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    最新北师大版2019_2020学年九年级数学下册第二章二次函数检测卷解析版(含最新中考试题)

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    最新北师大版2019_2020学年九年级数学下册第二章二次函数检测卷解析版(含最新中考试题)

    1、1第 2 章 单元检测卷 姓名 座号 班级 得分 一选择题(共 10 小题)1抛物线 y=2x21 与直线 y=x+3 的交点的个数是( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个2对于抛物线 y=2(x+1) 2+3,下列结论:抛物线的开口向下;对称轴为直线 x=1:顶点坐标为(1,3) ;x1 时,y 随 x 的增大而减小其中正确结论的个数为( )A1 B2 C3 D43已知二次函数 y=x2x+a(a0) ,当自变量 x 取 m 时,其相应的函数值小于 0,则下列结论正确的是( )Ax 取 m1 时的函数值小于 0Bx 取 m1 时的函数值大于 0Cx 取 m1 时的函数值等于 0Dx 取

    2、 m1 时函数值与 0 的大小关系不确定4若抛物线 y=x2+ax+b 与 x 轴两个交点间的距离为 2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线 x=1,将此抛物线向左平移2 个单位,再向下平移 3 个单位,得到的抛物线过点( )A (3,6) B (3,0) C (3 , 5) D (3,1)5如图,抛物线 y= x2+ x+2 与 x 轴交于 A,B 两点(A 在 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C,P 为此抛物线对称轴 l 上任意一点,则APC 的周长的最小值是( )A2 B3 C5 D +6二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论:abc0;2a

    3、+b=0;m 为任意实数,则 a+bam 2+bm;ab+c0;若ax12+bx1=ax22+bx2,且 x1x 2,则 x1+x2=2其中正确的有( )A B C D7下列各点中,抛物线 y=x24x4 经过的点是( )A (0,4) B (1,7) C (1,1) D (2,8)8将函数 y=kx2与 y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中,可能的是( )2A BC D9已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,它与 x 轴的两个交点分别为(1,0) , (3,0) 对于下列命题:2a+b=0;abc0;b 24ac0;8a+c0其中正确的有( )A3 个 B2 个 C1 个

    4、 D0 个10已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论:ac0;ab+c0;当 x0 时,y0;方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个大于1 的实数根其中正确的结论有( )A B C D二填空题(共 6 小题)11已知二次函数 y=3 (x1 ) 2+k 的图象上三点 A(2,y 1) ,B(3,y 2) ,C(4,y 3) ,则 y1、y 2、y 3的大小关系是 12若 A( ,y 1) 、B( ,y 2) 、C(3,y 3)为二次函数 y=x 24x+5 的图象上的三点,则 y1、y 2、y 3的大小关系是 (用“”连接) 13函数 y=3(x+2) 2的开口 ,对

    5、称轴是 ,顶点坐标为 14已知抛物线 y=x 2+ bx+2b ,在自变量 x 的值满足1x2 的情况下,函数有最大值 m,则 m 的最小值是 15如图,已知抛物线和 x 轴交于两点 A、B,和 y 轴交于点 C,已知 A、B 两点的横坐标分别为1,4,ABC 是直角三角形,ACB=90,则此抛物线顶点的坐标为 16对于二次函数 y=5x2+bx+c,甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法,甲:图象对称轴是 x=1;乙:函数最小值为 3;丙:当 x=1 时,y=0;丁:点(2,8)在函数图象上其中有且仅有一个说法是错误的,则哪位同学的说法是错误的 三解答题(共 9 小题)17一个二次函数图象上部分

    6、点的横坐标 x,纵坐标 y 的对应值如下表:x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y 0 2 0 m 6(1)求这个二次函数 的表达式;(2)求 m 的值;3(3)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;(4)根据图象,写出当 y0 时,x 的取值范围18某商场销售一种商品,进价为每个 20 元,规定每个商品售价不低于进价,且不高于 60 元,经调查发现,每天的销售量 y(个)与每个商品的售价 x(元)满足一次函数关系,其部分数据如下所示:每个商品的售价 x(元) 30 40 50 每天的销售量y(个)100 80 60 (1)求 y 与 x 之间的函数表达式;(2)设商场每天获得的总利润

