2018年天津市红桥区高考数学二模试卷（文科）含答案解析

1、2018 年天津市红桥区高考数学二模试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 Ux |3 x3，x Z，A1 ，2，B2，1，2，则A（ UB）（ ）A1 B1 ，2 C0 ，1，2 D 1，0，1，22 （5 分）已知命题 p：x R，sinx1，则（ ）Ap：xR，sinx1 Bp：x R，sin x1Cp：x 0R，sin x01 Dp：x 0R，sinx 013 （5 分）不等式组 ，所表示平面区域的面积为（ ）A B C1 D34 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A3 B10 C6 D155 （5 分）设

2、 aln3，b 3，c 3 2 ，则（ ）Aabc Bbac Cacb Dc ba6 （5 分）设函数 f（x ）sinx+cosx（ 0）的最小正周期为 ，将 yf （x）的图象向左平移 个单位得函数 yg（x）的图象，则（ ）第 2 页（共 24 页）Ag（x）在（0， ）上单调递增Bg（x）在（ ， ）上单调递减Cg（x）在（ 0， ）上单调递减Dg（x）在（ ， ）上单调递增7 （5 分）点 A 是抛物线 C1： y22px（p0） ，与双曲线 C2： （a0，b0）的一条渐近线的一个交点，若点 A 到抛物线 C1 的焦点的距离为 P，则双曲线 C2 的离心率等于（ ）A B C D8

3、 （5 分）已知定义在1， +）上的函数在区间1， 3）上的解析式为 f（x）当 x3 时，函数满足 f（x）f（x4）+1，若函数 g（x）f（x ）kx k 有 5 个零点，则实数 k 为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）已知复数 为纯虚数，那么实数 a 10 （5 分）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 4 ，则该正方体的表面积为 11 （5 分）曲线 C：f（x）sin x+ex+2 在 x0 处的切线方程为 12 （5 分）如图，在ABC 中，AD AB， ，| |1，则 13 （5 分）若直线 axb

4、y +20（a0，b0）被圆 x2+y2+2x4y+10 截得的弦长为 4，则 的最小值为 14 （5 分）已知定义在0，+）上的函数 f（x）满足 f（x）2f（x+2） ，当 x0，2）时，第 3 页（共 24 页）f（x）2x 2+4x设 f（x ）在2 n2，2n）上的最大值为 an（nN*） ，且a n的前 n 项和为 Sn，则 Sn 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （13 分）2018 年全国“两会”于 3 月 5 日在北京召开，参会代表积极参政议政，议大事谋良策，取得了一系列重要成果，某网站就网友对会议的了解情况随机调查

5、了 1000名网友，结果如下：不很了解 了解 非常了解 50 岁以上（人） 100 212 y50 岁以下（人） x 188 z若从这 1000 名网友中随机抽取一名，抽到 50 名以下“不很了解”的概率为 0.1，（）求 x 的值；（）若 y193，z193，求“非常了解”的网友中，50 岁以下的人数不少于 50 岁以上的人数的概率16 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且a3，b2 ，B2A（）求 cosA 及边 c 的值；（）求 cos（B ）的值17 （13 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，平面SAD平面 ABC

6、D，SA SD，E，P ，Q 分别是棱 AD，SC，AB 的中点（）求证：PQ平面 SAD；（）求证：AC平面 SEQ；（）如果 SAAB ，求直线 PQ 与平面 ABCD 所成角第 4 页（共 24 页）18 （13 分）已知数列a n中，a 11，a n+1 （nN*）（）求 a2，a 3；（）求证： 是等比数列，并求a n的通项公式 an；（）数列b n满足 bn（3 n1） an，数列b n的前 n 项和为 Tn，若不等式（1） nT n 对一切 nN*恒成立，求 的取值范围19 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： （ab0）的离心率为 ，右顶点为 A，直线

