1、9.6 双曲线最新考纲 考情考向分析了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系.主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数 a，b，c 及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.题型为选择、填空题.1.双曲线定义平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合 P M|MF1| MF2|2a，|F 1F2|2c ，其中 a，c 为常数且 a0，c0.(1)当 2a|F1F2|时，P 点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准
2、方程 1( a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2图形范围 xa 或 xa，y R xR，ya 或 ya对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点 A1(a，0)，A 2(a，0) A1(0，a)，A 2(0，a)渐近线 y xbay xab离心率 e ，e (1 ，)，其中 cca a2 b2性质实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长| A1A2|2a，线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长a，b，c 的关系c2a 2b 2 (ca0，cb0)概念方法微思考1.平面内与两定点 F1
3、，F 2 的距离之差的绝对值等于常数 2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示 不一定.当 2a|F 1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当 2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当 2a0 时，动点的轨迹是线段 F1F2 的中垂线.2.方程 Ax2By 21 表示双曲线的充要条件是什么？提示 若 A0，B0，表示焦点在 y 轴上的双曲线.所以 Ax2 By21 表示双曲线的充要条件是 AB0，b0，二者没有大小要求，若 ab0，ab0，0b0 时，10 时，ca 1 (ba)2 2e (亦称等轴双曲线 )，当 0 .2 2题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”
4、)(1)平面内到点 F1(0，4)，F 2(0，4) 距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( )(2)方程 1( mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( )x2m y2n(3)双曲线方程 (m0，n0， 0) 的渐近线方程是 0，即 0.( )x2m2 y2n2 x2m2 y2n2 xmyn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .( )2(5)若双曲线 1(a0 ，b0)与 1(a0，b0)的离心率分别是 e1，e 2，则x2a2 y2b2 x2b2 y2a2 1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )1e21 1e2题组二 教材改编2.P61T1若双曲线 1(a0，b
5、0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线x2a2 y2b2的离心率为( )A. B.55C. D.22答案 A解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为 0，即xaybbxay0，2a b.又 a2b 2c 2，5a 2c 2.bca2 b2e 2 5， e .c2a2 53.P61A 组 T3已知 ab0，椭圆 C1 的方程为 1，双曲线 C2 的方程为x2a2 y2b2 1，C 1 与 C2 的离心率之积为 ，则 C2 的渐近线方程为( )x2a2 y2b2 32A.x y0 B. xy02 2C.x2y0 D.2xy0答案 A解析 椭圆 C1 的离心率为