    7、为 w(元) ,求 w 与 x 之间的函数表达式;(3)不考虑其他因素,当商品的售价为多少元时,商场每天获得的总利润最大,最大利润是多少?19如图,在直角坐标系中,0 是坐标原点,直线 AB 交 x 轴于点 A(4,0) ,交 y 轴于点 B,抛物线 y=ax2+2ax+3(a0)经过 A,B 两点P是线段 AO 上的一动点,过点 P 作 PCx 轴交直线 AB 于点 C,交抛物线于点 D(1)求 a 及 AB 的长(2)连结 PB,若 tanABP= ,求点 P 的坐标(3)连结 BD,以 BD 为边作正方形 BDEF,是否存在点 P 使点 E 恰好落在抛物线的对称轴上?若存在,请求出点 P

    8、 的坐标;若不存在,请说明理由(4)连结 OC,若 SBDC :S OBC =1:2,将线段 BD 绕点 D 按顺时针方向旋转,得到 DB则在旋转的过程中,当点 A,B 到直线 DB的距离和最大时,请直接写出点 B的坐标420如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l: 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B(0,1) ,抛物线 经过点 B,且与直线 l 的另一个交点为 C(4,n) (1)求 n 的值和抛物线的解析式;(2)点 D 在抛物线上,且点 D 的横坐标为 t(0t4) DEy 轴交直线 l 于点 E,点 F 在直线 l 上,且四边形 DFEG 为矩形(如图 2) 若矩形D

    9、FEG 的周长为 p,求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值;(3)M 是平面内一点,将AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90后,得到A 1O1B1,点 A、O、B 的对应点分别是点 A1、O 1、B 1若A 1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点 A1的横坐标21如图,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于点 A(3,0) ,B(1,0) ,与 y 轴相交于(0, ) ,顶点为 P(1)求抛物线解析式;(2)在抛物线是否存在点 E,使ABP 的面积等于ABE 的面积?若存在,求出符合条件的点 E 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)坐标平面内是否存在点 F,使得

    10、以 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形?直接写出所有符合条件的点 F 的坐标,并求出平行四边形的面积522如图,抛物线 y=x 2+bx+c 和直线 y=x+1 交于 A,B 两点,点 A 在 x 轴上,点 B 在直线 x=3 上,直线 x=3 与 x 轴交于点 C(1)求抛物线的解析式;(2)点 P 从点 A 出发,以每秒 个单位长度的速度沿线段 AB 向点 B 运动,点 Q 从点 C 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿线段 CA 向点 A 运动,点 P,Q 同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为 t 秒(t0) 以 PQ 为边作矩形 PQNM,使点

    11、N 在直线x=3 上当 t 为何值时,矩形 PQNM 的面积最小?并求出最小面积;直接写出当 t 为何值时,恰好有矩形 PQNM 的顶点落在抛物线上23建立适当的坐标系,运用函数知识解决下面的问题:如图,是某条河上的一座抛物线形拱桥,拱桥顶部点 E 到桥下水面的距离 EF 为 3 米时,水面宽 AB 为 6 米,一场大雨过后,河水上涨,水面宽度变为 CD,且 CD=2 米,此时水位上升了多少米?24如图,点 P 为抛物线 y= x2上一动点(1)若抛物线 y= x2是由抛物线 y= (x+2) 21 通过图象平移得到的,请写出平移的过程;(2)若直线 l 经过 y 轴上一点 N,且平行于 x

    12、轴,点 N 的坐标为(0,1) ,过点 P 作 PMl 于 M6问题探究:如图一,在对称轴上是否存在一定点 F,使得 PM=PF 恒成立?若存在,求出点 F 的坐标:若不存在,请说明理由问题解决:如图二,若点 Q 的坐标为(1,5) ,求 QP+PF 的最小值7参考答案与试题解析一 1 【解析】由 ,消去 y 得到 2x2+x4=0.=1(32)=330,抛物线 y=2x21 与直线 y=x+3 有两个交点.故选 C2 【解析】a=2 0, 抛物线的开口向下,正确;对称轴为直线 x=1,故本小题错误;顶点坐标为(1,3) ,正确;x1时,y 随 x 的增大而减小,x1 时,y 随 x 的增大而

