1、第 1 页，共 11 页直角三角形全等的判定(45 分钟小测验)题号 一 二 三 四 总分得分一、选择题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）1. 如图， 中， ， 于 D， 于= E，BD 和 CE 交于 O，AO 的延长线交 BC 于 F，则图中全等的直角三角形有 ( )A. 3 对B. 4 对C. 5 对D. 6 对2. 如图，若要用“HL”证明 ，则还需补充条件 ( )A. =B. 或=C. 且=D. 以上都不正确3. 下列说法中，正确的个数是 ( )斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
2、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个4. 下列说法：两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等角的对称轴是角平分线两边对应相等的两直角三角形全等成轴对称的两图形一定全等到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确的有 个( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 55. 下列说法不正确的是 ( )A. 有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等B. 有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D. 有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等6. 如图， ， ， 于 E，=90 =于 D，
3、 ， ，则 DE 的长是 =5=2 ()第 2 页，共 11 页A. 8 B. 5 C. 3 D. 2二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）7. 如图，已知 ，垂足为 B， ，若直接应用 =“HL”判定 ，则需要添加的一个条件是_ 8. 如图，三角形 ABC 中 ， ，垂足分别为D、E，AD、CE 交于点 H，请你填加一个适当的条件_，使 9. 如图，已知 于点 P， ，请增加一个 =条件，使 不能添加辅助线 ，你增( )加的条件是_10. 如图，在 中，已知： ， =90， ，以斜边 AB 的中点 P 为旋转=60 =3中心，把这个三角形按逆时针方向旋转 得到90，则旋转前后两个
4、直角三角形重叠部分的面积为_ 211. 如图，在 中， ， ，分别过点=90 =B，C 作过点 A 的直线的垂线 BD，CE，若 ，=4，则 _ cm=3 =12. 如图，若要用“HL”证明 ，则需要添加的一个条件是_三、计算题（本大题共 3 小题，共 18.0 分）13. 如图， ， ，E 是 AB 上的一点，且/=90， =1=2求证： ；(1) 若 ， ，请求出 CD 的长(2)=6 =14第 3 页，共 11 页14. 如图，点 E，C 在 BF 上， ，=， =45 =90求证： ；(1) =若 AC 交 DE 于 M，且 ， ，将线段(2) =3 =2CE 绕点 C 顺时针旋转，使
5、点 E 旋转到 AB 上的 G 处，求旋转角 的度数15. 如图所示，已知 AB 是 的直径，直线 L 与 相切于点 C， ，CD 交 =AB 于 E， 直线 L，垂足 为 F，BF 交 于 C 图中哪条线段与 AE 相等？试证明你的结论；(1)若 ， ，求 AB 的值(2)=55 =4四、解答题（本大题共 2 小题，共 16.0 分）16. 如图，已知 AC 平分 ， 于 E，于 F，且 ， =求证： ；(1) 若 ， ， ，求 AC 的(2)=21=9 =10长第 4 页，共 11 页17. 如图 1， ， ，以 A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰 =2 =4 求 C 点的坐标；(1
6、)如图 2，P 为 y 轴负半轴上一个动点，当 P 点向 y 轴负半轴向下运动时，以 P(2)为顶点，PA 为腰作等腰 ，过 D 作 轴于 E 点，求 的值 第 5 页，共 11 页答案和解析【答案】1. D 2. B 3. C 4. B 5. C 6. C7. =8. 或 或 正确即可 =( )9. 或 或 或 = =10. 9411. 7 12. 或 =13. 解： ， ， ，(1)/=90 1=2， =90 =，= 分 .(3)由 得 ， (2)=+=+=90分 =90.(4)又 ， ，=6 =14， 分 =6 =146=8.(5)，1=2分 =2+2=10.(6)分 利用其它方法，参照
7、上述标准给分 =2+2=102.(7)( )14. 证明： ，(1) =，=又 ， ，= ，=解： ，(2) =45，/，=90， ，=3 =2在 中， ， =2+2=(2)2+(2)2=2，=2在 中， ，=32，=30 =4530=1515. 解： ，理由如下：(1)=连接 CG、AC、BD；，=，第 6 页，共 11 页，即 ；= =直线 L 切 于 C， ，=，=， ；=；=和 中， 、 ， ，=90 ，则 =切 于 C，(2)，即 ；=55在 中， ， ；=4 =45；=45在 中， ，由射影定理得：，即 2= =2=2016. 证明： 平分 ， 于 E， 于 F，(1) ， 垂线的
8、意义 =90 =90( )角平分线的性质 =( )已知 =( ) ()解：由 得，(2) (1) ，设 = =， ，=90 =90， = ()=即： +=， ， =21=9 =解得， 9+=21 =6在 中， ， =6 =10=8中， 2=2+2=82+(9+6)2=289=17答：AC 的长为 17 17. 解： 如图 1，过 C 作 轴于 M 点，(1) ， ，+=90 +=90则 ，=在 和 中 =90= 第 7 页，共 11 页，()， ，=2 =4，=+=2+4=6点 C 的坐标为 (6,2)如图 2，过 D 作 于 Q 点，则 (2) =，=，+=90，+=90，=在 和 中，=9
9、0= ()=2即 =2【解析】1. 解： ， ，=90，=，= ；，=，=，=，=90 ；，=，=，= ；，= ；，=，=， ，= ， 共 6 对，故选 D ， ， ， ， ， 利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、做题时要由易到难，不重不漏.2. 解：从图中可知 AB 为 和 的斜边，也是公共边很据“HL”定理，证明 ，还需补充一对直角边相等，第 8 页，共 11 页即 或 ，=故选 B根据“HL”证明 ，因图中已经有 AB 为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可此题主要
10、考查学生利用“HL”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题3. 解： 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；故选 C根据 HL 可得 正确；如果一直角边和一斜边对应相等，这两个直角三角形全等；由AAS 或 ASA 可得 正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等本题考查了直角三角形全等的判定，除了 HL 外，还有一般三角形全等的四个判定定理，要找准对应关系4. 解： 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全