6、，双曲 线 C2 的离心率为 ，所以 a2 b2a a2 b2a a2 b2a a2 b2a，即 a44b 4，所以 a b，所以双曲 线 C2 的渐近线方程是 y x，即 x y0.32 2 12 24.P62A 组 T6经过点 A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.答案 1x215 y215解析 设双曲线的方程为 1(a0)，x2a2 y2a2把点 A(4，1)代入，得 a215(舍负) ，故所求方程为 1.x215 y215题组三 易错自纠5.已知方程 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值x2m2 n y23m2 n范围是( )A.(1， 3)
7、 B.(1， )3C.(0，3) D.(0， )3答案 A解析 方程 1 表示双曲线，x2m2 n y23m2 n(m 2n)(3m 2n)0，解得m 20，b0)的一条渐近线经过点(3， 4)，则此双曲线的离心率为( )x2a2 y2b2A. B. C. D.73 54 43 53答案 D解析 由条件知 y x 过点(3， 4)， 4，ba 3ba即 3b4a，9b 216a 2，9c 29a 216a 2，25a 29c 2， e .故选 D.537.(2018浙江省镇海中学模拟) 双曲线 C：y 2 1 的渐近线方程为_，设双曲线x24 1(a0，b0)经过点(4，1)，且与双曲线 C
8、具有相同的渐近线，则该双曲线的标准x2a2 y2b2方程为_.答案 y 1x2 x212 y23解析 双曲线 y2 1 的渐近线方程为 y x；与 y2 1 具有相同的渐近线的双曲线x24 12 x24方程可设为 y2 m(m0)，因为该双曲线经过点(4，1)，所以 m1 2 3，即该双曲x24 424线的方程为 y2 3，即 1.x24 x212 y23题型一 双曲线的定义例 1 (1)已知定点 F1(2，0)，F 2(2，0) ，N 是圆 O：x 2y 21 上任意一点，点 F1 关于点N 的对称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，则点 P 的轨迹是( )A.椭圆
9、 B.双曲线C.抛物线 D.圆答案 B解析 如图，连接 ON，由题意可得|ON|1，且 N 为 MF1 的中点，又 O 为 F1F2 的中点，| MF2|2.点 F1 关于点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，由垂直平分 线的性质可得|PM| PF1|，| PF2| PF1| PF2|PM|MF 2|23) D. 1( x4)x29 y216 x216 y29答案 C解析 由条件可得，圆与 x 轴的切点为 T(3，0)，由相切的性质得|CA|CB|TA| TB|8263).x29 y216(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：虚轴长为 12，离心率为 ；
10、54焦距为 26，且经过点 M(0，12)；经过两点 P(3，2 )和 Q(6 ，7).7 2解 设双曲线的标准方程为 1 或 1(a0，b0).x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由题意知，2b12，e ，ca 54b6，c10 ，a8.双曲线的标准方程为 1 或 1.x264 y236 y264 x236双曲线经过点 M(0，12)，M (0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12.又 2c26，c13，b 2c 2a 225.双曲线的标准方程为 1.y2144 x225设双曲线方程为 mx2ny 21(mn0).Error!解得Error!双曲线的标准方程为 1.y2
11、25 x275思维升华 求双曲线标准方程的方法1.定义法根据双曲线的定义确定 a2，b2 的值，再 结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：(1)c2a 2b 2；(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值 等于 2a.2.待定系数法(1)一般步骤判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在 x 轴上， 还 是在 y 轴上， 还是两个坐标轴都有可能；设：根据中的判断结果，设 出所需的未知数或者标准方程；列：根据题意，列出关于 a，b，c 的方程或者方程组；解：求解得到方程.(2)常见设法与双曲线 1 共渐近线的双曲线方程可设为 ( 0)；x2a2 y2b2 x2a2 y2b2若双曲
