2019年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

1、2019 年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x10，Bx|ylog 2（x 2），则 A（ RB）（  ）A0，1） B （1，2） C （1，2 D2 ，+）2 （5 分）已知复数 z 满足（1+ i）z1+i，则复平面内与复数 z 对应的点在（  ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）已知函数 f（x ）sin 4xcos 4x，则下列说法正确的是（  ）Af（x）的最小正周期为 2Bf（x

2、）的最大值为 2Cf（x）的图象关于 y 轴对称Df（x）在区间 ， 上单调递减4 （5 分）已知等比数列a n中，有 a3a114a 7，数列b n是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 b7a 7，则 S13（  ）A26 B52 C78 D1045 （5 分）已知直线 m，n 和平面 ，n，则“mn”是“m”的（  ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分）已知函数 f（x ） ，若 f（a）1，则 a 的值是（  ）A1 B2 C2 或 2 D1 或 27 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆

3、弧，则该几何体的体积第 2 页（共 25 页）为（  ）A16 B164 C322 D6448 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围为（  ）A ，1 B ， 1，+）C0，1 D ，19 （5 分）已知数列a n中，a 1 ，a n+11 ，利用如图程序框图计算该数列的项时，若输出的是 2，则判断框内的条件不可能是（  ）An2012 Bn2015 Cn2017 Dn201810 （5 分）在ABC 中，AC1， 1，O 为ABC 的重心，则 的值为（  ）第 3 页（共 25 页）A1 B C D211 （5 分）已知 P 是双曲线

4、1（a0，b0）上一点，且在 x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F2|12，直线 PF2 的斜率为 4 ，PF 1F2 的面积为24 ，则双曲线的离心率为（  ）A3 B2 C D12 （5 分）有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（  ）A （0， B （0， C （0， D （0， 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知向量 （1， ） ， （3，3 ） ，则 在 方向上的投影为  

5、;   14 （5 分）某班共有 56 名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知 12 号、26 号、54 号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是     15 （5 分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图” ，亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得到的正方形是由4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成） 类比“赵爽弦图” ，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设 DF2AF ，若在大等

6、边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是     16 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，数列b n的前 n 项和为 Tn满足a12，3S n（n+m）a n， （m R） ，且 anbn ，若对任意 nN*， T n 恒成立，则实第 4 页（共 25 页）数 的最小值为     三、解答題：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosB+bsinAc（）求角 A；（）若 a2，ABC 的周长为 6，求ABC 的面积18 （12 分）

7、如图所示，ABCD 是边长为 2 的正方形，AE平面 BCE，且 AE1（I）求证：平面 ABCD平面 ABE；（）线段 AD 上是否存在一点 F，使三棱锥 CBEF 的高 h ？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由19 （12 分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有 250 人参与学习先修课程（）这两年学校共培养出优等生 150 人，根据如图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学习先修课

8、程与优等生有关系？优等生 非优等生 总计学习大学先修课程 250没有学习大学先修课程总计 150（）某班有 5 名优等生，其中有 2 名参加了大学先修课程的学习，在这 5 名优等生中任选 3 人进行测试，求这 3 人中至少有 1 名参加了大学先修课程学习的概率参考数据：P（K 2k 0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005第 5 页（共 25 页）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879参考公式：K 2 ，其中 na+ b+c+d20 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点 F 与椭圆 + 1 的右焦点重合，抛物线

9、 C 的动弦 AB 过点 F，过点 F 且垂直于弦 AB 的直线交抛物线的准线于点 M（）求抛物线的标准方程；（）求 的最小值21 （12 分）设函数 f（x ）（x1）e x （）当 ke 时，求 f（x）的极值；（）当 k0 时，讨论函数 f（x）的零点个数选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，曲线 C 的参数方程是 ， （ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（）已知射线 OP： 1（其中 0 ）与曲线 C 交于 O，P 两点，射线OQ： 2

10、与直线 l 交于 Q 点，若OPQ 的面积为 1，求 的值和弦长| OP|选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +a|，g（x ）|x1| （）若 f（x） +2g（x）的最小值为 1，求实数 a 的值；第 6 页（共 25 页）（）若关于 x 的不等式 f（x）+g（x）1 的解集包含 ，1 ，求实数 a 的取值范围第 7 页（共 25 页）2019 年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x10，Bx|ylog 2

