1、21.2 椭圆的几何性质第 1 课时 椭圆的几何性质学习目标 1.根据椭圆的方程研究其几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形知识点一 椭圆的简单几何性质已知两椭圆 C1，C 2 的标准方程：C 1： 1，C 2： 1.x225 y216 y225 x216思考 1 怎样求 C1，C 2 与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？答案 对于方程 C1：令 x0，得 y4，即椭圆与 y 轴的交点为(0,4)与(0 ，4)；令 y0，得 x5，即椭圆与 x 轴的交点为 (5,0)与(5,0) 同理得 C2 与 y 轴的交点为(0,5)与(0 ，5)，
2、与 x 轴的交点为(4,0)与(4,0)思考 2 椭圆具有怎样的对称性？答案 椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形思考 3 椭圆方程中 x，y 的取值范围分别是什么？答案 C 1：5x 5，4y4；C2：4x4 ，5y5.梳理 标准方程 1(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2图形焦点 F1(c,0)，F 2(c,0) F1(0，c)，F 2(0，c )焦距 |F1F2|2c(c )a2 b2 |F1F2|2c(c )a2 b2性质范围 |x|a，| y|b |x|b，| y|a对称性 关于 x 轴，y 轴和原点对称顶点 (a
3、,0)，(0，b) (0，a)，(b,0)轴 长轴长 2a，短轴长 2b知识点二 椭圆的离心率思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？答案 如图所示，在 RtBOF 2 中，cos BF 2O ，记 e ，则 00)的离心率为 ，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦12点坐标及顶点坐标考点 椭圆的几何性质题点 由条件研究椭圆的几何性质解 椭圆方程化为标准形式为 1，且 e .x24 y2m 12(1)当 0m4 时，a2，b ，mc ，又 e ，4 m12即 ，4 m2 12m3，b ，c1.3椭圆的长轴长为 4，短轴长为 2 ，焦点坐标为 F1(1,0)，F 2
4、(1,0)，顶点坐标为 A1(2,0)，3A2(2,0)， B1(0， )，B 2(0， )3 3(2)当 m4 时， a ，b2，mc ，又 e ，即 ，m 412 m 4m 12m ，a ，c .163 433 233椭圆的长轴长为 ，短轴长为 4，焦点坐标为 F1 ，F 2 ，顶点坐标为 A1833 (0， 233) (0，233)，A 2 ，B 1(2,0)，B 2(2,0)(0， 433) (0，433)类型二 求椭圆的离心率命题角度 1 焦点三角形的性质例 2 椭圆 1(ab0)的两焦点为 F1，F 2，以 F1F2 为边作正三角形，若椭圆恰好平分x2a2 y2b2正三角形的另两条
5、边，则椭圆的离心率为_考点 椭圆几何性质的应用题点 求椭圆的离心率答案 13解析 方法一 如图，DF 1F2 为正三角形，N 为 DF2 的中点，F 1NF 2N，|NF 2|c ，|NF 1| |F1F2|2 |NF2|2 c，4c2 c2 3则由椭圆的定义可知|NF 1|NF 2|2a， c c2a，3e 1.ca 23 1 3方法二 由题意知，在焦点三角形 NF1F2 中 ，NF 1F230，NF 2F160 ，F 1NF290，则由离心率的三角形式，可得e 2c2a |F1F2|NF2| |NF1| sin F1NF2sin NF1F2 sin NF2F1sin 90sin 30 si
6、n 60112 32 1.3反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到 a 与 c 的关系或利用 e 求解1 b2a2跟踪训练 2 已知 F1，F 2 是椭圆 1(ab0)的左、右焦点，过 F1 的直线与椭圆相交x2a2 y2b2于 A，B 两点，若BAF 260，| AB| AF2|，则椭圆的离心率为_考点 椭圆几何性质的应用题点 求椭圆的离心率答案 33解析 如图所示，BAF 260，|AB|AF 2|，ABF 2 是等边三角形，ABF 2 的周长3| AF2|4 a，|AF 2| ，| AF1| .4a3 2a3在AF 1F2 中，由余弦定理得(2c) 2 2 22 cos 60
7、，(2a3) (4a3) 2a3 4a3化为 a23c 2，解得 e .ca 33命题角度 2 利用 a，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围 )例 3 (1)设椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，过 F2 作 x 轴的垂线与x2a2 y2b2C 相交于 A，B 两点，F 1B 与 y 轴相交于点 D，若 ADF 1B，则椭圆 C 的离心率为_考点 椭圆几何性质的应用题点 求椭圆的离心率答案 33解析 直线 AB：x c ，代入 1，x2a2 y2b2得 y ，b2aA ，B .(c，b2a) (c， b2a) ，1BFk b2a 0c c b2a2c b22ac直
8、线 BF1：y0 (xc) ，b22ac令 x0，则 y ，b22aD ，k AD .(0， b22a)b2a b22ac 3b22ac由于 ADBF 1， 1，b22ac3b22ac3b 44a 2c2， b22ac，即 (a2c 2) 2ac，3 3 e2 2e 0，3 3e ， 2 4 43 323 2423e0，e . 2 423 223 33(2)若椭圆 1(a b0)上存在一点 M，使得F 1MF290(F 1，F 2 为椭圆的两个焦点)，x2a2 y2b2则椭圆的离心率 e 的取值范围是_考点 椭圆几何性质的应用题点 求椭圆离心率的取值范围答案 22，1)解析 椭圆 1(ab0)
