1、2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关学习目标：1.理解两个变量的相关关系的概念(重点)2.会画散点图，并利用散点图判断两个变量是否具有相关关系(重点)3.理解最小二乘法原理，会求回归直线方程(难点)自 主 预 习探 新 知一、变量间的相关关系1两个变量的关系分类 函数关系 相关关系特征 两变量关系确定 两变量关系带有随机性2.散点图将样本中 n 个数据点(x i，y i)(i1,2，n)描在平面直角坐标系 中得到的图形3正相关与负相关(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关(2)负相关：如果一个变量的值由小
2、变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关二、两个变量的线性相关1最小二乘法设 x、Y 的一组观察值为(x i，y i)，i1,2，n，且回归直线方程为 abx .y 当 x 取值 xi(i1,2，n)时，Y 的观察值为 yi，差 yi i(i1,2，n)刻画了y 实际观察值 yi 与回归直线上相应点 纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即 Q (yiabx i)2 作为总离差，并使之达到最小这样，回归直线ni 1就是所有直线中 Q 取最小值的那一条由于平方又叫二乘方，所以这种使 “离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法2回归直线方程的系数计算公式回归直线方程 回归系数 系数
3、的a 计算公式方程或公式 abxy b ni 1xiyi nx yni 1x2i nx2 xa y b 上方加记号“ ”的意义区分 y 的估计值 与实际值 yy a、b 上方加“ ”表示由观察值按最小二乘法求得的估计值基础自测1思考辨析(1)回归直线方程中，由 x 的值得出的 y 值是准确值 ( )(2)回归直线方程一定过样本点的中心( )(3)回归直线方程一定过样本中的某一个点( )(4)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方程( )答案 (1) (2) (3) (4) 2过(3,10)， (7,20)，(11,24)三点的回归直线方程是( )A. 1.75
4、5.75 x B. 1.75 5.75xy y C. 5.751.75x D. 5.751.75xy y C 代入系数公式得 1.75， 5.75.代入直线方程，求得 5.751.75x.故选b a y C.3如图 231 所示的两个变量不具有相关关系的有_图 231 是确定的函数关系；中的点大都分布在一条曲线周围；中的点大都分布在一条直线周围；中点的分布没有任何规律可言，x，y 不具有相关关系4若施肥量 x(kg)与水稻产量 y(kg)的线性回归方程为 5x250，当施肥量为y 80 kg 时，预计水稻产量约为_kg.650 把 x80 代入回归方程得其预测值 580250650(kg)y
5、合 作 探 究攻 重 难相关关系的判断(1)下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系( )A正方体的棱长和体积B圆半径和圆的面积C正 n 边形的边数和内角度数之和D人的年龄和身高(2)对变量 x，y 有观测数据(x i，y i)(i1,2，10)，得散点图；对变量 u，v有观测数据(u i，v i)(i1,2，10)，得散点图.由这两个散点图可以判断( )图 232A变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关B变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关C变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关D变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关思路探究 结合相关关系，函数关系的定义及正负相关
6、的定义分别对四个选项作出判断(1)D (2) C (1)A、B、C 都是函数关系，对于 A，Va 3；对于 B，Sr 2；对于 C，g(n)( n2).而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高，选 D.(2)由图象知，变量 x 与 y 呈负相关关系；u 与 v 呈正相关关系 规律方法 判断两个变量 x 和 y 间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.跟踪训练1某公司 20092014 年的年利润 x(单位：百万元 )与年广告支出 y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：年份
7、2009 2010 2011 2012 2013 2014利润 x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3支出 y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11A.利润中位数是 16，x 与 y 有正线性相关关系B利润中位数是 18，x 与 y 有负线性相关关系C利润中位数是 17，x 与 y 有正线性相关关系D利润中位数是 17，x 与 y 有负线性相关关系C 由表知，利润中位数是 (1618)17，且 y 随 x 的增大而增大，故选 C.12求回归直线方程探究问题1怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？提示 画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线
8、性相关关系，否则不具有线性相关关系2最小二乘法的实质是什么？任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？提示 实际上，最小二乘法就是从整体上看，使各点与回归直线的距离最小用最小二乘法求回归直线方程的前提是所给数据是线性相关的，不是线性相关的数据，求出回归直线方程是无意义的3回归系数 的含义是什么？b 提示 代表 x 每增加一个单位，y 的平均增加单位数当 0 时，两变量呈b b 正相关；当 0 时，两变量呈负相关b 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 10 次试验，收集数据如下：零件数 x(个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
9、加工时间 y(分) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122(1)y 与 x 是否具有线性相关关系？(2)如果 y 与 x 具有线性相关关系，求 y 关于 x 的回归直线方程思路探究 画 散 点 图 确 定 相 关 关 系求 回 归 直 线 系 数 写 回 归 直 线 方 程解 (1)画散点图如下：由上图可知 y 与 x 具有线性相关关系(2)列表、计算：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122xiyi 620 1 360 2