11、等，故 错误； 角的对称轴是角平分线所在直线，故 错误； 两边对应相等的两直角三角形可以用 SAS，故 正确； 根据轴对称的性质可得，成轴对称的两图形一定全等，故 正确； 根据中垂线的性质定理的逆定理可得，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，故 正确；综上所述，正确的说法有 3 个故选：B不存在 SSA 这种判定全等三角形的方法； 根据角的轴对称性进行判断； 斜边 和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，据此判断即可； 根据轴对称的性质进行判断； 根据线段垂直平分线的性质进行判断本题主要考查了轴对称的性质、直角三角形的判定、线段和角的轴对称性的综合应用，解题时注意：对称轴是一条直线；
12、直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件5. 解：A、有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等，说法正确；B、有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，说法正确；C、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，说法错误；D、有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确；故选：C 根据三角形全等的判定定理进行分析即可本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA 、AAS 、HL注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角6. 解：
13、， ， 于 E， 于 D，=90 = ，+=+，=又 ， ，=90 = ， ，=2 =5=52=3()故选 C第 9 页，共 11 页根据已知条件，观察图形得 ， ，然后证+=+= 后求解本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用 ， ，是解题的关键+=+=7. 解： ，=理由是： ，=90在 和 中，= ()故答案为： =先求出 ，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可=90本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有 SAS，ASA，AAS，SSS，HL8. 解： ， ，=90当 或 或 时， =
14、() =() =() 和 中，已知了 ， ，因此只需添加一组对应 =90 =角相等，或一组直角边对应相等即可判定两三角形全等本题考查了直角三角形全等的判定；这是一道考查全等三角形判定方法的开放性试题，答案不唯一 熟练掌握全等三角形的各种判定方法是解题的关键.9. 解： 于点 P， ， =又 ，= 增加的条件是 或 或 或 = =故填 或 或 或 = = =要使 ，已知 于点 P， ，即一角一边，则我们增加直角 =边、斜边或另一组角，利用 SAS、HL、AAS 判定其全等本题考查了直角三角形全等的判定；这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种，注意要选择简单的，明显的添加10.
15、 解：在直角 中， ，=3，=60，2+2=2，2+32=(2)2，=3， ， ，= =90 ，=3在直角 中， ， =3+3， ，=3+32 =32(3+3)， ，=123+32 32(3+3)=63+94 =1233=332=63+94 332=942根据已知及勾股定理求得 DP 的长，再根据全等三角形的判定得到 ，从而根据直角三角形的性质求得 GH，BG 的长，从而不难求得旋转前后两个直角三角第 10 页，共 11 页形重叠部分的面积此题考查勾股定理，三角形的全等的判定及性质，旋转的性质等知识的综合运用11. 解： 在 中， ， =90 =90， +=90 +=90= ()， =+=+=
16、7故填 7用 AAS 证明 ，得 ， ，所以=+=4+3=7本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SAA 、ASA 、HL注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角12. 解：添加 或 ；理由如下：=，=90在 和 中， ，= ，()故答案为： 或 =此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是 =本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，HL13. 根据已知可得到 ， ， 从而利用
17、 HL 判定两三角(1) =90 =形全等；由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出 ，由已(2) =90知我们可求得 BE、AE 的长，再利用勾股定理求得 ED、DC 的长此题考查学生对全等三角形的判定方法及勾股定理的运用能力14. 通过证明 即可得出 (1) =要求角的度数就要解直角三角形，根据特殊角的三角函数值来计算(2)本题综合考查了旋转变换作图，三角形全等和解直角三角形的综合应用15. 观察图象知：只有 FG 的长度与 AE 相当，可猜想 ，然后着手证明它们(1) =相等；求简单的线段相等，通常是证线段所在的三角形全等，那么本题需要构造全等三角形，连接 AC、CG，然后
18、证 ；连接 BD，由于弧 弧 AD，那么 =，根据垂径定理知 ；由弦切角定理知 ，那么它 = =们的余角也相等，即 ，那么弧 弧 AC，即 ，再由角平分线= = =的性质得 ，根据 HL 即可判定所求的两个三角形全等，由此得证=由弦切角定理知 ，它们的正弦值也相等，即可在 中，求得(2) = CG 的长，也就得到了 AC 的长，在 中， ，由射影定理即可得到 AB的长此题主要涉及到：圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、弦切角定理、解直角三角形等知识点；通过构造全等三角形来求得 是解决此题的关键=16. 要证明 ，已知一对直角相等和一对边相等，只需再创造一个条(1) 件，所以根据已知条
19、件运用角平分线的性质定理即可证明另一对边对应相等；第 11 页，共 11 页结合 中的结论进行分析，发现：(2) (1)，求出 BE 的长，再根据勾股=+=+=+=+2定理求得 CE 的长，再运用勾股定理进行求解即可掌握全等三角形的判定方法，能够根据已知条件探求需要的边相等或角相等；(1)注意线段的等量代换，熟练运用勾股定理(2)17. 如图 1，过 C 作 轴于 M 点，则可以求出 ，可得 ， ，故点 C 的坐标为 =2 =4 (6,2)如图 2，过 D 作 于 Q 点，则 =利用三角形全等的判定定理可得 ()进一步可得 ，即 =2 =2本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用 HL 定理，关键还要巧妙作出辅助线，再结合坐标轴才能解出，本题难度较大
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