    13、减小一定正确;综上所述,结论正确的个数是共 3 个故选 C3 【解析】由题意,函数的图象为:抛物线的对称轴 x= ,设抛物线与 x 轴交于点 A、BAB1,x 取 m 时,其相应的函数值小于 0,观察图象可知,x=m1 在点 A 的左侧,x=m1 时,y0.故选 B4 【解析】某定弦抛物线的对称轴为直线 x=1,该定弦抛物线过点(0,0) 、 (2,0) ,该抛物线解析式为 y=x(x2)=x 22x=(x1)21将此抛物线向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,得到新抛物线的解析式为 y=(x1+2) 213=(x+1) 24当 x=3 时,y=(x+1) 24=0,得到的新抛物线过点

    14、(3,0) 故选 B5 【解析】作点 C 关于直线 l 的对称点 C,连接 AC交直线 l 于 P,连接 PC,则APC 的周长的最小.由抛物线的对称性可知,点 C在抛物线上,当 x=0 时,y=2,点 C 的坐标为(0,2) ,点 C的纵坐标为 2,2= x2+ x+2,解得,x 1=0,x 2=3,则点 C的横坐标为3, x2+ x+2=0,x1=1,x 2=4,则点 A 的坐标为(1,0) ,AC= =2 ,AC= = ,APC 的周长的最小值是 3 .故选 B6 【解析】抛物线开口向下,a0.抛物线对称轴为直线 x= =1,b=2a0,即 2a+b=0,所以正确;抛物线与 y 轴的交点

    15、在 x轴上方,c0,abc0,所以错误;抛物线对称轴为直线 x=1,函数的最大值为 a+b+c,当 m1 时,a+b+cam 2+bm+c,即a+bam 2+bm,所以错误;抛物线与 x 轴的一个交点在(3,0)的左侧,而对称轴为直线 x=1,抛物线与 x 轴的另一个交点在(1,0)的右侧当 x=1 时,y0,ab+c0,所以错误;ax 12+bx1=ax22+bx2,ax 12+bx1ax 22bx 2=0,a(x 1+x2) (x 1x 2)+b(x 1x 2)=0,(x 1x 2)a(x 1+x2)+b=0,而 x1x 2,a(x 1+x2)+b=0,即 x1+x2= .b=2a,x 1

    16、+x2=2,所以正确综上所述,正确的有故选 C7 【解析】当 x=0 时,y=x 24x4=4;当 x=1 时,y=x 24x4=7;当 x=1 时,y=x 24x4=1;当 x=2 时,y=x 24x4=8,所以点(1,7)在抛物线 y=x24x4 上故选 B8 【解析】当 k0 时,函数 y=kx2的图象是开口向上,顶点在原点的抛物线,y=kx+k 的图象经过第一、二、三象限,是一条直线,故选项 A、B均错误;当 k0 时,函数 y=kx2的图象是开口向下,顶点在原点的抛物线,y=kx+k 的图象经过第二、三、四象限,是一条直线,故选项 C 正确,选项 D 错误.故选 C89 【解析】A因

    17、为点(1,0) , (3,0)在二次函数上,所以 ab+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得 8a+4b=0,故 2a+b=0,则正确;由图形可知,该二次函数的 a0,c0,顶点的横坐标 =10,则 b0,知 abc0,故错误;函数图象与 x 轴两个交点,可知b24ac0,故正确;由图象可知 ,则 b=2a ,因(3,0)在函数图象上,故 9a+3b+c=0,将 b=2a 代入得 3a+c=0,由函数图象知 a0,故 3a+c+5a0,即 8a+c0故正确故选项 A 正确;B因为点(1,0) , (3,0)在二次函数上,所以ab+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得 8a+4b=0,故

