可得 a 的值；（）由题意可得|x a|x2，即有 2xx ax2，即 22xa2，由一次函数的单调性，即可得到所求范围【解答】解：（）函数 f（ x）|x+2|+|xa| ，由|x +2|+|xa| |（x +2）（x a）|2+a|，可得 f（x）的最小值为 |2+a|，若函数 f（x）的最小值为 2，即有|a+2|2，解得 a0 或 a4；（）若 x（ 4，+）时，不等式 f（x）2x 成立，即有 x+2+|xa|2x ，即|xa|x 2，即有 2xxax 2，即 22xa2，由 y22x 在 x4 递减，可得 22x6，即有a6 且a2，可得 2a6，则 a 的范围是（2，6【点评】本题考查绝对值不等式的性质和运用：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和参数分离，考查运算能力和推理能力，属于中档题
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