12、线的渐近线方程为 y x，则双曲线方程可设为 ( 0)；ba x2a2 y2b2若双曲线过两个已知点，则 双曲线方程可设为 1(mn b0)有共同焦点的双曲线方程可设为 1( b20，b0)的一条渐近线方程为 y x，且与椭圆 1x2a2 y2b2 52 x212 y23有公共焦点，则 C 的方程为( )A. 1 B. 1x28 y210 x24 y25C. 1 D. 1x25 y24 x24 y23答案 B解析 由 y x，可得 .52 ba 52由椭圆 1 的焦点为(3，0)，(3，0)，x212 y23可得 a2b 29.由可得 a24，b 25.所以 C 的方程为 1.故选 B.x24
13、 y25题型三 双曲线的几何性质命题点 1 与渐近线有关的问题例 3 过双曲线 1(a0，b0)的左焦点 F 作圆 O： x2y 2a 2 的两条切线，切点为x2a2 y2b2A，B，双曲线左顶点为 C，若ACB 120 ，则双曲线的渐近线方程为( )A.y x B.y x333C.y x D.y x222答案 A解析 如图所示，连接 OA，OB，设双曲线 1(a0，b0)的焦距为 2c(c0)，x2a2 y2b2则 C(a，0)，F( c ，0).由双曲线和圆的对称性知，点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则ACOBCO ACB 12060.12 12因为|OA|OC|a，所以ACO 为等边
14、三角形，所以 AOC60.因为 FA 与圆 O 切于点 A，所以 OAFA，在 Rt AOF 中，AFO 90AOF9060 30，所以|OF|2| OA|，即 c2a，所以 b a，c2 a2 2a2 a2 3故双曲线 1(a0，b0)的渐近线方程为 y x，即 y x.x2a2 y2b2 ba 3命题点 2 求离心率的值(或范围 )例 4 (1)(2018丽水、衢州、湖州质检)已知 F1，F 2 分别为双曲线 1( a0，b0)的左、x2a2 y2b2右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足PF 2F1 ，连接 PF1 交 y 轴于点 Q，若2|QF2| c，则双曲线的离心率是( )2A. B
15、.2 3C.1 D.12 3答案 C解析 设 O 为坐标原点，由题意可得， PF2x 轴，OQPF 2，所以 Q 为 PF1 的中点，易知F2(c，0)，因为|QF 2| c，所以|OQ| c，又 |OQ| |PF2|，所以| PF2|2|OQ |2c，所以| PF1|2212c，根据双曲线的定义，得|PF 1| PF2|2a，即 2 c2c2a，所以 e 1.故2 2ca 12 1 2选 C.(2)(2018浙江省绍兴市适应性考试) 如图，已知双曲线 C： 1(a0，b0)的左焦点为x2a2 y2b2F，A 为虚轴的一个端点.若以 A 为圆心的圆与 C 的一条渐近线相切于点 B，且 t (t
16、R)，AB BF 则该双曲线的离心率为( )A.2 B. 5C. D.1 32 1 52答案 D解析 由题图知 F(c ，0)，A(0， b)，渐近线方程为 y x.由已知得 A，B，F 三点共线，且baAFOB .所以点 F 到渐近线 OB 的距离为 d b，| AF| ，又由 BOF |bc|a2 b2 c2 b2OAF，得|FO |2|FB|FA|.即 c2b ，即 c4b 2(c2b 2)，则 c4(c 2a 2)(2c2a 2)，整理得c2 b2c43a 2c2a 40，即 e43e 210，解得 e2 .所以该双曲线的离心3 52 (e2 3 52 舍 去 )率 e ，故 选 D.
17、3 52 6 254 5 12思维升华 1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线 1(a0，b0)或 1( a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等x2a2 y2b2 y2a2 x2b2于 0，即令 0，得 y x；或令 0，得 y x.反之，已知 渐近线方程为x2a2 y2b2 ba y2a2 x2b2 aby x，可设双曲线方程为 (a0，b0， 0).ba x2a2 y2b22.求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法求 a，b，c 的值，由 1 直接求 e.c2a2 a2 b2a2 b2a2列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式) ，借助于 b2c 2a 2 消去 b，