7、 BC 过原点 O，且点 B 在 x 轴上方，直线 AB 与 AC 分别交直线 l：x a +1 于点 E、F （）若点 B（ ） ，求椭圆 C 的方程；（）若点 B 为动点，设直线 AB 与 AC 的斜率分别为 k1，k 2试探究： k1k2 是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；求 AEF 的面积的最小值20 （14 分）已知函数 f（x ）a 2x2+axlnx（）当 a1 时，求函数 f（ x）的单调区间；（）设 g（x）a 2x2f（x） ，且函数 g（x）在点 x1 处的切线为 l，直线 ll，且l在 y 轴上的截距为 1，求证：无论 a 取任何实数，函数 g（x）

8、的图象恒在直线 l的下方；（）已知点 A（1，g（1） ） ，Q （x 0，g（x 0） ） ，且当 x01 时，直线 QA 的斜率恒小于2，求实数 a 的取值范围第 5 页（共 24 页）第 6 页（共 24 页）2018 年天津市红桥区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 Ux |3 x3，x Z，A1 ，2，B2，1，2，则A（ UB）（ ）A1 B1 ，2 C0 ，1，2 D 1，0，1，2【分析】可解出集合 U2，1，0，1，2，然后进行补集、交集的运算即可【解答】解：U2，1，0，1，2； U

9、B0，1；A（ UB）1故选：A【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集和补集的运算2 （5 分）已知命题 p：x R，sinx1，则（ ）Ap：xR，sinx1 Bp：x R，sin x1Cp：x 0R，sin x01 Dp：x 0R，sinx 01【分析】利用“p”即可得出【解答】解：命题 p：x R，sinx1，p：x 0R，sin x01故选：D【点评】本题考查了“非命题”的意义，考查了推理能力，属于基础题3 （5 分）不等式组 ，所表示平面区域的面积为（ ）A B C1 D3【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域即可求出面积【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如

10、图：则对应的区域为ABC，其中 B（0，3） ，A（0，0） ，由 ，解得，即 C（ 1，2） ，则ABC 的面积 S 31 ，第 7 页（共 24 页）故选：B【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合作出对应的图象是解决本题的关键4 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A3 B10 C6 D15【分析】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算出输出 S1 2+223 2+42的值，代入运算可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是计算并输出 S1 2+223 2+42 的值，可得：S1 2+223 2+4210故选：B第 8 页（共

11、24 页）【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据循环条件判断出循环变量的终值，进而结合循环体分析出程序的功能是解答本题的关键，属于基础题5 （5 分）设 aln3，b 3，c 3 2 ，则（ ）Aabc Bbac Cacb Dc ba【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解【解答】解：aln3lne1，b 3 0，c3 2 ，acb故选：C【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6 （5 分）设函数 f（x ）sinx+cosx（ 0）的最小正周期为 ，将 yf （x）的图象向左平移 个单位得函数

12、yg（x）的图象，则（ ）Ag（x）在（0， ）上单调递增Bg（x）在（ ， ）上单调递减Cg（x）在（ 0， ）上单调递减Dg（x）在（ ， ）上单调递增【分析】化简解析式可得 f（ x） sin（x+ ） ，由周期可求 ，从而得 f（x）sin（2x+ ） ，向左平移 个单位得函数 g（x ） cos2x 的图象，从而可求单调区间【解答】解：f（x ）sinx+cosx sin（x+ ） ，T ，2 ，第 9 页（共 24 页）f（x） sin（2x + ） ，将 yf（x）的图象向左平移 个单位得函数 yg（x）的图象，则 yg（x） sin2（x+ ）+ sin（2x+ ） cos2x

13、，令 2k2x2k+，kZ 可解得：k ，kZ，当 k0 时，x0，即 g（x）在（0， ）上单调递减故选：C【点评】本题主要考查了函数 yAsin （ x+）的图象变换，三角函数的单调性，周期性，属于基础题7 （5 分）点 A 是抛物线 C1： y22px（p0） ，与双曲线 C2： （a0，b0）的一条渐近线的一个交点，若点 A 到抛物线 C1 的焦点的距离为 P，则双曲线 C2 的离心率等于（ ）A B C D【分析】先根据条件求出店 A 的坐标，再结合点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p；得到 ，再代入离心率计算公式即可得到答案【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y x，联立