    18、 2a+b=0,则正确;由图形可知,该二次函数的 a0,c0,顶点的横坐标 =10,则 b0,知 abc0,故错误;函数图象与 x 轴两个交点,可知 b24ac0,故正确;由图象可知 ,则b=2a,因(3,0)在函数图象上,故 9a+3b+c=0,将 b=2a 代入得 3a+c=0,由函数图象知 a0,故 3a+c+5a0,即 8a+c0故正确故选项 B 错误;C因为点(1,0) , (3,0)在二次函数上,所以 ab+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得 8a+4b=0,故 2a+b=0,则正确;由图形可知,该二次 函数的 a0,c0,顶点的横坐标 =10,则 b0,知 abc0,故错误

    19、; 函数图象与 x 轴两个交点,可知 b24ac0,故正确;由图象可知 ,则 b=2a,因(3,0)在函数图象上,故 9a+3b+c=0,将 b=2a 代入得 3a+c=0,由函数图象知 a0,故 3a+c+5a0,即 8a+c0故正确故选项 C 错误;D因为点(1,0) , (3,0)在二次函数上,所以ab+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得 8a+4b=0,故 2a+b=0,则正确;由图形可知,该二次函数的 a0,c0,顶点的横坐标 =10,则 b0,知 abc0,故错误;函数图象与 x 轴两个交点,可知 b24ac0,故正确;由图象可知 ,则b=2a,因(3,0)在函数图象上,故

    20、9a+3b+c=0,将 b=2a 代入得 3a+c=0,由函数图象知 a0,故 3a+c+5a0,即 8a+c0故正确故选项 D 错误故选 A10 【解析】抛物线开口向下,a0.抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,c0,ac0,所以错误;x=1 时,y0,ab+c0,所以正确;当 x0 时,y 有时大于 0,有时等于 0,有时小于 0,错误;抛物线与 x 轴的两个交点都在点(1,0)的右边,方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个大于1 的实数根,所以正确故选 D二11 【解析】y= 3(x1 ) 2+k,图象的开口向上,对称轴是直线 x=1,A(4,y 3)关于直线 x=2 的对称点是(6

    21、,y 3) ,236,y 1y 2y 3.12 【解析】抛物线的对称轴为直线 x= =2,抛物线开口向下,当 B( ,y 2)到直线 x=2 的距离最小,点 C(3,y 3)到直线x=2 的距离最大,所以 y3y 1y 213 【解析】函数 y=3(x+2) 2的开口向下,对称轴是直线 x=2,顶点坐标是(2,0).14 【解析】抛物线 y=x 2+bx+2b,开口向下,对称轴为 x=当1 2,则2b4,函数最大值 m 为 1当 1,则 b2,当 x=1 时,函数最大值 m 为1b+2b=12b5当 2 ,则 b4当 x=2 时,函数最大值 m 为4+2b+2b=b22m 的最小值为 1故答案

    22、为 115 【解析】A、B 两点的横坐标分别为1,4,OA=1,OB=4.ACB=90,CAB+ABC=90,COAB,ABC+BCO=90,CAB=BCO,又AOC=BOC=90,AOCCOB, = ,9即 = ,解得 OC=2,点 C 的坐标为(0,2) ,A、B 两点的横坐标分别为1,4,设抛物线解析式为 y=a(x+1) (x4) ,把点 C 的坐标代入得,a(0+1) (04)=2,解得 a= ,y= (x+1) (x4)= (x 23x4)= (x ) 2+ ,此抛物线顶点的坐标为( , ) 16 【解析】若甲乙对,则抛物线的解析式为 y=5(x1) 2+3,当 x=1 时,y=2

    23、3,此时丙错误;当 x=2 时,y=8,此时丁正确而其中有且仅有一个说法是错误的,所以只有丙错误故答案为丙三 17解:(1)由图表可知抛物线的顶点坐标为(1,2) ,所以,设这个二次函数的表达式为 y=a(x+1) 2+2.图象过点(1,0) ,a(1+1) 2+2=0,a= ,这个二次函数的表达式为 y= (x+1) 2+2;(2)x=2 时,m= (2+1) 2+2= ;(3)函数图象如图所示;(4)y0 时,x3 或 x118解:(1)设 y 与 x 之间的函数解析式为 y=kx+b,则 ,10解得 ,即 y 与 x 之间的函数表达式是 y=2x+160;(2)由题意可得,w=(x20)