18、然后转化成关于 e 的方程(或不等式) 求解.(2)双曲线的渐近线的斜率 k 与离心率 e 的关系：k .ba c2 a2a c2a2 1 e2 1跟踪训练 3 (1)已知点 F1，F 2 是双曲线 C： 1(a 0，b0)的左、右焦点，O 为坐标x2a2 y2b2原点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足 |F1F2|2| OP|，| PF1|3|PF 2|，则双曲线 C 的离心率的取值范围是( )A.(1， ) B.102， )C. D.(1，102 (1，52答案 C解析 由|F 1F2|2| OP|，可得|OP|c，故 PF 1F2为直角三角形，且 PF1PF 2，则|PF1|2 |
19、PF2|2 |F1F2|2.由双曲线的定义可得|PF 1| PF2|2a，则|PF 1|2a|PF 2|，所以(|PF 2|2a) 2|PF 2|24c 2，整理得(|PF 2|a) 22c 2a 2.又|PF 1| 3|PF2|，即 2a|PF 2|3|PF 2|，可得| PF2|a，所以|PF 2|a2a，即 2c2a 24a 2，可得 c a.102由 e ，且 e1，可得 10 ，b0)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲线的左、x2a2 y2b2右两支分别交于点 B，A，若ABF 2 为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A. B.4 C. D.7233 3答案 A解析 因为A
20、BF 2为等边三角形，所以不妨设|AB| BF2|AF 2|m ，因为 A 为双曲线右支上一点，所以|F 1A| F2A|F 1A|AB| F1B|2a，因为 B 为双曲线左支上一点，所以|BF 2| BF1|2a，|BF 2|4a，由ABF 260，得F 1BF2120，在F 1BF2 中，由余弦定理得 4c24a 216a 222a4 acos 120，得 c27a 2，则 e27，又 e1，所以 e .故选 A.7离心率问题离心率是椭圆、双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类
21、问题，其难点都是建立关于 a，b，c 的关系式( 等式或不等式) ，并且最后要把其中的 b 用 a，c 表示，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.例 1 已知椭圆 E： 1(a b0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线x2a2 y2b2l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点.若| AF|BF |4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则椭45圆 E 的离心率的取值范围是( )A. B.(0，32 (0，34C. D.32，1) 34，1)答案 A解析 设左焦点为 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形.|AF|
22、 |BF| 4，|AF| |AF0| 4，a2.设 M(0，b)，则 M 到直线 l 的距离 d ，1b0，b0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且 PF1PF 2，若PF 1F2 的内切x2a2 y2b2圆半径为 ，则该双曲线的离心率为( )a2A. 1 B.63 12C. D. 16 12 6答案 C解析 由对称性不妨设点 P 在第一象限，如图，由题意设PF 1F2 的内切圆切三边于 G，D，E 三点，则|PG| PE|，|GF1|DF 1|，|EF2|DF 2|.又|PF 1| |PF2| 2a，则|GF 1| EF2| DF1|DF 2|2a，设 D(x0，0)，则 x0c( cx
23、0)2a，即x0a，所以切点 D 为双曲线的右顶点，|PF 1| |GP|GF 1| | DF1| ca c， |PF2| |PE|EF 2| | DF2| caca2 a2 3a2 a2 a2 ，在 RtPF 1F2 中，由勾股定理得 2 2(2 c)2，整理得 4c24ac5a 20，则a2 (3a2 c) (c a2)4e24e50，解得离心率 e (舍负)，故 选 C.6 121.(2018浙江)双曲线 y 21 的焦点坐标是( )x23A.( ，0) ， ( ，0) B.(2，0)，(2，0)2 2C.(0， )，(0， ) D.(0，2)，(0，2)2 2答案 B解析 双曲线方程为