14、；故 A（ ， ） 点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p， + p； 第 10 页（共 24 页）双曲线 C2 的离心率 e 故选：A【点评】本题考查双曲线的性质及其方程双曲线 的离心率e 和渐近线的斜率 之间有关系 8 （5 分）已知定义在1， +）上的函数在区间1， 3）上的解析式为 f（x）当 x3 时，函数满足 f（x）f（x4）+1，若函数 g（x）f（x ）kx k 有 5 个零点，则实数 k 为（ ）A B C D【分析】将问题转化为 yf（x）与 yk（x +1）有 5 个交点，作出函数图象，求出两函数图象恰有 5 个交点的 k 值，即可【解答】解：令 g（x）0 得 f

15、（x）k（x+1） 作出 yf（x）与 yk （x +1）的函数图象，由图象可知 M（1，0）为两函数图象的一个交点当直线 yk（x +1）与f（x）在3 ，4）上的函数图象相切时，两函数图象有恰好有 5 个交点，由 f（x）f（x 4）+1，可将 f（x）在（1，1）的图象向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位，可得 f（x）在（ 3，4）的图象，设此时直线斜率为 k1，A （4，1） ，则 tanAMx ，ktan2AMx 故选：D第 11 页（共 24 页）【点评】本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，准确作出函数图象，寻找 k 的临界值是解题的关键，属于中档题二、填空题：本大题

16、共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）已知复数 为纯虚数，那么实数 a 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 ，又已知复数 为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案【解答】解： ，又已知复数 为纯虚数， ，解得 a 故答案为： 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题10 （5 分）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 4 ，则该正方体的表面积为 24 【分析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的表面积【解答】解：设球的半径为 R，由 得 ，第 12 页（共 24 页）所

17、以 a2，表面积为 6a224故答案为：24【点评】本题考查球的内接体，球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题11 （5 分）曲线 C：f（x）sin x+ex+2 在 x0 处的切线方程为 y2x+3 【分析】欲求在 x0 处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x0 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决【解答】解：f（x ）sinx+e x+2，f（x）cosx +ex，曲线 f（x） sinx+ex+2 在点 P（0，3）处的切线的斜率为： kcos0+e 02，曲线 f（x） sinx+ex+2 在点 P（0，3）处的切线的方程为：

18、 y2x+3，故答案为 y2x +3【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题12 （5 分）如图，在ABC 中，AD AB， ，| |1，则 【分析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题【解答】解： ， ， ， ，cosDACsinBAC，在ABC 中，由正弦定理得 变形得|AC|sin BAC |BC|sinB，|BC |sinB ，故答案为 第 13 页（共 24 页）【点评】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练

19、，尤其是与三角形综合的问题13 （5 分）若直线 axby +20（a0，b0）被圆 x2+y2+2x4y+10 截得的弦长为 4，则 的最小值为 【分析】由已知中圆的方程 x2+y2+2x4y +10 我们可以求出圆心坐标，及圆的半径，结合直线 axby +20（a0，b0）被圆 x2+y2+2x4y +10 所截得的弦长为 4，我们易得到 a，b 的关系式，再根据基本不等式中 1 的活用，即可得到答案【解答】解：圆 x2+y2+2x4y +10 是以（1，2）为圆心，以 2 为半径的圆，又直线 axby +20（a0，b0）被圆 x2+y2+2x4y +10 所截得的弦长为 4，故圆心（1

20、，2）在直线 axby+20 上即： +b1则 （ ）+（ ）故 的最小值为故答案为： 【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，基本不等式，其中根据已知条件，分析出圆心在已知直线上，进而得到 a，b 的关系式，是解答本题的关键14 （5 分）已知定义在0，+）上的函数 f（x）满足 f（x）2f（x+2） ，当 x0，2）时，f（x）2x 2+4x设 f（x）在 2n2，2n）上的最大值为 an（nN*） ，且a n的前 n 项和为 Sn，则 Sn 4 【分析】根据定义在0，+）上的函数 f（x）满足 f（x）2f（x+2） ，可得 f（x +2）f（x） ，从而 f（x +2n） f（

