1、1广东省广州市 2019 年中考数学试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1 （3 分）|6|（ ）A6 B6 C D【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答【解答】解：6 的绝对值是|6|6故选： B【点评】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 02 （3 分）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3
2、，这组数据的众数是（ ）A5 B5.2 C6 D6.4【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个【解答】解：5 出现的次数最多，是 5 次，所以这组数据的众数为 5故选： A【点评】本题主要考查众数的定义，是需要熟练掌握的概念3 （3 分）如图，有一斜坡 AB，坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30m，斜坡的倾斜角是 BAC，若 tan BAC ，则此斜坡的水平距离 AC 为（ ）A75 m B50 m C30 m D12 m【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得 AC 的长，本题得以解决【解答】解： BCA90，tan BAC ， BC30 m，tan
3、 BAC ，2解得， AC75，故选： A【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答4 （3 分）下列运算正确的是（ ）A321 B3（ ） 2C x3x5 x15 D a【分析】直接利用有理数混合运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案【解答】解： A、325，故此选项错误；B、3（ ） 2 ，故此选项错误；C、 x3x5 x8，故此选项错误；D、 a ，正确故选： D【点评】此题主要考查了有理数混合运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键5 （3 分）平面内， O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点
4、 P 可作 O 的切线条数为（ ）A0 条 B1 条 C2 条 D无数条【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案【解答】解： O 的半径为 1，点 P 到圆心 O 的距离为 2， d r，点 P 与 O 的位置关系是： P 在 O 外，过圆外一点可以作圆的 2 条切线，故选： C【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有 1个公共点的直线，理解定义是关键6 （3 分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做 8 个，甲做 120 个所用的时间与乙做 150 个所用的时间相等，设甲每小时做 x 个零件，下列方程正确的是（ ）3A B
5、C D 【分析】设甲每小时做 x 个零件，根据甲做 120 个所用的时间与乙做 150 个所用的时间相等得出方程解答即可【解答】解：设甲每小时做 x 个零件，可得： ，故选： D【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键7 （3 分）如图， ABCD 中， AB2， AD4，对角线 AC， BD 相交于点 O，且 E， F， G， H 分别是 AO， BO， CO， DO 的中点，则下列说法正确的是（ ）A EH HGB四边形 EFGH 是平行四边形C AC BDD ABO 的面积是 EFO 的面积的 2 倍【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中
6、的结论是否成立，本题得以解决【解答】解： E， F， G， H 分别是 AO， BO， CO， DO 的中点，在 ABCD 中，AB2， AD4， EH AD2， HG AB1， EH HG，故选项 A 错误； E， F， G， H 分别是 AO， BO， CO， DO 的中点， EH ，四边形 EFGH 是平行四边形，故选项 B 正确；由题目中的条件，无法判断 AC 和 BD 是否垂直，故选项 C 错误；点 E、 F 分别为 OA 和 OB 的中点，4 EF ， EF AB， OEF OAB， ，即 ABO 的面积是 EFO 的面积的 4 倍，故选项 D 错误，故选： B【点评】本题考查平行
7、四边形的面积、三角形的相似、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答8 （3 分）若点 A（1， y1） ， B（2， y2） ， C（3， y3）在反比例函数 y 的图象上，则y1， y2， y3的大小关系是（ ）A y3 y2 y1 B y2 y1 y3 C y1 y3 y2 D y1 y2 y3【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 y1、 y2、 y3的值，比较后即可得出结论【解答】解：点 A（1， y1） ， B（2， y2） ， C（3， y3）在反比例函数 y 的图象上， y1 6， y2 3， y3 2，又623， y1 y3 y2故选： C【点评】
8、本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出 y1、 y2、 y3的值是解题的关键9 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC， AD 于点 E， F，若BE3， AF5，则 AC 的长为（ ）A4 B4 C10 D85【分析】连接 AE，由线段垂直平分线的性质得出 OA OC， AE CE，证明 AOF COE得出 AF CE5，得出 AE CE5， BC BE+CE8，由勾股定理求出AB 4，再由勾股定理求出 AC 即可【解答】解：连接 AE，如图： EF 是 AC 的垂直平分线， OA OC， AE CE，四边形
