1、第二课 圆锥曲线与方程核心速填1三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆 双曲线 抛物线定义平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的和等于常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l F)距离 / 相等的点的轨迹标准方程 1( abx2a2 y2b20) 1( a0，b0x2a2 y2b2)y22px(p 0)关系式 a2b 2c 2 a2b 2c 2图形 封闭图形 无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称中心为原点 无对称中心对称性两条对称轴 一条对称轴顶点 四个 两个
2、 一个离心率 0e1 e1准线方程xp2决定形状的因素e 决定扁平程度 e 决定开口大小 2p 决定开口大小2.待定系数法求圆锥曲线标准方程(1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数当焦点位置不确定时，要分情况讨论也可将椭圆方程设为 Ax2By 21(A0，B 0，AB)，其中当 时，焦点在 x 轴上，当1A1B0，b0) 共渐近线的双曲线方程可设为x2a2 y2b2 (0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2a2 y2b2x2y 2 (0)(2)抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由
3、条件求出参数 p的大小当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为 y22px (p0)或 x22py(p 0)，然后建立方程求出参数 p 的值3直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量 y(或 x)得到关于变量x(或 y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式 ，则有：0 直线与圆锥曲线相交于两点；0直线与圆锥曲线相切于一点；b0) 上存在一点 M，使得F 1MF290(F 1，F 2 为x2a2 y2b2椭圆的两个焦点) ，求椭圆的离心率 e 的取值范围解 设点 M 的坐标是(x 0
4、，y 0)，则Error!消去 y0，得 x .20a2c2 b2c2因为 0x a2，所以Error!20由，得 c2 b2，即 c2 a2c 2，所以 a22c 2，所以 e2 .c2a2 12又 0b0)x2a2 y2b2的右焦点 F，F(1,0)，c 1，又抛物线 x24 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点，3b ，b 23.a 2b 2c 24，3椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)直线 l 与 y 轴交于 M ，(0， 1m)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由Error!，得(3m 24) y26my90，144(m 21)0，y 1y 2 ，y 1y2 ，6m3
5、m2 4 93m2 4 (*)，1y1 1y2 2m3又由 1 ， 1(1x 1，y 1)，MA AF (x1，y1 1m) 11 ，1my1同理 21 ，1my2 1 22 2 ，1m(1y1 1y2) 23 83 1 2 .83规律方法 直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥直线的交点个数、求弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法.直线与圆锥曲线的位置关系主要有：(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；(3)有关垂直问题，要注意
6、运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算.跟踪训练3如图 21 所示，在直角坐标系 xOy 中，点 P 到抛物线(1，12)C：y 2 2px(p0)的准线的距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动54点，且线段 AB 的中点 Q(m，n) 在直线 OM 上图 21(1)求曲线 C 的方程及 t 的值；(2)记 d ，求 d 的最大值|AB|1 4m2解 (1)y 22px(p0)的准线为 x ，p21 ，p ，( p2) 54 12抛物线 C 的方程为 y2x.又点 M(t,1)在曲线 C 上， t1.(2)由(1)知，点 M(1,1)，从而 nm，即点
7、Q(m，m )，依题意，直线 AB 的斜率存在，且不为 0，设直线 AB 的斜率为 k(k0)，且 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由Error!得(y 1y 2)(y1y 2)x 1x 2，故 k2m1，直线 AB 的方程为 ym (xm)，12m即 x2my2m 2m0.由Error!消去 x，整理得 y22 my2m 2m0，4m4m 20，y 1y 22m，y 1y22m 2m.从而|AB| |y1y 2|1 1k2 1 4m2 4m 4m22 .1 4m2m m2d 2 m(1m) 1，|AB|1 4m2 m1 m当且仅当 m1m，即 m 时，上式等号成立，12又 m 满足
8、 4m4m 20.12d 的最大值为 1.数学思想在圆锥曲线中的应用已知定点 F(0,1)和直线 l1：y 1，过定点 F 与直线 l1 相切的动圆的圆心为点 C.(1)求动点 C 的轨迹方程；(2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点 P，Q，交直线 l1 于点 R，求 的最RP RQ 小值. 【导学号：33242218】解 (1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离，点 C 的轨迹是以 F 为焦点，l 1 为准线的抛物线，动点 C 的轨迹方程为 x24y.(2)由题意知，直线 l2 的方程可设为 ykx 1(k0)，与抛物线方程联立消去 y，得 x24kx 40.设 P(
9、x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则 x1x 24k ，x 1x24.又易得点 R 的坐标为 ，( 2k， 1) RP RQ (x1 2k，y1 1)(x2 2k，y2 1) (kx 12)(kx 22)(x1 2k)(x2 2k)(1 k2)x1x2 (x1x 2) 4(2k 2k) 4k24(1 k 2)4k 4(2k 2k) 4k24 8.(k2 1k2)k 2 2，当且仅当 k21 时取等号，1k2 42816，即 的最小值为 16.RP RQ RP RQ 规律方法 函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想在圆锥曲线的综合问题应用广泛，主要涉及最值、范围、探索问题及
10、曲线方程的求法等问题.跟踪训练4设圆 x2 y22x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)求证|EA|EB |为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 . 【导学号：33242219】解 (1)证明：因为|AD| | AC|，EBAC，所以EBD ACD ADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA |ED|AD|.又
11、圆 A 的标准方程为( x 1)2y 216，从而| AD|4，所以|EA|EB |4.由题设得 A( 1,0)，B(1,0)，| AB|2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为 1(y0)x24 y23(2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k 0) ，M(x 1，y 1)，N(x2，y 2)由Error!得(4 k23)x 28k 2x4k 2120.则 x1x 2 ，x 1x2 .8k24k2 3 4k2 124k2 3所以|MN| |x1x 2| .1 k212k2 14k2 3过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m 的方程为 y (x1)，点 A 到直线 m 的1k距离为 ，2k2 1所以|PQ |2 4 ，4k2 3k2 1故四边形 MPNQ 的面积 S |MN|PQ|12 .12 1 14k2 3可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8 )3当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，| MN|3，| PQ|8，四边形 MPNQ 的面积为 12.综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12,8 )3
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