    24、 (2x+160)=2x 2+200x3200,即 w 与 x 之间的函数表达式是 w=2x 2+200x3200;(3)w=2x 2+200x3200=2(x50) 2+1800,20x60,当 20x50 时,w 随 x 的增大而增大;当 50x60 时,w 随 x 的增大而减小;当 x=50 时,w 取得最大值,此时 w=1800 元即当商品的售价为 50 元时,商场每天获得的总利润最大,最大利润是 180019解:(1)把点 A(4,0 代入抛物线 y=ax2+2ax+3 方程解得:a= ,二次函数的表达式为:y= x2 x+3,则 B 坐标为(0,3) ,OA=4,OB=3,由勾股定

    25、理得:AB=5,则二次函数表达式为:y= x2 x+3,对称轴为 x=1,答:a= ,AB 的长为 5;(2)如上图,连接 BP,作 AHPH 于 H,在 RtABH 中,AB=5,tanABP= ,可得:AH= ,BH=2 ,设:点 P 的坐标为(x,0) ,在 RtAPH 中,AP=x,AH= ,PH=BHBP=2 ,由勾股定理得:(x) 2=5+2 2,解得 x=10 14,答:点 P 的坐标(10 14,0) ;(3)如上图所示,正方形 DBFE 的 E 点在抛物线的对称轴上,从 E 点作 ENPD,作 DHy 轴,则 RtBHDRtEND(AAS) ,NH=BH,设 P 点坐标为(a

    26、,0) ,则 D、E 点的坐标分别为(a, a2 a+3) 、 (1,y) ,BH=3( a2 a+3)=HN=1a,解得 x= (舍去) ,x=4,答:E 恰好落在抛物线的对称轴上情况存在,点 P 的坐标为(4,0) ;11(4)当 BD 旋转到如图 DB的位置时,点 A,B 到直线 DB的距离和最大,此时 ABBD,过点 B向 PD 和 x 轴作垂线,即 BNDP,BMx 轴,由 A、B 两点坐标可得 AB 的直线方程为:y= x+3,则 tanBAO= ,设 P 点坐标为(m,0) ,则 C(m, m +3) ,BDC 和OBC 是等高不等底的两个三角形,而 1:2 若 SBDC :S

    27、OBC =1:2,CD= OB= ,则 D 点 y 坐标=C 点 y 坐标+ = m+ ,即:D(m, m+ ) ,把点 D 的坐标(m, m+ )代入二次函数方程 y= x2 x+3,解得:m=2,把 m 值代入,即 D 点坐标为:D(2,3) ,P(2,0) ,B(0,3)则 BDx 轴,BDDC,BDDC,ABBD,BDP=BAO=BAO,tanBDP=tanBAO= ,在 RtBMD 中,BD=BD=2,tanBDP= ,则:BM= ,DM= ,则:B的横坐标为=x PBM=2+ = ,B的纵坐标为=y DDM=3 = ;答:当点 A,B 到直线 DB的距离和最大时点 B的坐标为( ,

    28、 ) 20解:(1)直线 l:y= x+m 经过点 B(0,1) ,m=1,直线 l 的解析式为 y= x1,直线 l:y= x1 经过点 C(4,n) ,n= 41=2,抛物线 y= x2+bx+c 经过点 C(4,2)和点 B(0,1) , ,解得 ,抛物线的解析式为 y= x2 x1;(2)令 y=0,则 x1=0,解得 x= ,点 A 的坐标为( ,0) ,OA= ,在 RtOAB 中,OB=1,AB= = = ,DEy 轴,12ABO=DEF,在矩形 DFEG 中,EF=DEcosDEF=DE = DE,DF=DEsinDEF=DE = DE,p=2(DF+EF)=2( + )DE=