24、 y 21，x23a 23，b 21，且双曲线的焦点在 x 轴上，c 2，a2 b2 3 1即该双曲线的焦点坐标为( 2，0)，(2，0).故选 B.2.已知双曲线 1(a0，b0)的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为( )x2a2 y2b2A.xy0 B.x y03C. xy0 D.2xy03答案 C解析 双曲线的方程是 1(a0 ，b0)，x2a2 y2b2双曲线的渐近线方程为 y x.ba又离心率 e 2，cac2a，b a.c2 a2 3由此可得双曲线的渐近线方程为 y x x，3aa 3即 xy0.故选 C.33.已知双曲线 C： 1(a0，b0)的右焦点为 F，点 B 是虚轴的
25、一个端点，线段 BF 与x2a2 y2b2双曲线 C 的右支交于点 A，若 2 ，且| |4，则双曲线 C 的方程为( )BA AF BF A. 1 B. 1x26 y25 x28 y212C. 1 D. 1x28 y24 x24 y26答案 D解析 不妨设 B(0，b)，由 2 ，F(c，0)，BA AF 可得 A ，代入双曲线 C 的方程可得 1，即 ，(2c3，b3) 49 c2a2 19 49a2 b2a2 109 .b2a2 32又| | 4，c 2a 2b 2，BF b2 c2a 22b 216，由可得 a24，b 26，双曲线 C 的方程为 1，故 选 D.x24 y264.设
26、F1，F 2 分别为双曲线 1 的左、右焦点，过 F1 引圆 x2y 29 的切线 F1P 交双曲x29 y216线的右支于点 P，T 为切点，M 为线段 F1P 的中点，O 为坐标原点，则| MO|MT|等于( )A.4 B.3 C.2 D.1答案 D解析 连接 PF2，OT，则有|MO| |PF2| (|PF1|2a) (|PF1|6)12 12 12 |PF1|3，| MT| |PF1| F1T| |PF1| |PF1|4，于是有| MO|MT|12 12 12 c2 32 12 1，故选 D.(12|PF1| 3) (12|PF1| 4)5.已知双曲线 x2 1 的左、右焦点分别为 F
27、1，F 2，双曲线的离心率为 e，若双曲线上存y23在一点 P 使 e，则 的值为( )sin PF2F1sin PF1F2 F2P F2F1 A.3 B.2 C. 3 D.2答案 B解析 由题意及正弦定理得 e2，sin PF2F1sin PF1F2 |PF1|PF2|PF 1| 2|PF2|，由双曲线的定义知|PF 1| PF2|2，|PF 1| 4，|PF2|2，又|F 1F2|4，由余弦定理可知 cosPF 2F1 ，|PF2|2 |F1F2|2 |PF1|22|PF2|F1F2| 4 16 16224 14 | | |cosPF 2F1F2P F2F1 F2P F2F1 24 2.故
28、选 B.146.已知双曲线 1 的右焦点为 F，P 为双曲线左支上一点，点 A(0， )，则APF 周x24 y22 2长的最小值为( )A.4 B.4(1 )2 2C.2( ) D. 32 6 6 2答案 B解析 由题意知 F( ，0)，设 左焦点为 F0，则 F0( ，0)，由题可知APF 的周长 l 为6 6|PA| PF|AF|，而|PF|2a|PF 0|，l |PA| |PF 0|2a|AF| AF0|AF| 2a 224 44( 1)，当且仅当 A，F0，P0 62 2 02 6 02 0 22 2 2三点共线时取得“” ，故选 B.7.已知离心率为 的双曲线 C： 1( a0，b
29、0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，M 是双52 x2a2 y2b2曲线 C 的一条渐近线上的点，且 OMMF 2，O 为坐标原点，若 SOMF 216，则双曲线的实轴长是( )A.32 B.16 C.84 D.4答案 B解析 由题意知 F2(c，0)，不妨令点 M 在渐近线 y x 上，由题意可知| F2M| b，所ba bca2 b2以|OM| a.由 16，可得 ab16，即 ab32，又 a2b 2c 2， ，所以c2 b2 2OFSA12 ca 52a8，b4，c4 ，所以双曲线 C 的实轴长为 16.故选 B.58.已知双曲线 C1： 1(a0，b0)，圆 C2：x 2y 22a
30、x a20，若双曲线 C1 的一条x2a2 y2b2 34渐近线与圆 C2 有两个不同的交点，则双曲线 C1 的离心率的范围是 ( )A. B.(1，233) (233， )C.(1，2) D.(2，)答案 A解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为 y x，即 bxay0，圆 C2：x2y 22ax a20ba 34可化为(xa) 2y 2 a2，圆心 C2 的坐标为( a，0)，半径 r a，由双曲线 C1 的一条渐近线与14 12圆 C2 有两个不同的交点，得 2b，即 c24b2，又知 b2c 2a 2，所以|ab|a2 b212c24(c2a 2)，即 c21，所以双曲线 C1 的离心率