11、（x 2），则 A（ RB）（  ）A0，1） B （1，2） C （1，2 D2 ，+）【分析】化简集合 A、B，根据交集与补集的定义写出 A（ RB） 【解答】解：集合 Ax| x10x|x1，B x|ylog 2（x2） x |x20 x|x2，则（ RB）x |x2，A（ RB）x |1x 2（1，2 故选：C【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2 （5 分）已知复数 z 满足（1+ i）z1+i，则复平面内与复数 z 对应的点在（  ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标

12、得答案【解答】解：由（1+ i）z 1+i，得 z，复平面内与复数 z 对应的点的坐标为（ ） ，在第四象限角故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）已知函数 f（x ）sin 4xcos 4x，则下列说法正确的是（  ）Af（x）的最小正周期为 2Bf（x）的最大值为 2Cf（x）的图象关于 y 轴对称Df（x）在区间 ， 上单调递减【分析】先利用同角平方关系及二倍角余弦个公式对已知函数进行化简可得 f（x）第 8 页（共 25 页）cos2x，结合余弦函数的性质对选项进行判断即可【解答】解：f（x ）sin 4xco

13、s 4xsin 2xcos 2xcos2x，函数的最小正周期 T ，f（x） cos（2x ） cos2 xf （x） ，f（x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，f（x）cos2x 在 ， 上单调递减，故 f（x ）cos2x 在 ， 上单调递增故选：C【点评】本题主要考查了同角平方关系及二倍角公式，余弦函数的性质等知识的综合应用4 （5 分）已知等比数列a n中，有 a3a114a 7，数列b n是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 b7a 7，则 S13（  ）A26 B52 C78 D104【分析】由等比数列的中项性质可得 a74，再由等差数列的求和公式和中项性质，可得所求

14、和【解答】解：等比数列a n中，a 3a114a 7，可得 a724a 7，解得 a74，数列b n是等差数列中 b7a 74，则 S13 13（b 1+b13）13b 713452故选：B【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题5 （5 分）已知直线 m，n 和平面 ，n，则“mn”是“m”的（  ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据线面平行的判定与性质定理可得：直线 m，n 和平面 ，n，则“mn”与“m”相互推不出即可判断出关系【解答】解：直线 m，n 和平面 ，n，则“mn”

15、与“m”相互推不出“mn”是“m”的既不充分也不必要条件第 9 页（共 25 页）故选：D【点评】本题考查了线面平行的判定与性质定理、简易逻辑判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6 （5 分）已知函数 f（x ） ，若 f（a）1，则 a 的值是（  ）A1 B2 C2 或 2 D1 或 2【分析】由于 f（x ） ，为分段函数，则只需分段讨论解指数及对数方程即可，【解答】解：当 a2 时，解方程 ea1 1 得：a1，当 a 2 时，解方程 log3（a 21）1 得：a2，综合得：方程 f（a）1 的解为：a 1 或 a2，故选：D【点评】本题考查了分段函数问题及解指数

16、及对数方程，属简单题7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（  ）A16 B164 C322 D644【分析】直接利用三视图的图形转换和几何体的体积公式的应用求出结果【解答】解：根据几何体的三视图：得到：该几何体是由一个长为 2，宽为 4 高为 2 的长方体，挖去一个半径为 1，高为 4第 10 页（共 25 页）的 圆柱构成，故：V2 ，16故选：A【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型8 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围为（  ）A

17、 ，1 B ， 1，+）C0，1 D ，1【分析】问题转化为在约束条件的目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得【解答】解：作出 x，y 满足约束条件 的可行域如图：ABC， 表示区域内的点与点（2，0）连线的斜率，联方程组 可解得 B（2，2） ，同理可得 A（2，4） ，当直线经过点 B 时，M 取最小值： ，当直线经过点 A 时，M 取最大值 1则 的取值范围： ， 1故选：A第 11 页（共 25 页）【点评】本题考查简单线性规划，换元法转化并利用数形结合的思想是解决问题的关键，属中档题9 （5 分）已知数列a n中，a 1 ，a n+11 ，利用如图程序框图计算该数列的项

18、时，若输出的是 2，则判断框内的条件不可能是（  ）An2012 Bn2015 Cn2017 Dn2018【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算 A 的值是以 3 为周期的函数，当程序运行后输出 A2 时求出满足题意的选项即可【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A ，n1；第 1 次循环，A121，n1+12；第 12 页（共 25 页）第 2 次循环，A1+12，n2+13；第 3 次循环，A1 ，n3+14；所以，程序运行时计算 A 的值是以 3 为周期的函数，当程序

