1、2.2.2 双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质知识点一 双曲线的几何性质类比椭圆的几何性质，结合图象得到双曲线的几何性质如下表：标准方程 1(a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2图形范围 xa 或 xa ya 或 ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标 A1(a,0)，A 2(a,0) A1(0，a)，A 2(0，a)渐近线 y xbay xab性质离心率 e ， e(1 ，)ca知识点二 双曲线的离心
2、率思考 1 如何求双曲线的渐近线方程？答案 将方程 1(a0，b0)右边的“1”换成“0” ，即由 0 得 0，如图，x2a2 y2b2 x2a2 y2b2 xayb作直线 0，在双曲线 1 的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线xayb x2a2 y2b2叫做双曲线的渐近线思考 2 椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案 双曲线 1 的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决x2a2 y2b2于 的值，设 e ，则 .ba ca ba c2 a2a e2 1当 e 的值逐
3、渐增大时， 的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大ba梳理 双曲线的半焦距 c 与实半轴 a 的比叫做双曲线的离心率，其取值范围是(1，) e越大，双曲线的开口越开阔(1)双曲线与椭圆都有离心率 e，且其取值范围相同( )(2)双曲线的离心率越大，双曲线的张口越大( )(3)双曲线可以和它的渐近线无限靠近，但不可能相交( )类型一 双曲线的几何性质问题命题角度 1 已知双曲线的标准方程求其简单性质例 1 求双曲线 9y24x 236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线方程研究几何性质解 将 9y24x 236 变形为 1，即 1，x29 y
4、24 x232 y222所以 a3，b2，c ，13因此顶点坐标为(3,0)，(3,0)；焦点坐标为( ，0)，( ，0) ；13 13实轴长是 2a6，虚轴长是 2b4；离心率 e ；ca 133渐近线方程为 y x x.ba 23反思与感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值(3)由 c2a 2b 2 求出 c 值，从而写出双曲线的几何性质跟踪训练 1 求双曲线 9y216x 2144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线方程研究几何性质解 把方
5、程 9y216x 2144 化为标准方程 1.y242 x232由此可知，实半轴长 a4，虚半轴长 b3；c 5，焦点坐标是(0，5) ，(0,5)；a2 b2 42 32离心率 e ；渐近线方程为 y x.ca 54 43命题角度 2 由双曲线的几何性质确定标准方程例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)虚轴长为 12，离心率为 ；54(2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y x；32(3)求与双曲线 x22y 22 有公共渐近线，且过点 M(2，2) 的双曲线方程考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程解 (1)设双曲线的标准方程为 1 或 1( a0，b0)x2a2 y
6、2b2 y2a2 x2b2由题意知 2b12， ，且 c2a 2b 2，ca 54b6，c10，a8.双曲线的标准方程为 1 或 1.x264 y236 y264 x236(2)设以 y x 为渐近线的双曲线方程为 (0)32 x24 y29当 0 时，a 24，2a2 6 ，得 ；494当 0)，109 c2a2 109则 c210k，b 2c 2a 2k.设所求双曲线方程为 1x29k y2k或 1.y29k x2k将(3,9 )代入 ，得 k161，与 k0 矛盾，无解；2将(3,9 )代入 ，得 k9.2故所求双曲线方程为 1.y281 x29(3)方法一 双曲线的渐近线方程为 y x
7、，12若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，则 .x2a2 y2b2 ba 12A(2，3) 在双曲线上， 1.4a2 9b2联立，无解若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，则 .y2a2 x2b2 ab 12A(2，3) 在双曲线上， 1.9a2 4b2联立，解得 a28，b 232.所求双曲线的标准方程为 1.y28 x232方法二 由双曲线的渐近线方程为 y x，可设双曲线方程为 y 2 (0)12 x222A(2，3) 在双曲线上， (3) 2，即 8.2222所求双曲线的标准方程为 1.y28 x232类型二 与双曲线有关的离心率问
8、题例 3 分别求适合下列条件的双曲线的离心率(1)双曲线的渐近线方程为 y x；32(2)双曲线 1(00，b0)的两个焦点， PQ 是经过 F1 且垂直x2a2 y2b2于 x 轴的双曲线的弦，如果PF 2Q90，求双曲线的离心率考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率解 设 F1(c,0)，将 xc 代入双曲线的方程得 1，那么 y ；c2a2 y2b2 b2a|PF 1| .b2a由双曲线对称性，知|PF 2| QF2|.又PF 2Q90，|F 1F2| |PQ|PF 1|，12 2c，则 b22ac .b2ac 22aca 20， 22 10.(ca) ca即 e22e10，e1
