1、课时规范练(授课提示：对应学生用书第 311 页)A 组 基础对点练1抛物线 y 4x2 的焦点坐标是 ( C )A. B(1,0)(116，0)C. D(0,1)(0，116)2过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y 1)，Q (x2，y 2)两点，如果x1x 26，则|PQ|( B )A9 B8C7 D63已知点 F 是抛物线 C：y 24x 的焦点，点 A 在抛物线 C 上，若| AF|4，则线段 AF 的中点到抛物线 C 的准线的距离为( B )A4 B3C2 D14已知抛物线 C：y 2x 的焦点为 F，A(x 0，y 0)是 C 上一点，|AF| x0，则5
2、4x0( C )A4 B2C1 D85O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y 24 x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|42，则POF 的面积为( C )2A2 B2 2C2 D436在同一平面直角坐标系中，方程 a2x2b 2y21 与 axby 20(ab0)表示的曲线大致是( D )7已知 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，Q 是圆(x3) 2(y1) 21 上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ| |PN| 的最小值为 ( A )A3 B4C5 D 128(2018高考北京卷 )已知直线 l 过点(1,0) 且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y24ax截得的线段长为
3、 4，则抛物线的焦点坐标为 (1,0) 解析：易求得 a1，y 24x，由抛物线方程可得 2p4，p2， 1，焦点p2坐标为(1,0)9若抛物线 y22px (p0)的准线经过双曲线 x2y 21 的一个焦点，则 p 2.2解析：y 22px 的准线方程为 x ，又 p0，所以 x 必经过双曲线p2 p2x2y 21 的左焦点( ，0)，所以 ，p 2 .2p2 2 210如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)，A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当直线 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y
4、1y 2 的值及直线 AB 的斜率解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y22px (p0)点 P(1,2)在抛物线上，2 22p1，解得 p2.故所求抛物线的方程是 y24x ，准线方程是 x1.(2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB，则 kPA (x11)，y1 2x1 1kPB (x21) ，y2 2x2 1直线 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，kPAk PB.由 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上，得 y 4x 1， y 4x 2，21 2 ，y1 214y21 1y2 214y2 1y12( y22)，y 1 y24.由得，
5、y y 4(x 1x 2)，21 2kAB 1(x1x 2)y1 y2x1 x2 4y1 y211已知抛物线 y22px (p0)，过点 C(2,0)的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，坐标原点为 O， 12.OA OB (1)求抛物线的方程；(2)当以|AB|为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程解析：(1)设 l：x my2，代入 y22px 中，得 y22pmy4p0.(*)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y 22pm，y 1y24p，则 x1x2 4.y21y24p2因为 12，所以 x1x2y 1y212，即 44p12，解得 p2，故抛物线的OA O
6、B 方程为 y24 x.(2)由(1)中(*)可化为 y24my80，得 y1y 24m，y 1y28.设 AB 的中点为 M，则|AB|2x M x1x 2m(y 1y 2)44m 24，又|AB| |y1y 2| ，1 m2 1 m216m2 32由得(1 m 2)(16m232)(4m 24) 2，解得 m23，即 m ，3所以直线 l 的方程为 x y20 或 x y20.3 3B 组 能力提升练1已知抛物线 y26x 的焦点为 F，准线为 l，点 P 为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为 A，|PA|2，则直线 AF 的倾斜角为( D )A. B43 23C. D34 562
7、已知点 F 是抛物线 C：yax 2(a0)的焦点，点 A 在抛物线 C 上，则以线段AF 为直径的圆与 x 轴的位置关系是( C )A相离 B相交C相切 D无法确定3设 F 为抛物线 C：y 23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为( D )A. B334 938C. D6332 944已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线12C：y 28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|( B )A3 B6C9 D125抛物线 C1：y x2(p0)的焦点与双曲线 C2： y 21
8、的右焦点的连线交12p x23C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p( D )A. B316 38C. D233 433解析：由已知得抛物线的焦点坐标为 ，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以(0，p2)上述两点连线的方程为 1.双曲线的渐近线方程为 y x，对函数 yx2 2yp 33x2求导得， y x.设 M(x0，y 0)，则 x0 ，即 x0 p，代入抛物线方程12p 1p 1p 33 33得，y 0 p.由于点 M 在直线 1 上，所以 p 1，解得 p 16 x2 2yp 36 2p p6 43.4336过抛物线 y24x 的焦点
9、 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A，B 两点，则弦长|AB|为 8 .解析：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)易得抛物线的焦点是 F(1,0)，所以直线 AB 的方程是 yx1，联立Error! 消去 y 得 x26x10，所以 x1x 26，所以|AB|x 1x 2p628.7抛物线 y22px (p0)的焦点为 F，其准线与双曲线 y2x 21 相交于 A，B 两点，若ABF 为等边三角形，则 p 2 .3解析：易得双曲线 y2x 21 过点 ，( p2，p3)从而 1，所以 p2 .p23 p24 38已知直线 l：ykx t 与圆：x 2(y1) 21 相切，且与抛物
10、线 C：x 24y 交于不同的两点 M，N，则实数 t 的取值范围是 t0 或 t0 ，得 t0 或 t0)，a所以 a1.11(2018高考浙江卷 )如图，已知点 P 是 y 轴左侧 (不含 y 轴)一点，抛物线C：y 24x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上(1)设 AB 中点为 M，证明： PM 垂直于 y 轴；(2)若 P 是半椭圆 x2 1(x0(y1y 2)，20 20此时 P(x0，y 0)在半椭圆 x2 1( x0，|y1y 2| y1 y22 4y1y2 4 ，321 x0 x20 21 x0 x20|xMx 0| x 0 x 0y21 y28
11、y1 y22 2y1y28 x 0 3x 04y20 28x0 y208 64 4x2083(1 x0x )，20所以 S (xMx 0)|y1y 2|6 (1x 0x ) .12 2 20 1 x0 x20令 t ，1 x0 x20 1，52所以 S6 t3 ，2 62，15104 即PAB 的面积的取值范围是 .62，15104 12设抛物线 C：x 22py( p0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点(1)若BFD90 ，ABD 的面积为 4 ，求 p 的值及圆 F 的方程；2(2)若 A，B，F 三点在同一直线
12、 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值解析：(1)由已知可得 BFD 为等腰直角三角形，| BD|2p，圆 F 的半径|FA| p.2由抛物线定义可知点 A 到 l 的距离 d|FA| p.2因为ABD 的面积为 4 ，2所以 |BD|d 4 ，12 2即 2p p4 ，12 2 2解得 p2(舍去) 或 p2.所以 F(0,1)，圆 F 的方程为 x2(y1) 28.(2)因为 A，B，F 三点在同一直线 m 上，所以 AB 为圆 F 的直径，ADB 90.由抛物线定义知|AD|FA| |AB|，12所以ABD30 ，m 的斜率为 或 .33 33当 m 的斜率为 时，由已知可设 n：y xb，代入 x22py 得33 33x2 px2pb0.233由于 n 与 C 只有一个公共点，故 p28pb0，解得 b .43 p6因为 m 的纵截距 b1 ， 3，p2 |b1|b|所以坐标原点到 m，n 距离的比值为 3.当 m 的斜率为 时，由图形对称性可知，坐标原点到 m，n 距离的比值为 3.33综上，坐标原点到 m，n 距离的比值是 3.
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