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    【全国名校】2019届江西省高安市高三上学期第四次月考(期中)考试数学(理)试题(解析版)

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    【全国名校】2019届江西省高安市高三上学期第四次月考(期中)考试数学(理)试题(解析版)

    1、2019 届 江 西 省 高 安 中 学高 三 上 学 期 第 四 次 月 考 ( 期 中 ) 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题数 学注 意 事 项 :1 答 题 前 , 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 , 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 : 每 小 题 选 出 答 案 后 , 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 , 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。

    2、3 非 选 择 题 的 作 答 : 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 , 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1设集合 A ,B 1,0,1,2,4,则 A B_|27 范围为_9在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 (a,b 为常数) 过点 P(2,5),且该曲线在点 P=2+处的切线与直线 垂直,则 2a3b 的值是_ 27+3=010若函数 在 上不单调,则 的取值范围是_()=122+43

    3、,+1 11如下图,在 中, 若 ,ABC1,2ABCDAEB12DAC则 _CE12已知函数 ,则关于 x 的方程 的解的个数为()=2+1, 0|, 0 ()=3_13已知正数 a,b,c 满足 ,则 的最大值为_2+2(+)=0+14若存在正数 x,y ,使得 ,其中 e 为自然对数的底数,则(2)()+=0实数 的取值范围是_二、解答题15如图,在四棱锥 PABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,平面 PCD平面 ABCD,M 为 PC中点求证:(1)PA平面 MDB;(2)PDBC此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 16已知 , , , , , (02) (2 )=

    4、13 (+)=426(1)求 的值;2(2)求 的值17如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD) 的池底水平铺设污水净化管道(管道构成 RtFHE,H 是直角项点) 来处理污水管道越长,污水净化效果越好设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点,E,F 分别落在线段 BC,AD 上已知 AB20 米,AD 米,记103BHE (1)试将污水净化管道的长度 L 表示为 的函数,并写出定义域;(2)当 取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度 L18在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O: 与坐标轴分别交于 A1,A 2,B 1,B 2(如图) 2+2=4(1)点 Q 是圆 O 上

    5、除 A1,A 2 外的任意点(如图 1),直线 A1Q,A 2Q 与直线 交于不同+3=0的两点 M,N,求线段 MN 长的最小值;(2)点 P 是圆 O 上除 A1,A 2,B 1,B 2 外的任意点(如图 2),直线 B2P 交 x 轴于点 F,直线A1B2 交 A2P 于点 E设 A2P 的斜率为 k,EF 的斜率为 m,求证:2m k 为定值(图 1) (图 2)19设函数 ,其中 x0,k 为常数,e 为自然对数的底数()=33(1)当 k0时,求 的单调区间;()(2)若函数 在区间(1 ,3)上存在两个极值点,求实数 k 的取值范围;()(3)证明:对任意给定的实数 k,存在 (

    6、 ),使得 在区间( , )上单调递增000 () 0 +20若数列 同时满足:对于任意的正整数 n, 恒成立;若对于给定的正整数 +1k, 对于任意的正整数 n(nk)恒成立,则称数列 是“R( k)数列”+=2 (1)已知 ,判断数列 是否为“R(2) 数列”,并说明理由;=21, 为奇数2, 为偶数 (2)已知数列 是“R(3) 数列 ”,且存在整数 p(p1) ,使得 , , , 成 33 31 3+1 3+3等差数列,证明: 是等差数列21二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,1) 与(2,1)分别变换成点( 1,1)与(0 , 2)(1)求矩阵 M 的逆矩阵 ;M1(2)设直线 l 在

    7、变换 M 作用下得到了直线 m: ,求 l 的方程2=422在极坐标系中,设圆 上的点到直线 的距离为 d,求 d 的最=3 (+3)=2大值23如图,已知三棱锥 OABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直,且OA1,OBOC2,E 是 OC 的中点(1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值;(2)求二面角 ABEC 的余弦值24已知 , ()=(1+) (1)若 ,求 中含 x2 项的系数;()=4()+25()+36() ()(2)若 是 展开式中所有无理项的系数和,数列 是由各项都大于 1 的数组成的数列, () 试用数学归纳法证明: (12+1)(1+1)(1+2)(1+)20