    29、 DE,点 D 的横坐标为 t(0t4) ,D(t, t2 t1) ,E(t, t1) ,DE=( t1)( t2 t1)= t2+2t,p= ( t2+2t)= t2+ t,p= (t2) 2+ ,且 0,当 t=2 时,p 有最大值 ;(3)AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90,A 1O1y 轴时,B 1O1x 轴,设点 A1的横坐标为 x,如图 1,点 O1、B 1在抛物线上时,点 O1的横坐标为 x,点 B1的横坐标为 x+1, x2 x1= (x+1) 2 (x+1)1,解得 x= ,如图 2,点 A1、B 1在抛物线上时,点 B1的横坐标为 x+1,点 A1的纵坐标比点 B1的

    30、纵坐标大 , x2 x1= (x+1) 2 (x+1)1+ ,解得 x= ,综上所述,点 A1的横坐标为 或 21解:(1)将(3,0) , (1,0) , (0, )代入抛物线解析式得解得:a= ,b=1,c=抛物线解析式:y= x2+x(2)存在y= x2+x = (x+1) 22P 点坐标为(1,2)ABP 的面积等于ABE 的面积,点 E 到 AB 的距离等于 2,设 E(a,2) , a2+a =213解得 a1=12 ,a 2=1+2符合条件的点 E 的坐标为(12 ,2)或(1+2 ,2)(3)点 A(3,0) ,点 B(1,0) ,AB=4若 AB 为边,且以 A、B、P、F

    31、为顶点的四边形为平行四边形ABPF,AB=PF=4点 P 坐标(1,2)点 F 坐标为(3,2) , (5,2)平行四边形的面积=42=8若 AB 为对角线,以 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形AB 与 PF 互相平分设点 F(x,y)且点 A(3,0) ,点 B(1,0) ,点 P(1,2)x=1,y=2点 F(1,2)平行四边形的面积= 44=8综上所述:点 F 的坐标为(1,2) 、 (3,2) 、 (5,2) ,且平行四边形的面积为 822解:(1)由已知,B 点横坐标为 3A、B 在 y=x+1 上A(1,0) ,B(3,4)把 A(1,0) ,B(3,4)代入 y=x 2

    32、+bx+c 得解得抛物线解析式为 y=x 2+3x+4;(2)过点 P 作 PEx 轴于点 E直线 y=x+1 与 x 轴夹角为 45,P 点速度为每秒 个单位长度t 秒时点 E 坐标为(1+t,0) ,Q 点坐 标为(32t,0)EQ=43t,PE=tPQE+NQC=90PQE+EPQ=90EPQ=NQCPQEQNC矩形 PQNM 的面积 S=PQNQ=2PQ214PQ 2=PE2+EQ2S=2( ) 2=20t248t+32当 t= 时,S 最小 =20( ) 248 +32=由点 Q 坐标为(32t,0) ,P 坐标为(1+t,t)PQEQNC,可得 NC=2QO=86tN 点坐标为(3

    33、,86t)由矩形对角线互相平分点 M 坐标为(3t1,85t)当 M 在抛物线上时85t=(3t1) 2+3(3t1)+4解得 t=当点 Q 到 A 时,Q 在抛物线上,此时 t=2当 N 在抛物线上时,86t=4t=综上所述当 t= 、 或 2 时,矩形 PQNM 的顶点落在抛物线上23解:以点 E 为原点、EF 所在直线为 y 轴,垂直 EF 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,根据题意知 E(0,0) 、A(3,3) 、B(3,3) ,设 y=kx2(k0) ,将点(3,3)代入,得:k= ,y= x2,将 x= 代入,得:y=2,上升了 1 米24解:(1)抛物线 y= (x+2) 21 的顶点为(2,1)抛物线 y= (x+2) 21 的图象向上平移 1 个单位,再向右 2 个单位得到抛物线 y= x2的图象(2)存在一定点 F,使得 PM=PF 恒成立如图一,过点 P 作 PBy 轴于点 B设点 P 坐标为(a, a2)15PM=PF= a2+1PB=aRtPBF 中BF=OF=1点 F 坐标为(0,1)由,PM=PFQP+PF 的最小值为 QP+PM 的最小值当 Q、P、M 三点共线时,QP+PM 有最小值,最小值为点 Q 纵坐标加 M 纵坐标的绝对值QP+PF 的最小值为 6


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