31、的取值范围为43 ca233，故 选 A.(1，233)9.双曲线的焦点在 x 轴上，实轴长为 4，离心率为 ，则该双曲线的标准方程为3_，渐近线方程为_.答案 1 y xx24 y28 2解析 由 2a4， ，得 a2， c2 ，b2 ，ca 3 3 2所以双曲线的标准方程为 1， 渐近线方程为 y x.x24 y28 210.已知 F1，F 2 分别是双曲线 x2 1(b0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的y2b2点，若|AF 2|2 且F 1AF245，延长 AF2 交双曲线的右支于点 B，则F 1AB 的面积等于_.答案 4解析 由题意知 a1，由双曲线定义知|AF 1| A
32、F2|2a2，|BF 1|BF 2|2a2，|AF 1| 2| AF2|4，|BF 1|2|BF 2|.由题意知|AB| AF2|BF 2| 2|BF 2|，|BA| |BF1|，BAF 1为等腰三角形，F 1AF245， ABF190，BAF 1为等腰直角三角形.|BA| |BF1| |AF1| 42 ，22 22 2 |BA|BF1| 2 2 4.1FABS12 12 2 211.已知焦点在 x 轴上的双曲线 1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是x28 m y24 m_.答案 (0，2)解析 对于焦点在 x 轴上的双曲线 1(a0，b0)，它的焦点(c，0)到渐近线 bxay0x2a2
33、y2b2的距离为 b.双曲线 1，即 1，其焦点在 x 轴上，则Error!|bc|b2 a2 x28 m y24 m x28 m y2m 4解得 40，b0)的右焦点为 F，左顶点为 A，以 F 为圆心，FA 为半x2a2 y2b2径的圆交 C 的右支于 P，Q 两点，APQ 的一个内角为 60，求双曲线 C 的离心率.解 设左焦点为 F1，由于双曲线和圆都关于 x 轴对称，又APQ 的一个内角为 60，PAF 30，PFA120，| AF|PF |ca，|PF 1| 3ac，在PFF 1 中，由余弦定理得|PF1|2 |PF|2 |F1F|22|PF|F 1F|cosF 1FP，即 3c2
34、ac4a 20，即 3e2e40， e (舍负).4313.(2018湖州模拟)已知双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，过 F2 的x2a2 y2b2直线交双曲线的右支于 A，B 两点，AF 1B90 ，AF 1B 的内切圆的圆心的纵坐标为a，则双曲线的离心率为( )72A.2 B.3 C. D.552答案 A解析 设内切圆的圆心 M(x，y)，圆 M 分别切 AF1，BF1，AB 于 S，T，Q，如图，连接 MS，MT，MF1，MQ，则|F 1T|F 1S|，故四 边形 SF1TM 是正方形，边长为圆 M 的半径 .由|AS| AQ|，|BT|BQ|，得|AF 1| |
35、AQ|SF 1| TF1|BF 1|BQ|，又|AF 1| |AF2| |BF1|BF 2|，Q 与 F2 重合，|SF 1|AF 1|AF 2|2a，|MF 2|2a，即(xc )2y 24a 2，|MF1|2 a，(xc) 2y 28a 2，2联立解得 x ，y24a 2 ，又 y a，a2c b4c2 72故 4a 2 ，得 e 2.7a24 b4c2 ca14.如图，已知 F1，F 2 分别是双曲线 x2 1(b0)的左、右焦点，过点 F1 的直线与圆y2b2x2y 21 相切于点 T，与双曲线的左、右两支分别交于 A，B，若|F 2B| AB|，求 b 的值.解 方法一 因为|F 2
36、B| AB|，所以 结合双曲线的定义，得|AF 1| |BF1| |AB|BF 1| |BF2|2，连接 OT，在 RtOTF 1 中，|OT|1， |OF1|c， |TF1|b，所以 cosF 2F1A ，sinF 2F1A ，bc 1c所以 A ，将点 A 的坐标代入双曲线得 1，化 简得( c 2bc，21c) c2 2b2c2 4c2b2b64b 55b 44b 340，得 (b22b2)(b 42b 33b 22b2) 0，而b42b 33b 22b2b 2(b 1)2b 21(b1) 20，故 b22b20，解得 b1 (负值舍3去)，即 b1 .3方法二 因为|F 2B| AB|