    8、19 届 江 西 省 高 安 中 学高 三 上 学 期 第 四 次 月 考 ( 期 中 ) 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题数 学 答 案参考答案11,2【解析】【分析】先化简集合 A,然后求交集即可 .【详解】集合 A ,又 B 1,0,1,2,4|27 即 解得30171(3)730 +( 2, ) = cos(+)= 1sin2(+)= 1(426)24+26由 得: =+ cos=cos(+)=cos(+)cos+sin(+)sin= =(4+26)(13)+(223)(426) 22 .(0 , ) =417(1) , ; (2) 或 时,L 取得最大值为=10+16,3. =6

    9、=3米 .20(3+1)【解析】【分析】(1)解直角三角形求得得 EH、FH 、EF 的解析式,再由 L=EH+FH+EF 得到污水净化管道的长度 L 的函数解析式,并注明 的范围(2)设 sin+cos=t,根据函数 L= 在 , 上是单调减函数,可求得 L 的最大值201 3+12 2所以当 时,即 或 时,L 取得最大值为 米=3+12 =6 =3 20(3+1)【详解】由题意可得 , , ,由于 ,(1) =10=10= 10=10103,=10103所以 , ,333 6,3,=10+10+ 106,3.即 ,=10+16,3.设 ,则 ,由于 ,(2)+= =212 6,3+=2(

    10、+4)3+12 , 2.由于 在 上是单调减函数,=201 3+12 , 2当 时,即 或 时,L 取得最大值为 米 =3+12 =6 =3 20(3+1)【点睛】三角函数值域得不同求法:1.利用 和 的值域直接求 2.把所有的三角函数式变换成 的形式求值域=(+)(,0)3.通过换元,转化成其他类型函数求值域18(1)2;(2)证明见解析。【解析】【分析】(1)设 A2Q 的斜率为 k,求出直线 A1Q 和 A2Q 的方程,得出 M,N 的坐标,从而得出 MN关于 k 的表达式,进而得出 MN 的最小值;(2)求出直线方程,得出 E、F 的坐标,进而得出 m 与 k 的关系,从而得出结论【详

    11、解】(1)由题设可以得到直线 的斜率存在设方程为 ,2 =(2)(0)直线 的方程为 ,1 =1(+2)由 ,解得 ;由 ,解得=(2)+3=0 =23=3 =1(+2)+3=0 =32=3 所以,直线 与直线 的交点2 +3=0 (23,3)直线 与直线 的交点 ,所以 .1 +3=0 (32,3) =|3+34|当 时, ,等号成立的条件是0 =|3+34|64=2 =1当 时, ,等号成立的条件是 .0 0所以,当 时, ;当 时, ,3 ()0 00 ()在区间(2,3)上单调递增.又 , ,(2)=24 (3)=390 240 ()3 ()(3)(3)=3270) (3)3当 时,

    12、.3 ()=(3)(2)4 (3)(3)32)4 =(3)(3)2设 为 3 和 中较大的数,则当 时, ,0(3) 0 ()0所以对任意给定的实数 ,存在 ,式得 在区间 上单调递增. 0(00) () (0,+)【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了方程的实数根等价转化为函数图象的交点,考查了推理能力与计算能力,属于难题20(1)是(2)见解析【解析】试题分析:(1)根据定义验证两个条件是否成立,由于函数为分段函数,所以分奇偶分别验证(2)根据定义数列隔项成等差,再根据单调性确定公差相等,最后求各项通项,根据通项关系得数列 通项,根据等差数列证结论试题解析:(1)当

    13、为奇数时, ,所以 . +1=2(+1)(21)=30 +1.2+2=2(2)1+2(+2)1=2(21)=2当 为偶数时, ,所以 . +1=(2+1)2=10 +1.2+2=2(2)+2(+2)=4=2所以,数列 是“ 数列”. (2)(2)由题意可得: ,3+3=2则数列 , , , 是等差数列,设其公差为 ,1 4 7 1数列 , , , 是等差数列,设其公差为 ,2 3 8 2数列 , , , 是等差数列,设其公差为 .3 6 9 3因为 ,所以 ,+1 3+13+23+4所以 ,1+12+21+(+1)1所以 , .(21)12 (21)12+1若 ,则当 时,不成立;211221