21、x） ，利用当 x0，2）时，f （x ）2x 2+4x，可求（x）在2 n2，2n）上的解析式，从而可得 f（x ）在2 n2，2n）上的最大值为 an，进而利用等比数列的求和公式，即可求得a n的前 n 项和【解答】解：定义在0，+）上的函数 f（x）满足 f（x）2f（x+2） ，f（x+2） f（x ） ，f（x+4） f（x +2） f（x） ，第 14 页（共 24 页）f（x+6） f（x +4） f（ x） ，f（x+2n） f（x ）设 x2n2， 2n） ，则 x（ 2n2）0，2）当 x0，2）时， f（x）2x 2+4xfx （2n2 ）2（x（2n2） 2+4x（2n

22、2 ） f（x） 2（x2n+1） 2+2f（x）2 1 n2（x 2n+1） 2+2，x 2n2，2n） ，x2n1 时，f（x）的最大值为 22na n2 2na n表示以 2 为首项， 为公比的等比数列a n的前 n 项和为 Sn 4 故答案为：4 【点评】本题考查数列的前 n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、等比数列的性质的合理运用三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （13 分）2018 年全国“两会”于 3 月 5 日在北京召开，参会代表积极参政议政，议大事谋良策，取得了一系列重要成果，某网站就网友对会议的

23、了解情况随机调查了 1000名网友，结果如下：不很了解 了解 非常了解 50 岁以上（人） 100 212 y50 岁以下（人） x 188 z若从这 1000 名网友中随机抽取一名，抽到 50 名以下“不很了解”的概率为 0.1，（）求 x 的值；（）若 y193，z193，求“非常了解”的网友中，50 岁以下的人数不少于 50 岁以第 15 页（共 24 页）上的人数的概率【分析】 （）根据概率公式求出 x 的值即可；（）根据 y+z400 且 y193，z193，列举出满足条件的（y，z） ，设事件 A：“非常了解的网友中，50 岁以下的人数不少于 50 岁以上的人数” ，即 zy，列举

24、出事件 A包含的基本事件（y，z） ，求出满足条件的概率即可【解答】解：（）由题意得： 0.1，解得：x100；（）由题意得：y+z400 且 y193，z193，满足条件的（y，z）有：（193，207） ， （194，206） ， （195，205） ， （196，204） ，（197，203） ， （198，202） ， （199，201） ， （200，200） ，（201，199） ， （202，198） ， （203，197） ， （204，196） ，（205，195） ， （206，194） ， （207，193）共 15 组，设事件 A：“非常了解的网友中，50 岁以下的人数

25、不少于 50 岁以上的人数” ，即 zy，则事件 A 包含的基本事件（y，z）有（193，207） ， （194，206） ，（195，205） ， （196，204） ， （197，203） ， （198，202） ，（199，201） ， （200，200）共 8 组，P（A） ，故“非常了解的网友中，50 岁以下的人数不少于 50 岁以上的人数”的概率为 【点评】本题考查古典概型的概率问题，考查考生利用抽样方法解决实际问题的能力16 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且a3，b2 ，B2A（）求 cosA 及边 c 的值；（）求 cos（B ）的值【分

26、析】 （）根据正弦定理与二倍角公式求得 cosA，再利用余弦定理求得边长 c 的值；（）由二倍角公式求得 cosB，再利用三角恒等变换求得 cos（B ）的值【解答】解：（）ABC 中，a3，b2 ，第 16 页（共 24 页） ，又 B2A ， ， ，解得 cosA ；又 a2b 2+c22bc cosA，924+c 222 c ，c28c+150，解得 c3 或 c5；（）B2A，cos Bcos2A2cos 2A1 ，sinB ；cos（B ）cos Bcos +sinBsin + 【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题17 （13 分）如图，四棱锥 PABCD 中

27、，底面 ABCD 为菱形，BAD60，平面SAD平面 ABCD，SA SD，E，P ，Q 分别是棱 AD，SC，AB 的中点（）求证：PQ平面 SAD；（）求证：AC平面 SEQ；（）如果 SAAB ，求直线 PQ 与平面 ABCD 所成角第 17 页（共 24 页）【分析】 （）取 SD 中点 F，连结 AF，PF 推导出 AQPF 是平行四边形，从而PQAF，由此能证明 PQ平面 SAD（）连结 BD，推导出 SE AD，SEAC ，BDAC ，EQBD，从而 EQAC，由此能证明 AC平面 SEQ（）由 PQAF ，得直线 PQ 与平面 ABCD 所成角等于直线 AF 与平面 ABCD