37、，所以结合双曲线的定义，得 |AF1| BF1|AB| BF1|BF 2|2，连接 AF2，则|AF 2|2|AF 1|4.连接 OT，在 RtOTF 1 中，|OT|1， |OF1|c， |TF1|b，所以 cosF 2F1A .bc在AF 1F2 中，由余弦定理得cosF 2F1A ，|F1F2|2 |AF1|2 |AF2|22|F1F2|AF1| c2 32c所以 c232b，又在双曲线中， c21b 2，所以 b22b20，解得 b 1 (负值舍去) ，3即 b1 .315.(2018浙江省联盟学校联考) 已知双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1，F 2，直
38、线 l 过 F2 且交双曲线的右支于 A，B 两点，记AF 1F2 的内切圆半径为 r1，BF1F2 的内切圆半径为 r2，若 r1r 231，则直线 l 的斜率为( )A.1 B. C. D.22 3答案 C解析 方法一 当 A 在第一象限时，如图 1，设AF 1F2 的内切 圆O 1 分别切 AF1，F1F2，F2A 于点 Q，P，N，则|AQ |AN| ，|F1Q|F 1P|，|F2P| F2N|，又|AF 1| |AF2| 2a，即(| AQ| F1Q|)(|AN|F 2N|)2a，|F 1Q|F 2N|2a，|F 1F2| F2P|F 2N|2a，即 2c2|F 2P|2a，|F 2
39、P| ca，P 为双曲线的右顶点，同理，BF 1F2 的内切圆O 2 也切 F1F2 于双曲线的右顶点，连接 O1P，O2P，则 O1，P，O2 三点共线，且 O1O2F 1F2.连接 O1F2，O2F2，又 O1F2 平分F 1F2A，O2F2 平分F 1F2B，O 1F2O290，RtO 1F2PRtF 2O2PRtO 1O2F2，|O 1F2|2|O 1P|O1O2|，|O2F2|2|O 2P|O1O2|， 3，|O1F2|2|O2F2|2 |O1P|O2P| r1r2则 tanO 2O1F2 ，|O2F2|O1F2| 33O 2O1F230，则O 1F2P60，AF 2P120，k A
40、B .由对称性可得 A 在第四象限时，k AB .3 3综上，直线 l 的斜率为 .3方法二 当 A 在第一象限时，如图 2，设AF 1F2 的内切 圆O 1 分别切 AF1，F1F2，F2A 于点 Q，P，N，则|AQ|AN| ，|F1Q|F 1P|，|F2P| F2N|，又 |AF1|AF 2|2a，即(|AQ|F 1Q|)(|AN| |F 2N|)2a，|F 1Q| |F2N|2a，|F 1F2| F2P|F 2N|2a，即 2c2|F 2P|2a， |F 2P|c a，P 为双曲线的右顶点，同理，BF 1F2 的内切 圆O 2 也切 F1F2 于双曲线的右顶点，连接 O1P，O2P，则
41、 O1，P，O2 三点共线，且 O1O2F 1F2.设O 2 切 BF2 于点 H，连接 O1N，O2H，则在直角梯形 O2HNO1 中，|O2H| r2，|O1N|r 13r 2，|O1O2|r 1r 24r 2，作 O2TO 1N 于点 T，则| O1T|r 1r 22r 2，故在 Rt O1O2T 中，O 2O1T60 ，AF 2P120 ，k AB .3由对称性可得 A 在第四象限时， kAB .3综上，直线 l 的斜率为 .316.(2018浙江省杭州地区四校联考) 已知 F1，F 2 是双曲线 C： 1( a0，b0)的左、右x2a2 y2b2焦点，点 P(在第一象限 )在双曲线的
42、右支上，直线 PF2 的倾斜角为 120，PF 1F2 的面积S (a2b 2)，求双曲线 C 的离心率.32解 方法一 设 P(x0，y0)，易知|F 1F2|2c，c ，a2 b2所以PF 1F2 的面 积 S 2c|y0| c2，12 32解得|y 0| c.32因为直线 PF2 的倾斜角为 120，所以|PF 2| c.|y0|sin 60在PF 1F2 中，由余弦定理得|PF 1|2|PF 2|2| F1F2|22| PF2|F1F2|cosPF 2F1c 2(2c)22c2ccos 603c 2，所以|PF 1| c.3由双曲线的定义可得 2a|PF 1|PF 2| cc ( 1) c，3 3所以双曲线的离心率 e 1.ca 23 1 3方法二 设 P(x0，y0)，易知 |F1F2|2c，c ，a2 b2所以PF 1F2 的面 积 S 2c|y0| c2，12 32解得|y 0| c.32因为直线 PF2 的倾斜角为 120，所以 x0c ，所以 P .|y0|tan 60 c2 (c2，32c)由点 P 在双曲线上可得 1，(c2)2a2( 32c)2b2整理得 c48c 2a24a 40，即 e48e 240，解得 e242 或 e242 .3 3因为 e1，所以 e242 ，所以 e 1.3 4 23 3
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