10、250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 640 10 350 12 20055， 91.7，x yx 38 500， iyi 55 95010i 1 2i10i 1x 0.668，b 10i 1xiyi 10x y10i 1x2i 10x2 55 950 105591.738 500 10552 91.70.668 5554.96.a y b x即所求的回归直线方程为： 0.668x54.96.y 母题探究：1.(变条件) 已知变量 x，y 有如下对应数据：x 1 2 3 4y 1 3 4 5(1)作出散点图，y 与 x 是否具有线性相关关系？(2)如果 y 与 x 具有相
11、关关系，用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程解 (1)散点图如图所示：由图知 y 与 x 具有线性相关关系(2) ，x1 2 3 44 52 ，y1 3 4 54 134iyi161220 39，4i 1x14 91630，4i 1x2i ，b 39 45213430 4(52)2 1310 0，a 134 1310 52所以 x 为所求回归直线方程y 13102(变结论 )本例条件不变，若已知 y 与 x 具有相关关系，且线性回归方程为kx60，求 k 值y 解 由题意可求得 55， 91.7，代入 kx60，得 k0.576.x y y 规律方法 1求回归直线方程的一般步骤(1)收集
12、样本数据，设为(x i，y i)(i1,2，n)(数据一般由题目给出)(2)作出散点图，确定 x，y 具有线性相关关系(3)把数据制成表格，计算出 x ，x iyi.2i(4)计算 ， ， x ， xiyi.x y n i 12i n i 1(5)代入公式计算 ， ，公式为Error!b a (6)写出回归直线方程 bxa.y 2回归直线方程必过样本中心点( ， )x y利用回归方程对总体进行估计下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤 )的几组对照数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请
13、根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归直线方程 bx a；y (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【导学号：31892010】思路探究 (1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数 ， 的值；(3)实际b a 上就是求当 x100 时，对应的 v 的值解 (1)散点图，如图所示：(2)由题意，得 iyi32.5435464.566.5，4i 1x 4.5，x3 4 5 64 3.5，y2.5 3 4
14、 4.543 24 25 26 286，4i 1x2i 0.7，b 66.5 44.53.586 44.52 66.5 6386 81 3.50.74.5 0.35，a y b x故线性回归直线方程为 0.7x0.35.y (3)根据回归直线方程的预测，现在生产 100 吨产品消耗的标准煤为0.71000.3570.35(吨)，故耗能减少了 9070.3519.65(吨)标准煤规律方法 回归分析的三个步骤：1判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图；2求线性回归直线方程，注意运算的正确性；3根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差.跟踪训练2某种产品的广告费
15、支出 y(百万元) 与销售额 x(百万元) 之间的关系如下表所示x 8 12 14 16y 5 8 9 11(1)假定 y 与 x 之间存在线性相关关系，求其回归直线方程(2)若广告费支出不少于 60 百万元，则实际销售额应不少于多少？解 (1)设回归直线方程为 bx a，则y ， b 438 412.5660 625 25.535 5170 a y b x 5 8 9 114 5170 8 12 14 164 334 ，则所求回归直线方程为 x .5170 252 67 y 5170 67(2)由 x 60，得 x 84，所以实际销售额不少于 84 百万元y 5170 67 4 26051当
16、 堂 达 标固 双 基1设一个回归方程 31.2x，则变量 x 增加一个单位时 ( )y Ay 平均增加 1.2 个单位By 平均增加 3 个单位Cy 平均减少 1.2 个单位Dy 平均减少 3 个单位A 由 1.20，故选 A.b 2下列有关线性回归的说法，不正确的是( )A变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C回归直线方程最能代表观测值 x、y 之间的线性关系D任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线D 只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义
17、的回归直线3已知变量 x，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图 233 所示，则其回归方程可能为( )A. 1.5x2y B. 1.5x2y C. 1.5 x2y D. 1.5x2y 图 233B 由散点图知，变量 x、y 呈负相关，且回归直线在 y 轴上的截距大于 0，故0， 0.因此回归方程可能为 1.5x2.b a y 4已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 3， 3.5，则由x y该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A. 0.4x2.3 B. 2x2.4y y C. 2x9.5 D. 0.3x4.4y y A 因为变量 x 和 y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项 C 和 D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项 A 和 B 中的直线方程进行检验，可以排除 B，故选 A.5对具有线性相关关系的变量 x 和 y，测得一组数据如下表所示x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70若已求得它们的回归直线的斜率为 6.5，求这条回归直线的方程解 由题意可知 5，x2 4 5 6 85 50，y30 40 60 50 705即样本中心为(5,50) ，设回归直线方程为 6.5xa，y 回归直线过样本中心(5,50)，506.55 ，即 17.5，a a 回归直线方程为 6.5x17.5.y
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