9、或 e1 (舍去)2 2所求双曲线的离心率为 1 .2类型三 直线与双曲线的位置关系例 4 已知直线 yax 1 与双曲线 3x2y 21.(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求 a 的取值范围；(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求 a 的取值范围；(3)如果直线与双曲线没有公共点，求 a 的取值范围考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 把 yax1 代入 3x2y 21，整理得(3a 2)x22ax 20.(1)直线与双曲线有两个公共点，判别式 4 a28(3a 2)244a 20，且 3a 20，得 或 a 或 a0，直线与双曲线有两个公共点，相交；若 0 ，直线
10、与双曲线有一个公共点，相切；若 0)与直线 l：xy1 相交于不同的两点 A，B，求双x2a2曲线 C 的离心率 e 的取值范围考点 直线与双曲线的位置关系题点 求双曲线离心率的取值范围解 将 yx1 代入双曲线 y 21( a0)中，得(1a 2)x22a 2x2a 20.x2a2因为双曲线 C 与直线 l 相交于不同两点，所以Error!解得 0 且 e .62 21双曲线 2x2y 28 的实轴长是( )A2 B2 C4 D42 2考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线方程研究几何性质答案 C解析 双曲线的标准方程为 1，故实轴长为 4.x24 y282设双曲线 1 的渐近线方程为 3x2
11、y0，则 a 的值为( )x2a y29A4 B3 C2 D1考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 A解析 方程表示双曲线，a0，b0)x2a2 y2b22a8，a4，由 e ，得 c5，54 cab 2c 2a 25 24 29.此时双曲线的标准方程为 1.x216 y29当焦点在 y 轴上时，设双曲线标准方程为 1(a0，b0)，y2a2 x2b2同理可求得 a4，b 29.此时双曲线的标准方程为 1.y216 x29因此所求双曲线的标准方程为 1 或 1.x216 y29 y216 x291渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程 1(a0
12、，b0)右边的常数“1”换为“0” ，就是渐近线方程反之由渐近线方程x2a2 y2b2axby0 变为 a2x2b 2y2，再结合其他条件求得 就可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.一、选择题1下列双曲线中，渐近线方程为 y2x 的是( )Ax 2 1 B. y 21y24 x24Cx 2 1 D. y 21y22 x22考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 A解析 由双曲线渐近线方程的求法
13、知，双曲线 x2 1 的渐近线方程为 y2x，故选 A.y242双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为( )x24 y212A2 B23C. D13考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线方程研究几何性质答案 A解析 双曲线 1 的一个焦点为 F(4,0)，其中一条渐近线方程为 y x，点x24 y212 3F(4,0)到 xy0 的距离为 2 .3432 33已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，离心率等于 ，则双曲线 C 的方程是( )32A. 1 B. 1x24 y25 x24 y25C. 1 D. 1x22 y25 x22 y25考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求
14、方程答案 B解析 依题意得，c3，e ，32所以 a2，从而 a24，b 2c 2a 25，故选 B.4直线 ykx1 与双曲线 1 有且只有一个交点，则 k 的值为( )x24 y29Ak Bk102 32Ck 或 k Dk102 32考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 C解析 将直线方程代入双曲线方程，得(94k 2)x28kx400.当 94k 20，即 k 时，直线与双曲线只有一个交点；32当 94k 20， 0 时，k ，102此时直线与双曲线相切，只有一个公共点5若实数 k 满足 00，m b0)的离心率互为倒数，那么以 a，b，mx2a2 y2b2 x2
15、m2 y2b2为边长的三角形是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形考点 双曲线的几何性质题点 双曲线的焦点三角形答案 B解析 双曲线的离心率 e1 ，a2 b2a椭圆的离心率 e2 ，m2 b2m由 e1e21，得(a 2b 2)(m2b 2)a 2m2，故 a2b 2m 2，因此三角形为直角三角形7设 F1，F 2 分别为双曲线 1(a0，b0) 的左、右焦点，若双曲线上存在一点 Px2a2 y2b2使得|PF 1| PF2|3b，|PF 1|PF2| ab，则该双曲线的离心率为( )94A. B. C. D343 53 94考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率