19、运行后输出 A2 时，n 能被 3 整除，此时不满足循环条件分析选项中的条件，满足题意的 C故选：C【点评】本题考查了程序框图应用问题，通过对程序框图的分析得出判断框内应满足的条件，是基础题10 （5 分）在ABC 中，AC1， 1，O 为ABC 的重心，则 的值为（  ）A1 B C D2【分析】取 AC 中点为 D，因为 O 为ABC 的重心，则 ，由三角形法则有： （ + ） ，所以 （ + ） ，再利用数量积公式求解即可【解答】解：取 AC 中点为 D，因为 O 为ABC 的重心，则 ，由三角形法则有： （ + ） ，所以 （ + ） ， （ + ） （ ） 2 +1，故选：

20、A第 13 页（共 25 页）【点评】本题考查了平面向量三角形法则、三角形的重心、平面向量数量积运算，属中档题11 （5 分）已知 P 是双曲线 1（a0，b0）上一点，且在 x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F2|12，直线 PF2 的斜率为 4 ，PF 1F2 的面积为24 ，则双曲线的离心率为（  ）A3 B2 C D【分析】利用三角形的面积求出 P 的纵坐标，通过直线的斜率，求出 P 的横坐标，然后求解 a，c，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：P 是双曲线 1（a0，b0）上一点，且在 x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F

21、1F2|12，c6，PF 1F2 的面积为 24 ，可得 P 的纵坐标 y 为： ，y4 直线PF2 的斜率为4 ，所以 P 的横坐标 x 满足： ，解得 x5，则 P（5，4 ） ，|PF1| 13，|PF2| 7，所以 2a137，a3，所以双曲线的离心率为：e 2故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查12 （5 分）有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（  ）A （0， B （0， C （0， D （0， 【分析】设 ABCDa，ACAD B

22、CBD 2过 A 作 AECD 于 E，连结 BE，则AE BE ，又 AB a，推导出 VABCD ，令 ，第 14 页（共 25 页）则 f（a）16a 33a 50，解得当 a2 时， （V ABCD ） max ，由此能求出此三棱锥体积的取值范围【解答】解：如图，ABCDa，ACAD BCBD 2过 A 作 AECD 于 E，连结 BE，则 AE BE ，又 ABa， ， ，令 ，则 f（ a）16a 33a 50，解得当 a2 时， （V ABCD ） max 此三棱锥体积的取值范围是（0， 故选：B【点评】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合分类讨论思想，数形结合思想，极限思

23、想，求出 a 的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知向量 （1， ） ， （3，3 ） ，则 在 方向上的投影为 3 第 15 页（共 25 页）【分析】由已知可求 ，| |，然后根据 在 方向上的投影为 可求【解答】解： （1， ） ， （3，3 ） ， 1 6，| |2，则 在 方向上的投影为 3故答案为：3【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的 简单应用，属于基础试题14 （5 分）某班共有 56 名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知 12 号、26 号

24、、54 号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是 40 【分析】由 12 号、26 号、54 号同学在样本中，求出抽样间隔为 14，由此能求出样本中还有一位同学的编号【解答】解：12 号、26 号、54 号同学在样本中，542628，261214，抽样间隔为 14，样本中还有一位同学的编号应是 26+1440故答案为：40【点评】本题考查系统抽样的应用，解题时要认真审题，是基础题15 （5 分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图” ，亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得到的正方形是由4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形

25、组成） 类比“赵爽弦图” ，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设 DF2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是    第 16 页（共 25 页）【分析】根据几何概型的概率公式，设 DF2AF2a，求出DEF 和AFC 的面积，计算所求的概率值【解答】解：由题意，设 DF2AF2a，且 a0，由DFE ，AFC ；DEF 的面积为 SDEF 2a2asin a2，AFC 的面积为 SAFC a3asin a2，在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P 故答案为

26、： 【点评】本题考查了几何概型的概率公式应用问题，是基础题16 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，数列b n的前 n 项和为 Tn满足a12，3S n（n+m）a n， （m R） ，且 anbn ，若对任意 nN*， T n 恒成立，则实数 的最小值为    【分析】数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 a12，3S n（ n+m）a n， （mR） ，n1 时，3a1（1+m） a10，解得 m2利用 n2 时，3a n3S n3S n1 ，化为： 利用 n2 时，a n a1，可得 an，再利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出【解答】解：数列a n的

27、前 n 项和为 Sn，满足 a12，3S n（n+ m）a n， （mR） ，第 17 页（共 25 页）n1 时，3a 1（1+m）a 10，解得 m2n2 时，3a n3S n3S n1 （n+2）a n（n+1）a n1 ，化为： n2 时，a n a1 n（n+1） n1 时上式也成立a nn（n+1） a nbn ，b n T n 若对任意 nN*，T n 恒成立，则实数 的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查了数列递推关系、累乘求积方法、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答題：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）