9、ABCD 是矩形， B90， AD BC， OAF OCE，在 AOF 和 COE 中， ， AOF COE（ ASA） ， AF CE5， AE CE5， BC BE+CE3+58， AB 4， AC 4 ；故选： A【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键10 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2（ k1） x k+20 有两个实数根 x1， x2，若（ x1 x2+2） （ x1 x22）+2 x1x23，则 k 的值（ ）A0 或 2 B2 或 2 C2 D2【分析】由根与系
10、数的关系可得出 x1+x2 k1， x1x2 k+2，结合（ x1 x2+2）（ x1 x22）+2 x1x23 可求出 k 的值，根据方程的系数结合根的判别式0 可得出关于 k 的一元二次不等式，解之即可得出 k 的取值范围，进而可确定 k 的值，此题得6解【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2（ k1） x k+20 的两个实数根为x1， x2， x1+x2 k1， x1x2 k+2（ x1 x2+2） （ x1 x22）+2 x1x23，即（ x1+x2） 22 x1x243，（ k1） 2+2k443，解得： k2关于 x 的一元二次方程 x2（ k1） x k+20 有实数根，（
11、 k1） 241（ k+2）0，解得： k2 1 或 k2 1， k2故选： D【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（ x1 x2+2） （ x1 x22）+2 x1x23，求出 k 的值是解题的关键二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11 （3 分）如图，点 A， B， C 在直线 l 上， PB l， PA6 cm， PB5 cm， PC7 cm，则点 P到直线 l 的距离是 5 cm【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案【解答】解： PB l， PB5 cm， P 到 l 的距离是垂线段 PB 的长
12、度 5cm，故答案为：5【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度12 （3 分）代数式 有意义时， x 应满足的条件是 x8 【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出 x 的取值范围【解答】解：代数式 有意义时，7x80，解得： x8故答案为： x8【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数13 （3 分）分解因式： x2y+2xy+y y（ x+1） 2 【分析】首先提取公因式 y，再利用完全平方进行二次分解即可【解答】解：原式 y（ x2+2x+1） y（ x+1） 2，故答案为： y（ x+1） 2【点评】
13、本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止14 （3 分）一副三角板如图放置，将三角板 ADE 绕点 A 逆时针旋转 （090） ，使得三角板 ADE 的一边所在的直线与 BC 垂直，则 的度数为 15或 45 【分析】分情况讨论： DE BC； AD BC【解答】解：分情况讨论：当 DE BC 时， BAD75，90 BAD15；当 AD BC 时， BAD45，即 45故答案为：15或 45【点评】本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键1
14、5 （3 分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 （结果保留 ）8【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长底面圆的周长即可解决问题【解答】解：某圆锥的主视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形，斜边长为 2 ，则底面圆的周长为 2 ，该圆锥侧面展开扇形的弧长为 2 ，故答案为 2 【点评】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型16 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A， B 重合） ， DAM45，点 F 在射线 AM 上，且 AF BE， CF 与 AD
15、相交于点 G，连接EC， EF， EG，则下列结论： ECF45； AEG 的周长为（1+ ） a； BE2+DG2 EG2； EAF 的面积的最大值 a2其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）【分析】正确如图 1 中，在 BC 上截取 BH BE，连接 EH证明 FAE EHC（ SAS） ，即可解决问题错误如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DH BE，则 CBE CDH（ SAS） ，再证明GCE GCH（ SAS） ，即可解决问题正确设 BE x，则 AE a x， AF x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题9【解答】解：如图 1 中，在 BC 上截取 BH BE
16、，连接 EH BE BH， EBH90， EH BE， AF BE， AF EH， DAM EHB45， BAD90， FAE EHC135， BA BC， BE BH， AE HC， FAE EHC（ SAS） ， EF EC， AEF ECH， ECH+ CEB90， AEF+ CEB90， FEC90， ECF EFC45，故正确，如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DH BE，则 CBE CDH（ SAS） ， ECB DCH， ECH BCD90， ECG GCH45， CG CG， CE CH， GCE GCH（ SAS） ， EG GH， GH DG+DH， DH BE， E
17、G BE+DG，故错误， AEG 的周长 AE+EG+AG AG+GH AD+DH+AE AE+EB+AD AB+AD2 a，故错误，设 BE x，则 AE a x， AF x， S AEF （ a x） x x2+ ax （ x2 ax+ a2 a2） （ x a）2+ a2， 0，10 x a 时， AEF 的面积的最大值为 a2故正确，故答案为【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题三、解答题（共 9 小题，满分 102 分）17 （9 分）解方程组： 【分析】运用加减消元
