1、单元训练金卷高三数学卷（A）第 15 单 元 算 法 、 推 理 证 明 与 复 数注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔
2、直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1复平面内，复数 3zi( 为虚数单位)，则复数 z对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第 6 年树的
3、分枝数为（ ）A5 B6 C7 D83定义 xfsin)(0， ， ，则 )(2017xf（ ）10cosffx1nnfxfA xsiB csC iD cos4观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）A B C D5已知复数 512zi，则复数 z2的虚部为（ ）A i B C 2iD 26对任意非零实数 a， b，若 的运算原理如右图程序框图所示，则 (3)4的值是（ ）A0 B 12C 32D97关于复数 1zi，下列说法中正确的是（ ）A在复平面内复数 对应的点在第一象限B复数 z的共轭复数 ziC若复数 1bR为纯虚数，则 1bD设 a， 为复数 z的实部和虚部，则点
4、 ,a在以原点为圆心，半径为 1 的圆上8已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A 21B 1C2 D19已知 243， 398， 4165， ，观察以上等式，若kmn( ， ， k均为实数 )，则 mnk（ ）A76 B77 C78 D7910阅读如图所示的程序框图，若输入 91a，则输出的 k值是（ ）A9 B10 C11 D1211网络工作者经常用网络蛇形图来解释网络的运作模式，如图所示，数字 1 出现在第一行;数字2， 3 出现在第二行; 数字 6，5，4(从左至右) 出现在第三行;数字 7，8，9，10 出现在第四行;以此类推，则按网络运作顺序第 63 行从左到右的
5、第 2 个数字( 如第 2 行第 1 个数字为 2，第 3 行第 1 个数字为 4，) 是（ ）A2014 B2015 C2016 D201712如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为 1，由下往上的六个点：1，2，3 ，4，5，6 的横、纵坐标分别对应数列 naN的前 12 项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则 201762015a（ ）A1008 B1009 C2017 D2018第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13若复数 z与 2()i都是纯虚数，则 2z_14若程序框图如图所示，则该程序运行后输出 k的值是 _15
6、我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示的 1234为刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是有相同的小正方形构成，小正方形越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 n个图案包含 )(nf个小正方形，则 )(nf的表达式为 16在计算“ )1(321n ”时，某位数学教师采用了以下方法：构造等式： )1(2)( kkk ，以此类推得：)1032(1， )324(31，)454(3， )1()2(1)( nnn，相加得 123()()23 类比上述计算方法，可以得到 )(41n 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字
7、 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （ 10 分）设复数 1zi，若实数 a， b满足 2)(2zaz，其中 z为 的共轭复数求实数 a， b的值18 （ 12 分）如图，已知单位圆 21xy与 x轴正半轴交于点 P，当圆上一动点 Q从 P出发沿逆时针旋转一周回到 P点后停止运动设 OQ扫过的扇形对应的圆心角为 xrad，当 02x时，设圆心 O到直线 Q的距离为 y， 与 x的函数关系式 yfx是如图所示的程序框图中的两个关系式（1 ）写出程序框图中处的函数关系式；（2 ）若输出的 y值为 12，求点 Q的坐标19 （ 12 分）已知函数 ()0,1xaf a且 （1 ）
8、证明：函数 )(fy的图象关于点 ,2对称；（2 ）求 (014)(23)(1)0(1)(2014)(5)ffffff 20 （ 12 分）已知数列 na满足: 21， 11)(2)(3nna， 10n，数列 nb满足： 21nnba（1 ）求数列 、 b的通项公式；（2 ）证明：数列 n中的任意三项不可能成等差数列21 （ 12 分）下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第 n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为 )(nf（1 ）求出 2f， (3)f， 4f， (5)f；（2 ）找出 与 1的关系，并求出 )(nf的表达式；（3 ）求证 11251 36()3(2)5(3)7()nfff
9、f N 22 （ 12 分）将数列 na中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知数表中每一行的第一个数 1a， 2， 5，构成一个等差数列，记为 nb，且 42，105b数表中每一行正中间一个数 1， 3， 7，构成数列 nc，其前 项和为 nS（1 ）求数列 n的通项公式；（2 ）若数表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数且 13a，求数列 nc的前 项和 nS；（3 ）在满足（2）的条件下，记 (1),McnN，若集合 M的元素个数为 3，求实数的取值范围单 元 训 练 金 卷 高 三 数 学 卷 （ A）第 15 单 元 算 法 、
10、 推 理 证 明 与 复 数 答 案第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1 【 答案】C【解析】 (3)1343ziiii， 134zi，故选 C2 【 答案】D【解析】由题意得，这种树的从第一年的分枝数分别是 1，1 ，2，3，5， ，则 1， 23， 35，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第 6 年树的分枝数是 8，故选 D3 【 答案】B【解析】 ， xxff sin)(co)(12 ，10cosfxfx3()sin)f， 40)c
