1、1.1 椭圆及其标准方程,第二章 1 椭圆,学习目标 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 椭圆的定义,思考 给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？,答案 在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆.,梳理 (1)定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作 . 这两个定点F1，F2叫作椭圆的 ，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭
2、圆的 . (2)椭圆的集合表示 设M为椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点为F1，F2，根据椭圆的定义可知，椭圆可以视为动点M的集合，表示为M|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|，a为常数.,椭圆,焦点,焦距,知识点二 椭圆的标准方程,思考 椭圆方程中，a，b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？,答案 椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半.a，b，c始终满足关系式a2b2c2.,梳理,F1(c,0)，F2(c,0),F1(0，c)，F2(0，c),c2a2b2,思考辨析 判
3、断正误 1.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的集合叫作椭圆.( ) 2.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.( ) 3.椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2b2c2. ( ),题型探究,类型一 椭圆的标准方程,解答,命题角度1 求椭圆的标准方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：,这与ab相矛盾，故应舍去.,解答,2a12，即a6. c4，b2a2c2624220，,反思与感悟 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程. (2)待定系数法 先确定焦点位置；设出方程；寻求a，b，c的等量关系；求a，b的值，代入
4、所设方程. 特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0).,跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：,解答,解 椭圆的焦点在y轴上，,由椭圆的定义知，,又c2，b2a2c26.,(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；,解答,解 椭圆的焦点在y轴上，,又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，,解答,解 设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，,命题角度2 由标准方程求参数(或其取值范围),(0,1),解析,答案,反思与感悟 1.利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式.,解析,答案,
5、(7,10),根据其表示焦点在x轴上的椭圆，,解析,答案,4或8,解析 当焦点在x轴上时，10m(m2)4， 解得m4. 当焦点在y轴上时，m2(10m)4， 解得m8. m4或8.,类型二 椭圆定义的应用,解答,解 在PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 即36|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|. ,即48|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|. 由得|PF1|PF2|4，,引申探究 若将本例中“F1PF260”变为“F1PF290”，求F1PF2的面积.,解答,因为F1PF290， 所以|PF1|2|PF2|2
6、|F1F2|236， 所以|PF1|PF2|6，,反思与感悟 1.对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF1|(或|PF2|)的方程求得|PF1|(或|PF2|)；有时把|PF1|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量. 2.焦点三角形的周长等于2a2c.设F1PF2，则焦点三角形的面积为b2tan .,跟踪训练3 已知AB是过椭圆 x2y21的左焦点F1的弦，且|AF2|BF2|4，其中F2为椭圆的右焦点，则|AB|_.,解析,答案,2,解析 由椭圆的定
7、义，知|AF1|AF2|2a， |BF1|BF2|2a， 所以|AF1|AF2|BF1|BF2|4a6. 所以|AF1|BF1|642，即|AB|2.,达标检测,1.“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值. 平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种. 所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件.,2.
8、椭圆 y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 A.5 B.6 C.7 D.8,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|2. 结合椭圆定义|PF2|PF1|10，故|PF2|8.,3.已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是 A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,5,答案,解析,4.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为 ，则此椭圆的标准方程为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,5.设F1，F2是椭圆 的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|21，则F1PF2的面积为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,4,|PF1|PF2|2a6且|PF1|PF2|21，,|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， PF1F2是直角三角形，且PF1PF2，,1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a，当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.,规律与方法,
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