28、所成角，取 ED 中点 M，连结 FM，推导出 FM平面 ABCD，则FAM 是直线 PQ 与平面 ABCD所成角由此能求出直线 PQ 与平面 ABCD 所成角【解答】证明：（）取 SD 中点 F，连结 AF，PF，P、F 分别是棱 SC，SD 的中点，FPCD，且 FP CD，又菱形 ABCD 中，Q 是 AB 的中点，AQCD，且 AQ CD，FPCD，且 FPAQ，AQPF 是平行四边形， PQAF，又PQ 平面 SAD，AF平面 SAD，PQ平面 SAD（）连结 BD，SAD 中，SASD，点 E 是 AD 中点，SEAD ，又 SE平面 ABCD，SE AC，底面 ABCD 为菱形，

29、E、Q 分别是 AD、AB 的中点，BDAC，EQBD ，EQAC ，第 18 页（共 24 页）SEEQ E，AC平面 SEQ解：（）PQAF ，直线 PQ 与平面 ABCD 所成角等于直线 AF 与平面 ABCD 所成角，取 ED 中点 M，连结 FM，FM SE，SE平面 ABCD，FM 平面 ABCD，FAM 是直线 PQ 与平面 ABCD 所成角SAAD SD，SAD 是等边三角形，FAM30，直线 PQ 与平面 ABCD 所成角为 30【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查直线与平面所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与

30、方程思想，是中档题18 （13 分）已知数列a n中，a 11，a n+1 （nN*）（）求 a2，a 3；第 19 页（共 24 页）（）求证： 是等比数列，并求a n的通项公式 an；（）数列b n满足 bn（3 n1） an，数列b n的前 n 项和为 Tn，若不等式（1） nT n 对一切 nN*恒成立，求 的取值范围【分析】 （1）利用 a11，a n+1 ，可求 a2，a 3；（2）把题目给出的数列递推式取倒数，即可证明数列 + 是等比数列，由等比数列的通项公式求得 + ，则数列 an的通项 an 的通项可求；（3）把数列a n的通项 an 代入 bn（3 n1） an，由错位相减

31、法求得数列 bn的前 n 项和为 Tn，对 n 分类，则答案可求【解答】解：（1） （2 分）（2）由 得即 （4 分）又所以 是以 为首项，3 为公比的等比数列（6 分）所以即 （8 分）（3） （9 分）两式相减得 ， （11 分）第 20 页（共 24 页）若 n 为偶数，则若 n 为奇数，则 ，23（14 分）【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n 项和，考查了利用分类讨论的数学思想方法求解数列不等式，是中档题19 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： （ab0）的离心率为 ，右顶点为 A，直线 BC 过原点 O，且点

32、B 在 x 轴上方，直线 AB 与 AC 分别交直线 l：x a +1 于点 E、F （）若点 B（ ） ，求椭圆 C 的方程；（）若点 B 为动点，设直线 AB 与 AC 的斜率分别为 k1，k 2试探究： k1k2 是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；求 AEF 的面积的最小值【分析】 （I）由题意可得： ， 1，a 2b 2+c2，联立解出即可得出（II）k 1k2 为定值设 B（x 0，y 0） ，C （x 0，y 0）. + 1由 ，a 2b 2+c2，可得 a22b 2利用斜率计算公式可得 k1k2 第 21 页（共 24 页），即可即可得出设直线 AB 的方程为

33、：yk 1（x a） ，直线 AC 的方程为：yk 2（xa） ，令xa+1，可得 yEk 1，y Fk 2，S AEF |EF|1 |k2k 1|，由图形可得：k10，k 20，k 1k2 利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（I）由题意可得： ， 1，a 2b 2+c2，联立解得 a28，b2c，椭圆 C 的方程为： + 1（II）k 1k2 为定值设 B（x 0，y 0） ，C （x 0，y 0）. + 1由 ，a 2b 2+c2，可得 a22b 2则 k1k2 设直线 AB 的方程为：yk 1（x a） ，直线 AC 的方程为：yk 2（xa） ，令 xa+1，则 yEk 1，y