28、在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosB+bsinAc（）求角 A；（）若 a2，ABC 的周长为 6，求ABC 的面积【分析】 （）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得 A 的值；（）由余弦定理可求 bc 的值，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】 （本题满分为 12 分）解：（）ABC 中，acosB+bsinA c，由正弦定理得：sinAcosB+sinBsin AsinC ，又 sinCsin （A +B）sinAcosB+cosAsin B，sinBsinAcosAsinB，又 sinB0，sinAcosA ，第 18 页（共 25 页

29、）又 A（0，） ，tanA 1，A ；6 分（）a2，ABC 的周长为 6，b+c4，由余弦定理可得：a 2（b+c） 22bc2bc cosA，4162bc bc，可得：bc 6（2 ） ，10 分S ABC bcsinA 6（2 ） 3（ 1）12 分【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18 （12 分）如图所示，ABCD 是边长为 2 的正方形，AE平面 BCE，且 AE1（I）求证：平面 ABCD平面 ABE；（）线段 AD 上是否存在一点 F，使三棱锥 CBEF 的高 h ？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由【分析】 （）先

30、证 BC平面 ABE，再得面面垂直；（2）利用转换顶点易求三棱锥的体积，进而求得BEF 的面积，从而求出 AF，得解【解答】解：（）证明：AE平面 BCE，AEBE，AEBC，又BCAB，BC平面 ABE，平面 ABCD平面 ABE；（）由 AEBE ，AE1， AB2，得 BE ， ，第 19 页（共 25 页）易知 AD平面 BCE，V CBEF V FBEC V ABEC V CABE ， ，又由 BEAE，可得 BEEF （三垂线定理） ，得 EF ， ， ， ，故存在点 F 满足题意，且 【点评】此题考查了线面垂直，面面垂直，转化法求体积等，难度适中19 （12 分）大学先修课程，是

31、在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有 250 人参与学习先修课程（）这两年学校共培养出优等生 150 人，根据如图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生 非优等生 总计学习大学先修课程 250没有学习大学先修课程总计 150（）某班有 5 名优等生，其中有 2 名参加了大学先修课程的学习，在这 5 名优等生中任选 3 人进行测试，求这 3 人中至少有 1 名参加了大学先修课程学习

32、的概率参考数据：第 20 页（共 25 页）P（K 2k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879参考公式：K 2 ，其中 na+ b+c+d【分析】 （）根据题意填写列联表，计算 K2，对照临界值得出结论；（）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（）根据题意，填写列联表如下； 优等生 非优等生 总计学习大学先修课程 50 200 250没有学习大学先修课程 100 900 1000总计 150 1100 1250由列联表计算K2 18.9396.635，所以在犯错误的概率

33、不超过 0.01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系；（）在这 5 名优等生中，记参加了大学先修课程学习的两名学为 A、B，没参加大学先修课程学习的 3 名学生为 c、d、e，在这 5 学生中任选 3 人，基本事件是ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade 、Bcd、Bce、Bde、cde 共 10 种，其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有 cde 共 1 种，则这 3 人中至少有 1 名参加了大学先修课程学习的概率为 P1 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题第 21 页（共 25 页）20 （12 分）已知抛物线 C： y22p

34、x（p0）的焦点 F 与椭圆 + 1 的右焦点重合，抛物线 C 的动弦 AB 过点 F，过点 F 且垂直于弦 AB 的直线交抛物线的准线于点 M（）求抛物线的标准方程；（）求 的最小值【分析】 （）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出 p 的值，再写出抛物线 C 的标准方程；（） 当动弦 AB 所在的直线斜率不存在时，求得 2；当动弦 AB 所在的直线斜率存在时，写出 AB 所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出 FM 所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF |，再求 的最小值，从而得出结论【解答】解：（）由椭圆 + 1 知，其右焦点为（1，0） ，即抛物线的焦点为 F

35、（1，0） ， 1，解得 p2；抛物线 C 的标准方程为 y24x；（） 当动弦 AB 所在的直线斜率不存在时，易得|AB|2p4， 2；当动弦 AB 所在的直线斜率存在时，易知 AB 的斜率不为 0，设 AB 所在直线方程为 yk （ x1） ，且 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，联立方程组 ，消去 y 得 k2x22（k 2+2）x+k 20；x 1+x2 ，x 1x21，且16（k 2+1）0；|AB| |x1x 2| ；FM 所在的直线方程为 y （x 1） ，第 22 页（共 25 页）联立方程组 ，求得点 M（1， ） ，|MF | 2 ， 2 2；综上所述， 的