18、解答即可【解答】解： ，得，4 y2，解得 y2，把 y2 代入得， x21，解得 x3，故原方程组的解为 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法18 （9 分）如图， D 是 AB 上一点， DF 交 AC 于点 E， DE FE， FC AB，求证：ADE CFE11【分析】利用 AAS 证明： ADE CFE【解答】证明： FC AB， A FCE， ADE F，在 ADE 与 CFE 中： ， ADE CFE（ AAS） 【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法有： AAS， SSS
19、， SAS19 （10 分）已知 P （ a b）（1）化简 P；（2）若点（ a， b）在一次函数 y x 的图象上，求 P 的值【分析】 （1） P ；（2）将点（ a， b）代入 y x 得到 a b ，再将 a b 代入化简后的 P，即可求解；【解答】解：（1） P ；（2）点（ a， b）在一次函数 y x 的图象上， b a ， a b ， P ；【点评】本题考查分式的化简，一次函数图象上点的特征；熟练掌握分式的化简，理解点与函数解析式的关系是解题的关键20 （10 分）某中学抽取了 40 名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图
20、12频数分布表组别 时间/小时 频数/人数A 组 0 t1 2B 组 1 t2 mC 组 2 t3 10D 组 3 t4 12E 组 4 t5 7F 组 t5 4请根据图表中的信息解答下列问题：（1）求频数分布表中 m 的值；（2）求 B 组， C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；（3）已知 F 组的学生中，只有 1 名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从 F 组中随机选取 2 名学生，恰好都是女生【分析】 （1）用抽取的 40 人减去其他 5 个组的人数即可得出 m 的值；（2）分别用 360乘以 B 组， C 组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图；
21、（3）画出树状图，即可得出结果【解答】解：（1） m4021012745；（2） B 组的圆心角360 45，C 组的圆心角360或 90补全扇形统计图如图 1 所示：（3）画树状图如图 2：13共有 12 个等可能的结果，恰好都是女生的结果有 6 个，恰好都是女生的概率为 【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、频数分布表的应用，要熟练掌握21 （12 分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G 等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东 5G 基站的数量约 1.5 万座，计划到 2020 年底，全省5G 基站数是目前的 4 倍，到 2022 年底，全省 5
22、G 基站数量将达到 17.34 万座（1）计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率【分析】 （1）2020 年全省 5G 基站的数量目前广东 5G 基站的数量4，即可求出结论；（2）设 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 x，根据 2020 年底及 2022 年底全省 5G 基站数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：（1）1.546（万座） 答：计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是 6 万座（2）设 20
23、20 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 x，依题意，得：6（1+ x） 217.34，解得： x10.770%， x22.7（舍去） 答：2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 70%14【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键22 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点P（1，2） ， AB x 轴于点 E，正比例函数 y mx 的图象与反比例函数 y 的图象相交于 A， P 两点（1）求 m， n 的值与点 A 的坐标；（2）求证
24、： CPD AEO；（3）求 sin CDB 的值【分析】 （1）根据点 P 的坐标，利用待定系数法可求出 m， n 的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点 A 的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点 P 的坐标找出点 A 的坐标亦可） ；（2）由菱形的性质可得出 AC BD， AB CD，利用平行线的性质可得出 DCP OAE，结合 AB x 轴可得出 AEO CPD90，进而即可证出 CPD AEO；（3）由点 A 的坐标可得出 AE， OE， AO 的长，由相似三角形的性质可得出 CDP AOE，再利用正弦的定义即可求出 sin CDB 的值【解答】 （1）解
25、：将点 P（1，2）代入 y mx，得：2 m，解得： m2，正比例函数解析式为 y2 x；将点 P（1，2）代入 y ，得：2（ n3） ，解得： n1，反比例函数解析式为 y 15联立正、反比例函数解析式成方程组，得： ，解得： ， ，点 A 的坐标为（1，2） （2）证明：四边形 ABCD 是菱形， AC BD， AB CD， DCP BAP，即 DCP OAE AB x 轴， AEO CPD90， CPD AEO（3）解：点 A 的坐标为（1，2） ， AE2， OE1， AO CPD AEO， CDP AOE，sin CDBsin AOE 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式