11、sinf f， 51(i)cos()fxf，同理 (26xf， (37x， )(48xf，周期为 4， 2017()cosff，故选 B4 【 答案】A【解析】由所给图形的规律看出，空心的矩形、三角形、圆形都是一个，实心的图形应均为两个，空白处应填实心的矩形，故选 A5 【 答案】D【解析】 5(12)5(12)12ziiii ， 2()()4ii，复数 z的虚部为 2，故选 D6 【 答案】C【解析】根据程序框图知 213， 413(3)22，故选 C7 【 答案】C【解析】由题意可知 211ziii，若 1zbR为纯虚数，则 1b，故选 C8 【 答案】B【解析】设每次循环所得到的 a的值
12、构成数列 na，由框图可 ， 02， 1， ， 32， 41a，1nna21所以a n的取值具有周期性，且周期为 T3 又由框图可知输出的 1201a，故选 B9 【 答案】D【解析】观察以上等式，类比出等式 2(1)(1)xx，当 9x时，可得 9810，所以 80m， n， 8k，所以 7mnk故选 D10 【 答案 】C【解析】当 119()357921S 时， 0k，若 9，则输出的 k值是 11，故选 C11 【 答案 】B【解析】网络蛇形图中每一行的第一个数 1，2 ，4，7 ，11， ，按原来的顺序构成数列 na，易知 nan，且 1，221321()()()23()n na 第
13、 63 行的第一个数字为 9546，而偶数行的顺序为从左到右，奇数行的顺序为从右到左，第 63 行从左到右的第 2 个数字就是从右到左的第 62 个数字，这个数为 01561954故选 B12 【 答案 】B【解析】观察点的坐标，写出数列 na的前 12 项：1， 1， ，2，2，3， 2，4，3 ，5， 3，6 可提炼出规律，偶数项的值等于其序号的一半，奇数项的值有正负之分，且 na34， 14， na2， 5032017， 50415041， 10826a， 5620179aa，故选 B第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13 【 答案 】 i
14、或 【解析】由已知可设 ,0zbRi，则 222()4()4(4)zbbii i，240b， 2， i或 i，当 zi时， 1()12ziiiii；当 2i时， 22zi+i i-14 【 答案 】5【解析】 n， 16， k； 8n， 2k；4， 3k； 2， 4； 1， 5，输出 515 【 答案 】 【解析】我们考虑， )(f， 42)(3f， 43)(f，归纳得出 14)1(nfnf ， )2()3(2)()1)ffffn 2143414n n 16 【 答案 】 )72(6【解析】构造等式： )2()4(261)( nnn ， 3)(5316， )406(，)7(53， )1()3(
15、)1(6)1( nnn，)2()4(261)( nnn ，相加得 134()()304(1)(3)(2)46nn)72(16n三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 【 答案 】 42ab或 1【解析】由 1zi，可知 iz，代入 2)(2zabz得 2()2()()abaiii，即 )4()aai i， 4()，解得 4b或 2118 【 答案 】 （1）的式子分别为 cosxy， cosxy；（2）当 0x时，此时点 Q的坐标为 32， ；当 2x时，此时点 Q的坐标为
16、13， 【解析】 （1）当 0时， cosxy；当 2时， coscos2xy；综上可知，函数解析式为 ,0,2cos,fxx，所以框图中处应填充的式子分别为 2y， cos2xy（2 ）若输出的 y值为 12，则 0x时， cosx，得 3，此时点 Q的坐标为 132， ；当 2时， 1s2，得 4x，此时点 的坐标为 ， 19 【 答案 】 （1）见解析；（2 ） 2015【解析】 （1）函数 axfx)(的定义域为 R，在函数 )(xf的图象上任取一点 ),(0yx，它关于点 ,2的对称点为 )1,(00y，则 afx0)(0，00 000 011() 1oxxx xaaaf y，函数
17、)(f图象上任意一点 ),(0yx关于点 1,2的对称点 ),(00仍在函数xfy的图象上即函数 )(f的图象关于点 1,2对称（2 ）由（1 ）得 )(00xff， 1)25()4(f ； 1)204(3ff ；30f； )； 1)(f (214)(0)(1)0(1(2014)520ffffff 20 【 答案 】 （1） 132()4nnna， 3nb；（2）见解析【解析】 （1）由题意可知， )(221nna，令 21nnac，则 211nac， nc3又 4321ac，则数列 nc是首项为 431，公比为 的等比数列，即14nn，故 23nn， 2314nna又 01a， 1n，故11
18、32()4nnn，11213232443nnnb （2 ）反证法：假设数列 nb存在三项 r， sb， trst按某种顺序成等差数列，由于数列 nb是首项为 41，公比为 32的等比数列，于是有 rstb，则只能有 trs2成立111243srt，两边同乘以 rt13，化简得 strrtrt 23由于 sr，上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾21 【 答案 】 （1） (2)1f， (3)27f， (4)8f， (5)7f；（2） 36)(1(nfnf ，2()3fn；（3）见解析【解析】 （1）由题意有： )(f，12)(2ff， 2743)2(3f，48634， 585
19、（2 ）由题意及（1）知， 36)()( nfnff ，即 )(nfnf )12(13)(2()1)ffffn3(6()63623(nn 2)3(2n（3 ） (f， 2111()()()nnfn， 111()3(2)5(3)7()21ffff 254944934936nn，所以对于任意 nN，原不等式成立22 【 答案 】 （1） 2b；（2 ） 28nnS；（3） ,5【解析】 （1）设数列 nb的公差为 d，则 140bd解得 12bd，所以 n2（2 ）设每一行组成的等比数列的公比为 q，由于前 n行共有 2)(53n 个数，且 2243，又 8410ba，所以 18310a，解得 因此12nnc所以 12110122nn nScc ，01212nn，所以 1012111224nn n nS ，即 28nnS（3 ）由（1 ）知 2nc，不等式 nc)(，可化为 2)(n设 2)1()nf，计算得 4)(f， 6)3(ff， 54f， 41)(f，因为 121()12nnnfnf，所以当 3时， )(f因为集合 M的元素的个数为 3，所以 的取值范围是 4,5
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