9、，by b.x2a2 y2b2由题意知，以 F1F2 为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，则 cb，即 c2b 2，所以 c2a 2c 2，所以 e21e 2，即 e2 .12又 0 b0)的左顶点为 A，左焦点为 F，上顶点为 B，且x2a2 y2b2BAOBFO90(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率 e_.考点 椭圆几何性质的应用题点 求椭圆的离心率答案 5 12解析 设椭圆的右焦点为 F，如图，由题意得 A( a,0)，B(0，b)， F( c,0)，BAOBFO90且BFOBFO，BAOBFO90， 0，AB BF (a，b)(c，b) acb 2aca 2c 20，e 2e10，解得
10、e .5 12类型三 利用几何性质求椭圆的标准方程例 4 (1)椭圆过点(3,0) ，离心率 e ，求椭圆的标准方程63(2)如图，已知椭圆的中心在原点，它在 x 轴上的一个焦点 F 与短轴两个端点 B1，B 2 的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点 A 的距离为 ，求这个椭圆的方程10 5考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何性质求方程解 (1)所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，点(3,0) 为椭圆的一个顶点当椭圆的焦点在 x 轴上时，(3,0)为右顶点，则 a3.e ， c a 3 ，ca 63 63 63 6b 2a 2c 23 2( )2963，6椭圆的标准方
11、程为 1.x29 y23当椭圆的焦点在 y 轴上时，(3,0)为右顶点，则 b3，e ， c a，ca 63 63b 2a 2c 2a 2 a2 a2，23 13a 23b 227，椭圆的标准方程为 1.y227 x29综上可知，椭圆的标准方程是 1 或 1.x29 y23 y227 x29(2)依题意，设椭圆的方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2由椭圆的对称性，知|B 1F| B2F|，又 B1FB 2F，B 1FB2 为等腰直角三角形，|OB 2|OF |，即 bc.|FA| ，10 5即 ac ，且 a2b 2c 2，10 5将上面三式联立，得Error!解得Error!所求椭圆方
12、程为 1.x210 y25反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出 a，b，c 所满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论跟踪训练 4 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2 ，6)；(2)焦点在 x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为 6.考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何性质求方程解 (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为 1(a b0)x2a2 y2b2依题意有Error!解得Error!椭圆方程为 1.x2148 y237同理可求出当焦点在 y 轴上时，
13、椭圆方程为 1.x213 y252故所求的椭圆方程为 1 或 1.x2148 y237 x213 y252(2)依题意有Error!bc6，a 2b 2c 272，所求的椭圆方程为 1.x272 y2361已知椭圆的方程为 2x23y 2m (m0)，则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.13 33 22 12考点 椭圆几何性质的应用题点 求椭圆的离心率答案 B解析 由 2x23y 2m(m0)，得 1.x2m2y2m3c 2 ，e 2 ，又 0e1，e .m2 m3 m6 13 332椭圆 6x2y 26 的长轴端点坐标为( )A(1,0) ，(1,0) B(6,0) ，(6,0)C
14、( ，0)，( ，0) D(0 ， )，(0， )6 6 6 6考点 椭圆的几何性质题点 由椭圆方程研究其几何性质答案 D3设 P(m，n)是椭圆 1 上任意一点，则 m 的取值范围是_x225 y29考点 椭圆的几何性质题点 椭圆的范围的简单应用答案 5,54若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为 10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为_考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何性质求方程答案 1x225 y216解析 据题意 a5，c3，故 b 4，又焦点在 x 轴上，a2 c2所以椭圆的标准方程为 1.x225 y2165. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13
15、)，另一个顶点是( 10,0)，则焦点坐标为_考点 椭圆的几何性质题点 由条件研究椭圆的几何性质答案 (0， )69解析 由题意知椭圆焦点在 y 轴上，且 a13，b10，则 c ，故焦点坐标为a2 b2 69(0， )691已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量” ，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率 e、焦距3求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用一、选择题1椭圆 C1： 1 与椭圆 C2：x 2 1 在扁