16、答案 B解析 不妨设 P 为双曲线右支上一点，|PF 1|r 1，|PF 2|r 2.根据双曲线的定义，得r1r 22a.又 r1r 23b，故 r1 ，r 2 .又 r1r2 ab，所以 ab，解得3b 2a2 3b 2a2 94 3b 2a2 3b 2a2 94 (负值舍去)故 e ，故选 B.ba 43 ca a2 b2a2 (ba)2 1 (43)2 1 53二、填空题8与双曲线 x2 1 有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是_y24考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程答案 1x23 y212解析 设所求双曲线方程为 x2 ，y24将点(2,2)代入，可
17、得 3，双曲线方程为 1.x23 y2129已知双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线方程为 y x，若顶点到渐近线的距离x2a2 y2b2 33为 1，则双曲线方程为_考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程答案 1x24 y243解析 顶点(a,0) 到渐近线的距离为 1， 1，解得 a2.33a1 13 ，b .ba 33 233双曲线方程为 1.x24 y24310已知双曲线 1 的一个焦点在圆 x2y 22x80 上，则双曲线的渐近线方程为x29 y2m_考点 双曲线的几何性质题点 求渐近线方程答案 y x73解析 由已知得一个焦点坐标为(4,0)，故双曲线方程为 1，x2
18、9 y27双曲线的渐近线方程为 y x.7311已知双曲线 C： 1 的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数 m 的取值范围是x24 y2m_考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 (4，)解析 等轴双曲线的离心率为 ，且双曲线 C 的开口比等轴双曲线更开阔，双曲线2C： 1 的离心率 e ，即 2，m4.x24 y2m 2 4 m4三、解答题12过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ，点 F1 是另一个焦点，若PF 1Q90，求双曲线的离心率考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率解 设 F1，F 2 分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形 F
19、1PF2 中，|PF1|2 c，|PF 2|2c ，又|PF 1| PF2|2a，故有 e 1.2 213已知双曲线的一条渐近线方程为 x y0，且与椭圆 x24y 264 有相同的焦距，求3双曲线的标准方程考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程解 椭圆方程为 1，可知椭圆的焦距为 8 .x264 y216 3当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 1 (a 0，b0)，x2a2 y2b2Error!解得Error!双曲线的标准方程为 1.x236 y212当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 1 (a 0，b0)，y2a2 x2b2Error! 解得Error!双
20、曲线的标准方程为 1.y212 x236由可知，双曲线的标准方程为 1 或 1.x236 y212 y212 x236四、探究与拓展14已知 F 是双曲线 1(a0，b0) 的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且x2a2 y2b2垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是_考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 (1,2)解析 要使ABE 是锐角三角形，只需满足AEB 为锐角又ABE 是等腰三角形，其中|AE| BE|，所以只需满足 AEF45.在 RtAFE 中，tanAEF 1，即|AF|EF| b2
21、aa cc2ac2a 20，两边同除以 a2，得 e2e20，所以1e 2.又 e1，所以离心率 e 的取值范围是(1,2)15双曲线 1(a1，b0)的焦距为 2c，直线 l 过点(a,0) 和(0，b)，且点(1,0) 到直线 lx2a2 y2b2的距离与点(1，0)到直线 l 的距离之和 s c.求双曲线的离心率 e 的取值范围45考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围解 直线 l 的方程为 1 ，即 bxayab0，可得点(1,0)到直线 l 的距离xa ybd1 ，同理得到点(1，0)到直线 l 的距离 d2 .所以 sd 1d 2 ba 1a2 b2 ba 1a2 b2 2aba2 b2.2abc由 s c，得 c，即 5a 2c 2，于是得 5 2e 2，即 4e425e 2250，解45 2abc 45 c2 a2 e2 1不等式得 e 25.由于 e1，所以 e 的取值范围是 .54 52，5
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