1、2.3.1 抛物线及其标准方程,第二章 2.3 抛物线,学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 抛物线的定义,思考 如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.这是一条什么曲线？点D在移动过程中，满足什么条件？,答案 抛物线，|DA|D
2、C|.,梳理 抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(Fl)的 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .,距离相等,焦点,准线,知识点二 抛物线的标准方程,思考1 抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？,答案 p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向.,思考2 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？,答案 一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上.焦点确定，开口方向也随之确定.,梳理 抛物线的标准方程有四种类型,x22py(p0),y22px
3、(p0),思考辨析 判断正误 (1)在平面内，点P到点F和到直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)抛物线其实就是双曲线的一支.( ) (3)抛物线的标准方程只需焦点到准线的距离p就可以确定.( ),题型探究,类型一 抛物线标准方程及求解,解答,例1 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程. (1)y26x；,命题角度1 由抛物线方程求焦点坐标或准线方程,解 由方程y26x，知抛物线开口向左，,(2)3x25y0；,解答,知抛物线开口向下，,(3)y4x2；,解答,知抛物线开口向上，,(4)y2a2x(a0).,解答,解 由方程y2a2x(a0)知抛物线开口向右，,反思与感
4、悟 如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向.,答案,解析,解析 抛物线y24x的焦点F(1,0)，,(2)若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_.,答案,解析,2,x1,例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(2,0)；,命题角度2 求解抛物线标准方程,解答,抛物线标准方程为y28x.,(2)准线为y1；,抛物线标准方程为x24y.,(3)过点A(2,3)；,解答,解 由题意，抛物线方程可设为y2mx(m0)或
5、x2ny(n0)， 将点A(2,3)的坐标代入，得32m2,22n3，,解答,所求抛物线方程为y25x或y25x或x25y或x25y.,反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0).,跟踪训练2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1) 过点(3，4)；,解答,解 方法一 点(3，4)在第四象限， 设抛物线的标准方程为y22px (p0)或x22p1y (p10). 把点(3，4)的坐标分
6、别代入y22px和x22p1y， 得(4)22p3,322p1(4)，,方法二 设抛物线的方程为y2ax (a0)或x2by (b0).,解答,解 令x0得y5；令y0得x15. 抛物线的焦点为(0，5)或(15,0). 所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.,(2) 焦点在直线x3y150上.,类型二 抛物线定义的应用,解答,当x0时，由题意可得点M的轨迹方程为y0(x0). 综上所述，点M的轨迹方程为y22x或y0(x0).,(2)是否存在M，使|MA|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.,解答,解 如图，由于点M在抛物线上， 所以|MF|等于点M到其
7、准线l的距离|MN|， 于是|MA|MF|MA|MN|， 所以当A，M，N三点共线时，|MA|MN|取最小值， 亦即|MA|MF|取最小值， 这时M的纵坐标为2，可设M(x0，2)， 代入抛物线方程得x02， 即M(2,2).,反思与感悟 (1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用.本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用. (2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，从而简化问题的求解过程.在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题.,跟踪训练3
8、已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是,答案,解析,因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，,达标检测,1.抛物线y x2的准线方程是 A.y1 B.y2 C.x1 D.x2,答案,解析,1,2,3,4,5,则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p4，即p2，,2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线 上，则抛物线方程为 A.y28x B.y24x C.y22x D.y28x,1,2,3,4,5,答案,解析,即为(2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为
9、y28x或y28x.,3.已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF| x0，则x0等于 A.4 B.2 C.1 D.8,1,2,3,4,5,答案,解析,过A作AA准线l， |AF|AA|，,4.已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是,1,2,3,4,5,解析,答案,解析 如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，,5.若抛物线y22px (p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标.,由题意设点M到准线的距离为|MN|，则|MN|MF|10，,故抛物线方程为y24x. 将M(9，y0)代入抛物线方程，得y06. M点的坐标为(9,6)或(9，6).,1,2,3,4,5,解答,规律与方法,2.设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径.若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x0 . 3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.,
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