36、最小值为 2【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的方程应用问题，也考查了弦长公式与最值问题，是中档题21 （12 分）设函数 f（x ）（x1）e x （）当 ke 时，求 f（x）的极值；（）当 k0 时，讨论函数 f（x）的零点个数【分析】 （）将 ke 代入函数 f（x）的解析式，求导，分析函数 f（x）的单调性与极值点，即可求出函数 f（x ）的极大值和极小值；（）对函数 f（x ）求导，因式分解，解导数方程 f（ x）0，得 x0 和 xlnk，对lnk 与 0 的大小进行分类讨论，确定函数 f（x）的单调性，结合极值的正负来确定函数f（x）在定义域上的零点个数【解答】解：（）当 ke

37、时， ，f（x）xe xexx（e xe） ，当 x0 或 x1 时，f（x）0；当 0x1 时，f （x）0所以，函数 f（x ）的极大值为 f（0）1，极小值为 ；（） 当 0 k1 时，令 f（x ）0，解得 xlnk 或 x0，f（x）在（ ，lnk ）和（0，+）上单调递增，在（lnk，0）上单调递减，当 k1 时，f （x）0，f（ x）在 R 上单调递增所以，当 0k1 时，当 x0 时， ，第 23 页（共 25 页）此时，函数 f（x ）无零点；当 x0 时，f（ 0）10，f（2）e 22k e 220，又 f（x）在0 ， +）上单调递增，所以，f （x）在0 ，+）上有

38、唯一的零点，故函数 f（x）在定义域 R 上有唯一的零点；当 k1 时，令 f（x ）0，解得 x0 或 xlnk，f（x）在（ ，0）和（lnk，+）上单调递增，在（0，lnk）上单调递减，当 xlnk 时，f（x）f（x） maxf （0）1，此时，f（x）无零点；当 xlnk 时，f（lnk）f（0）10，令 ，tk +12，则 g（t）e tt，令 h（t）g（t）e tt，所以，h（t ）e t1，t2，h（t）0，g（t）在（2，+）上单调递增，得 g（t）g（2）e 220，则 g（t）在（2，+ ）上单调递增，所以，g（t）g（2）e 220，即 f（k+1）0，所以，f （x

39、）在 lnk，+）上有唯一的零点，故函数 f（x）在定义域 R 上有唯一的零点综合知，当 k0 时，函数 f（x0 在定义域上有且只有一个零点【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查计算能力与分析问题的能力，属于难题选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，曲线 C 的参数方程是 ， （ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（）已知射线 OP： 1（其中 0 ）与曲线 C 交于 O，P 两点，射线OQ： 2 与直线 l 交于 Q 点，若OPQ 的面积

40、为 1，求 的值和弦长| OP|【分析】 （）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换第 24 页（共 25 页）（2）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果【解答】解：（）直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，转换为直角坐标方程为：xy+10转换为极坐标方程为：cossin+10曲线 C 的参数方程是 ， （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为：（x2） 2+y24，转换为极坐标方程为：4cos （）由于 0 ，所以：|OP|4cos，|OQ| 所以： 1，所以：tan1 ，由于：0 ，故： ，所以：|OP|4cos 【点评】本题考查的知识要

41、点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +a|，g（x ）|x1| （）若 f（x） +2g（x）的最小值为 1，求实数 a 的值；（）若关于 x 的不等式 f（x）+g（x）1 的解集包含 ，1 ，求实数 a 的取值范围【分析】 （）化简 f（x ）+2 g（x）的表达式，利用绝对值的几何意义，然后通过最小值为 1，即可求解实数 a 的值；第 25 页（共 25 页）（）化简不等式 f（x ）+g（x）1 的解集，通过解集包含 ，1，列出不等式，然后求实数 a 的取值范围【解答】解：（）函数 f（ x）|2x+a|，g（x ）|x1|f（x）+2g（x）|2 x+a|+2|x1|2 x+a|+|2x2|2 x+a（2x2）|a +2|1，解得 a1 或 a3；（）x ， 1时，不等式 f（x ）+ g（x ）1，即：|2x+a|+|x1|1，可得：|2x+a|+1x1，|2 x+a|x xa，不等式 f（x）+g（x）1 的解集包含 ，1，即： 且a1， 实数 a 的取值范围：（ ，1） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力