26、、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出 m， n 的值；（2）利用菱形的性质，找出 DCP OAE， AEO CPD90；（3）利用相似三角形的性质，找出 CDP AOE23 （12 分）如图， O 的直径 AB10，弦 AC8，连接 BC16（1）尺规作图：作弦 CD，使 CD BC（点 D 不与 B 重合） ，连接 AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形 ABCD 的周长【分析】 （1）以 C 为圆心， CB
27、为半径画弧，交 O 于 D，线段 CD 即为所求（2）连接 BD， OC 交于点 E，设 OE x，构建方程求出 x 即可解决问题【解答】解：（1）如图，线段 CD 即为所求（2）连接 BD， OC 交于点 E，设 OE x AB 是直径， ACB90， BC 6， BC CD， ， OC BD 于 E BE DE， BE2 BC2 EC2 OB2 OE2，6 2（5 x） 25 2 x2，解得 x ， BE DE， BO OA，17 AD2 OE ，四边形 ABCD 的周长6+6+10+ 【点评】本题考查作图复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题
28、24 （14 分）如图，等边 ABC 中， AB6，点 D 在 BC 上， BD4，点 E 为边 AC 上一动点（不与点 C 重合） ， CDE 关于 DE 的轴对称图形为 FDE（1）当点 F 在 AC 上时，求证： DF AB；（2）设 ACD 的面积为 S1， ABF 的面积为 S2，记 S S1 S2， S 是否存在最大值？若存在，求出 S 的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当 B， F， E 三点共线时求 AE 的长【分析】 （1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得 DFC A，可证 DF AB；（2）过点 D 作 DM AB 交 AB 于点 M，由题意可得点 F 在以 D 为圆
29、心， DF 为半径的圆上，由 ACD 的面积为 S1的值是定值，则当点 F 在 DM 上时， S ABF最小时， S 最大；（3）过点 D 作 DG EF 于点 G，过点 E 作 EH CD 于点 H，由勾股定理可求 BG 的长，通过证明 BGD BHE，可求 EC 的长，即可求 AE 的长【解答】解：（1） ABC 是等边三角形 A B C60由折叠可知： DF DC，且点 F 在 AC 上 DFC C60 DFC A DF AB；（2）存在，18过点 D 作 DM AB 交 AB 于点 M， AB BC6， BD4， CD2 DF2，点 F 在以 D 为圆心， DF 为半径的圆上，当点 F
30、 在 DM 上时， S ABF最小， BD4， DM AB， ABC60 MD2 S ABF的最小值 6（2 2）6 6 S 最大值 23 （6 6）3 +6（3）如图，过点 D 作 DG EF 于点 G，过点 E 作 EH CD 于点 H， CDE 关于 DE 的轴对称图形为 FDE DF DC2， EFD C60 GD EF， EFD60 FG1， DG FG BD2 BG2+DG2，163+（ BF+1） 2， BF 1 BG EH BC， C6019 CH ， EH HC EC GBD EBH， BGD BHE90 BGD BHE EC 1 AE AC EC7【点评】本题是三角形综合题
31、，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键25 （14 分）已知抛物线 G： y mx22 mx3 有最低点（1）求二次函数 y mx22 mx3 的最小值（用含 m 的式子表示） ；（2）将抛物线 G 向右平移 m 个单位得到抛物线 G1经过探究发现，随着 m 的变化，抛物线 G1顶点的纵坐标 y 与横坐标 x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为 H，抛物线 G 与函数 H 的图象交于点 P，结合图象，求点 P的纵坐标的取值范围【分析】 （1）抛物线有最低点即
32、开口向上， m0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值（2）写出抛物线 G 的顶点式，根据平移规律即得到抛物线 G1的顶点式，进而得到抛物线 G1顶点坐标（ m+1， m3） ，即 x m+1， y m3， x+y2 即消去 m，得到 y 与x 的函数关系式再由 m0，即求得 x 的取值范围（3）法一：求出抛物线恒过点 B（2，4） ，函数 H 图象恒过点 A（2，3） ，由图象可知两图象交点 P 应在点 A、 B 之间，即点 P 纵坐标在 A、 B 纵坐标之间法二：联立函数 H 解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用 x 表示 m 的式子由x 与 m 的范围讨论 x 的具体范围，即求得
33、函数 H 对应的交点 P 纵坐标的范围【解答】解：（1） y mx22 mx3 m（ x1） 2 m3，抛物线有最低点二次函数 y mx22 mx3 的最小值为 m320（2）抛物线 G： y m（ x1） 2 m3平移后的抛物线 G1： y m（ x1 m） 2 m3抛物线 G1顶点坐标为（ m+1， m3） x m+1， y m3 x+y m+1 m32即 x+y2，变形得 y x2 m0， m x1 x10 x1 y 与 x 的函数关系式为 y x2（ x1）（3）法一：如图，函数 H： y x2（ x1）图象为射线x1 时， y123； x2 时， y224函数 H 的图象恒过点 B（
34、2，4）抛物线 G： y m（ x1） 2 m3x1 时， y m3； x2 时， y m m33抛物线 G 恒过点 A（2，3）由图象可知，若抛物线与函数 H 的图象有交点 P，则 yB yP yA点 P 纵坐标的取值范围为4 yP3法二：整理的： m（ x22 x）1 x x1，且 x2 时，方程为 01 不成立 x2，即 x22 x x（ x2）0 m 0 x11 x0 x（ x2）021 x20 x2 即 1 x2 yP x24 yP3【点评】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用
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