    14、若 ,则当 时,不成立;210 12+121若 ,则和都成立,所以 .21=0 1=2同理得: ,所以 ,记 .1=3 1=2=3 1=2=3=设 ,3133=3+131=3+33+1=则 3132=31+()(3+1+(1).=313+1+=同理可得: ,所以 .331=3+13= +1=所以 是等差数列.【另解】 , =3133=2+(1)(3+(2)=23+,=3+131=1+(2+(1)=12+,=3+33+1=3+(1+)=31以上三式相加可得: ,所以 ,3=2 =23所以 ,32=1+(1)=1+(32+1)3,31=2+(1)=1+(1)=1+(311)3,3=3+(1)=1+

    15、(1)=1+(31)3所以 ,所以 ,=1+(1)3 +1=3所以,数列 是等差数列.21(1) ;(2) 。1=2 132 12 +4=0【解析】【分析】(1) ,由已知二阶矩阵 M 对应的变换将点( 1, 1)与(2,1)分别变换成点= (1 , 1)与( 0,2)可构造关于 a,b,c,d 的四元一次方程组,解方程组可得矩阵 M,进而得到矩阵 M 的逆矩阵 M1;(2)由(1)中矩阵 M 及直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:2xy=4,构造关于 x,y 的关系式,整理后可得 l 的方程【详解】(1)设 ,则有 ,= 1 1=1 1 , 2 1=0 2所以 ,=1=1 ,且 2+

    16、=02+=2 解得 =1=2=3=4 所以 ,从而 . =1 23 4 1=2 132 12(2)因为 ,且 , =1 23 4 :2=4所以 ,即 ,这就是直线 的方程。2(+2)(3+4)=4 +4=0 【点睛】本题主要考查了逆矩阵与投影变换,以及直线的一般式方程等基础知识,属于基础题224【解析】将极坐标方程 3 化为普通方程,得圆: x2y 29.极坐标方程 (cos sin)2 化为普通方程,得直线:x y2.3 3在 x2y 29 上任取一点 A(3cos,3sin)则点 A 到直线的距离为 d ,|3 33 2|2 |6( 30) 2|2所求 d 的最大值为 4.23(1) ;(

    17、2) 。25 23【解析】【分析】(1)先以 O 为原点,OB,OC,OA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系设出点的坐标,求出直线直线 BE 与 AC 的方向向量,最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线 BE 与 AC 所成的角的余弦值;(2)先分别求得平面 ABE 的法向量和平面 BEC 的一个法向量,再利用夹角公式求二面角的余弦值即可【详解】(1)以 为原点, , , 分别为 轴建立空间直角坐标系, ,则有 , , , .(0,0,1) (2,0,0) (0,2,0) (0,1,0),=(2,0,0)(0,1,0)=(2,1,0). =(0,2,1). =25 5=25由于异面直线

    18、 与 所成的角是锐角,故其余弦值是 . 25(2) .=(2,0,1) , =(0,1,1)设平面 的法向量为 , 1=(,)则由 ,得1 , 1 2=0,=0. 取 .1=(1,2,2)同理可得平面 的一个法向量为 , 2=(0,0,1). =12|1|2|= 21+4+4=23由于二面角 的平面角是 与 的夹角的补角,其余弦值是 . 1 2 23【点睛】考查用空间向量为工具解决立体几何问题,此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量,本题主要考查了二面角的计算,考查了学生综合分析问题的能力和解决问题的能力24(1)56;(2)证明见解析。【解析】【分析】(1)确定函数 g(x),利用二项式

    19、定理可得 g(x)中含 x2 项的系数;(2)确定 pn 的表达式,根据数学归纳法的步骤,先证 n=1 时成立,再设 n=k 时成立,利用归纳假设证明 n=k+1 时成立即可【详解】(1) ,()=4()+25()+36()=(1+)4+2(1+)5+3(1+)6 中含 项的系数为 . () 2 44+245+346=1+10+45=56(2)证明:由题意, . =21当 时, ,成立;=1 1(1+1)=1+1假设当 时, 成立,= (12+1)(1+1)(1+2)(1+)当 时,=+1 (1+1)(1+2)(1+)(1+1)21(12+1)(1+1),=21(12+1+12+1+1).() , ,即 ,1 12(+11)+11 12+1+112+1代入(*)式得 成立.(1+1)(1+2)(1+)(1+1)2(12+1+1)综合可知, 对任意 成立.(12+1)(1+1)(1+2)(1+) 【点睛】本题考查二项式定理,考查数学归纳法的运用,掌握数学归纳法的证题步骤是关键


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