34、Fk 2，SAEF |EF|1 |k2k 1|，由图形可得：k 10，k 20，k1k2 S AEF （k 2k 1） ，当且仅当 k2k 1 时取等号AEF 的面积的最小值为 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、三角形面积计算公式、直线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题20 （14 分）已知函数 f（x ）a 2x2+axlnx（）当 a1 时，求函数 f（ x）的单调区间；第 22 页（共 24 页）（）设 g（x）a 2x2f（x） ，且函数 g（x）在点 x1 处的切线为 l，直线 ll，且l在 y 轴上的截距为 1，求证：无论 a 取任何实数，函数 g（

35、x）的图象恒在直线 l的下方；（）已知点 A（1，g（1） ） ，Q （x 0，g（x 0） ） ，且当 x01 时，直线 QA 的斜率恒小于2，求实数 a 的取值范围【分析】 （I）先求导并化简，从而由导数的正负列表确定函数的单调性及单调区间即可；（II）化简函数 g（x）a 2x2f （x）lnxax，再求导 g（x） a，从而得到直线 l 的斜率 kl1a，再由 ll，且 l在 y 轴上的截距为 1 写出直线 l的方程y（1a）x+1，再令 h（x ） g（x） （1a）x +1并化简，从而可把无论 a 取任何实数，函数 g（x）的图象恒在直线 l的下方化为 h（x）0（a R， x0）

36、恒成立，再求导求函数的最大值即可证明；（III）化简 A（1，a） ，Q（x 0，lnx 0ax 0） ，从而写出直线 QA 的斜率 kQA a，从而可化恒成立问题为 lnx0（a+2） （x 01）0 恒成立，再令 r（x）lnx（a+2 ） （x1） （x 1） ，求导 r（x） （a+2） ，再讨论以确定 r（x ）的最大值情况即可求出实数 a 的取值范围【解答】 （I）解：a1 时，f（x）x 2+xlnx，f（x）2ax+1 （x0） ，x，f（x）与 f（x ）的变化情况如下：x （0， ） （ ，+ ）f（x） 0 +f（x） 因此，函数 f（x ）的单调递增区间为（ ，+） ，

37、单调递减区间为（0， ） （II）证明：g（x）a 2x2f （x）lnxax，g（x ） a，所以 g（1）1a，所以 l 的斜率 kl1a第 23 页（共 24 页）因为 ll，且 l在 y 轴上的截距为 1，所以直线 l的方程为 y（1a）x+1，令 h（x）g（x ）（1a）x+1lnxx 1（x0） ，则无论 a 取任何实数，函数 g（x）的图象恒在直线 l的下方可化为：h（x）0（a R，x 0） ，而 h（x） 1 ，当 x（0，1）时， h（x）0，当 x（1，+）时，h（x）0，所以函数 h（x）的（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，从而当 x1 时，h（x ）取得

38、极大值 h（1）2，即在（0，+）上，h（x）取得最大值 h（1）2，所以 h（x）20（aR，x0） ，因此，无论 a 取任何实数，函数 g（x）的图象恒在直线 l的下方；（III）因为 A（1，a） ，Q（x 0，lnx 0ax 0） ，所以 kQA a，所以当 x01 时， a2，即 lnx0（a+2） （x 01）0 恒成立，令 r（x ）lnx（a+2 ） （x 1） （x 1） ，则 r（x） （a+2） ，因为 x1，所以 0 1（i）当 a2 时，a+20，此时 r（x）0，所以 r（x）在（1，+）上单调递增，有 r（x）r（1）0 不满足题意；（ii）当2a1 时，0a+21，所以当 x（1， ）时，r （x）0，当 x（ ， +）时，r （x ）0，所以至少存在 t（1， ） ，使得 r（t）r（1）0 不满足题意；（iii ）当 a1 时，a+2 1 ，此时 r（x）0，第 24 页（共 24 页）所以 r（x）在（1，+）上单调递减，r（x）r（1）0，满足题意综上可得 a1，故所求实数 a 的取值范围是1，+ ） 【点评】本题考查了导数的综合应用、函数的性质应用及直线的斜率的求法，同时考查了恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于难题