16、圆程度上( )x225 y29 y24AC 1 较扁BC 2 较扁CC 1 与 C2 的扁圆程度一样D不能确定考点 椭圆的几何性质题点 由椭圆方程研究其几何性质答案 B解析 C 1 的离心率 e1 ，C 2 的离心率 e2 ，且 e10， b0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴x2a2 y2b2正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A. B.24 12C. D.22 32考点 椭圆性质的应用题点 求椭圆的离心率答案 C解析 由题意可设 P(c，y 0)(c 为半焦距)，则 kOP ，k A
17、B ，y0c baOPAB， ，即 y0 .y0c ba bca把 P 代入椭圆方程，得 1，( c，bca) c2a2 (bca)2b2 2 ，e .(ca) 12 ca 227椭圆 1 和 k(k0，a0，b0)具有( )x2a2 y2b2 x2a2 y2b2A相同的顶点 B相同的离心率C相同的焦点 D相同的长轴和短轴考点 椭圆的几何性质的应用题点 求椭圆的离心率答案 B解析 不妨设 ab0，则椭圆 k 的离心率 e2 .x2a2 y2b2 ka2 kb2ka2 a2 b2a2而椭圆 1 的离心率 e1 ，故 B 正确x2a2 y2b2 a2 b2a2二、填空题8已知椭圆的短半轴长为 1，
18、离心率 0b0)的左、右焦点， P 为直线 x 上一点，x2a2 y2b2 3a2F2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为_ 考点 椭圆几何性质的应用题点 求椭圆的离心率答案 34解析 由题意，知F 2F1PF 2PF130，PF 2x60.|PF 2| 2 3a2c.(32a c)|F 1F2|2c，|F 1F2|PF 2|，3a2c2c，e .ca 3411若椭圆 x2my 21 的离心率为 ，则 m_.32考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何性质求参数答案 或 414解析 方程化为 x2 1，则有 m0 且 m1.y21m当 1 时，由题意 ，解得 m4；1m 1
19、 1m1 32当 1 时，由题意 ，解得 m .1m1m 11m 32 14综上，m 或 4.14三、解答题12.如图所示，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF2F 1F2，MF 1F230. 试求椭圆的离心率考点 椭圆几何性质的应用题点 求椭圆的离心率解 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为 a，b，c.因为 MF2F 1F2，所以MF 1F2 为直角三角形又MF 1F230，所以|MF 1|2|MF 2|，| F1F2| |MF1|.32而由椭圆定义知|MF 1| MF2|2a，因此|MF 1| ，所以 2c ，即 ，4a3 32 4a3 ca 33即椭圆的离心
20、率是 .3313已知 F1，F 2 是椭圆 1(ab0)的左、右焦点， A 是椭圆上位于第一象限内的一点，x2a2 y2b2若 0，椭圆的离心率等于 ，AOF 2 的面积为 2 ，求椭圆的方程AF2 F1F2 22 2考点 椭圆的标准方程题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 如图，因为 0，AF2 F1F2 所以 AF2F 1F2，因为椭圆的离心率 e ，ca 22所以 b2 a2，12设 A(x，y)(x0，y0)，由 AF2F 1F2 知 xc，所以 A(x，y)代入椭圆方程得 1，c2a2 y2b2所以 y .b2a因为AOF 2 的面积为 2 ，2所以 cy2 ，2AOFS12 2即 c
21、 2 ，12 b2a 2因为 ，所以 b28，ca 22所以 a22b 216，故椭圆的方程为 1.x216 y28四、探究与拓展14设 AB 是椭圆 1(ab0)的长轴，若把线段 AB 分为 100 等份，过每个分点作 ABx2a2 y2b2的垂线，分别交椭圆的上半部分于点 P1，P 2，P 99，F 1 为椭圆的左焦点，则|F1A|F 1P1| |F1P2|F 1P99| F1B|的值是( )A98a B99aC100a D101a考点 椭圆几何性质的应用题点 利用椭圆的性质求值答案 D解析 由椭圆的定义及其对称性可知，|F1P1| |F1P99| |F1P2|F 1P98| F1P49|
22、 F1P51|F 1A|F 1B|2a，|F 1P50|a,502a|F1P50|101a.15已知椭圆 C：x 22y 24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的最小值考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆的离心率解 (1)由题意，椭圆 C 的标准方程为 1，x24 y22所以 a24，b 22，从而 c2a 2b 22.因此 a2，c .2故椭圆 C 的离心率 e .ca 22(2)设点 A，B 的坐标分别为(t, 2)，( x0，y 0)，其中 x00.因为 OAOB ，所以 0，OA OB 即 tx02y 00，解得 t .2y0x0又 x 2y 4，20 20所以|AB| 2( x0 t)2(y 02) 2 2( y02) 2(x0 2y0x0)x y 420 204y20x20x 4204 x202 24 x20x20 4(0x 4)x202 8x20 20因为 4(0x 4)，当且仅当 x 4 时等号成立，x202 8x20 20 20所以|AB| 28.故线段 AB 长度的最小值为 2 .2
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