2020年高考理科数学新课标第一轮总复习练习：5_5数列的综合应用

1、课时规范练(授课提示：对应学生用书第 275 页)A 组 基础对点练1(2018龙泉驿区期末 )等差数列a n的公差为 1，且 a1，a 3，a 7 成等比数列，则a n的前 20 项和为( A )A230 B230C210 D2102在等比数列a n中，S n是它的前 n 项和，若 q 2，且 a2 与 2a4 的等差中项为18，则 S5( A )A62 B62C32 D323已知数列a n，定直线 l：y x ，若(n，a n)在直线 l 上，则数m 32m 4 m 92m 4列a n的前 13 项和为( C )A10 B21C39 D784等差数列a n中的 a4， a2 016 是函数

2、 f(x) x36x 24x1 的极值点，则log a1 010( D )14A. B212C 2 D125(2018柳林县期末 )已知 x0，y0，x，a，b，y 成等差数列，x ，c，d，y成等比数列，则 的最小值是( C )a bcdA0 B1C2 D4解析：由 x 0，y 0，x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，可得abxy，xycd ，则 2，a bcd x yxy 2xyxy当且仅当 x y 时，等号成立，则 的最小值是 2.a bcd6已知在等差数列a n中， a1120，公差 d 4，若 Sna n(n2)，其中 Sn为该数列的前 n 项和，则 n 的最小值

3、为( B )A60 B62C70 D727等差数列a n的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a 3，a 6 成等比数列，则a n前6 项的和为( A )A24 B3C3 D88设 Sn为等比数列a n的前 n 项和若 a11，且 3S1,2S2，S 3 成等差数列，则an 3n1 .解析：由 3S1,2S2，S 3成等差数列，得 4S23S 1S 3，即 3S23S 1S 3S 2，则3a2a 3，得公比 q3，所以 ana 1qn1 3 n1 .9(2017江西师大附中检测)已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且S1，S 3，S 4 成等差数列，则数列a n的公比为 .1 52解

4、析：设 an的公比为 q，由题意易知 q0 且 q1，因为 S1，S 3，S 4成等差数列，所以 2S3S 1S 4，即 a 1 ，解得 q .2a11 q31 q a11 q41 q 1 5210已知函数 yf (x)的定义域为 R，当 x1，且对任意的实数x，yR，等式 f(x)f(y)f (xy)恒成立若数列a n满足 a1f(0)，且 f(an1 )(nN *)，则 a2 016 的值为 4 031 .1f 2 an解析：根据题意，不妨设 f(x) x，则 a1f(0) 1，f(a n1 )(12) ，a n1 a n2，1f 2 an数列 an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，

5、an2 n1， a2 0164 031.11(2016高考四川卷 )已知数列a n的首项为 1，S n为数列a n的前 n 项和，Sn1 qS n1，其中 q0，nN *.(1)若 a2，a 3， a2a 3 成等差数列，求数列a n的通项公式；(2)设双曲线 x2 1 的离心率为 en，且 e22，求 e e e .y2a2n 21 2 2n解析：(1)由已知， Sn1 qS n1，S n2 qS n1 1，两式相减得到an2 qa n1 ，n1.又由 S2qS 11 得到 a2qa 1，故 an1 qa n对所有 n1 都成立所以数列 an是首项为 1，公比为 q 的等比数列从而 anq

6、n1 .由 a2，a 3，a 2a 3成等差数列，可得 2a3a 2a 2a 3，所以 a32a 2，故 q2，所以 an2 n1 (nN *)(2)由(1)可知，a nq n1 .所以双曲线 x2 1 的离心率 en .由 e2 y2a2n 1 a2n 1 q2n 12 解得 q .1 q2 3所以 e e e (11)(1q 2)1 q 2(n1) 21 2 2nn1 q 2q 2(n1) n n (3n1)q2n 1q2 1 1212已知等差数列a n的各项均为正数， a11，前 n 项和为 Sn，数列b n为等比数列，b 11，且 b2S26，b 2S 38.(1)求数列a n与b n

7、的通项公式；(2)求 .1S1 1S2 1Sn解析：(1)设等差数列 an的公差为 d，d0，b n的公比为 q，则 an1(n1)d，b nq n1 .依题意有Error!解得Error!或Error!(舍去)故 ann，b n2 n1 .(2)由(1)知 Sn12 n n(n1)，12 2 ，1Sn 2nn 1 (1n 1n 1) 2Error!1S1 1S2 1SnError!2 .(1 1n 1) 2nn 1B 组 能力提升练1(2018武平县校级月考)已知函数 f(x) ，Mf f f (nN *，且 n 为奇数)，则 M 等于( C )4x2x 1 (1n) (2n) (nn)A2

8、n1 Bn12C2n 2 D2n12解析：化简 f(x)2 ，则 f(1x)2 ，22x 1 22x 1f(x)f(1 x) 4，且 f(0)0，Mf(0) f f f ，(1n) (2n) (nn)2M 4(n1)，f0 f(nn) f(1n) f(n 1n ) f(nn) f0M2n2.2(2018柯桥区期末 )设数列a n是首项为 1，公比为 q(q1)的等比数列，若是等差数列，则 的值等1an an 1 (1a1 1a2) (1a2 1a3) ( 1a2 017 1a2 018)于( C )A2 017 B2 018C4 034 D4 036解析：数列a n是首项为 1，公比为 q(q

9、1) 的等比数列，可得 anq n1 ， .1an an 1 1qn 1 qn 11 q 1qn 1由 是等差数列，可得 q1，即 an1，1an an 1即有 22222 0174 (1a1 1a2) (1a2 1a3) ( 1a2 017 1a2 018)034.3已知数列a n的首项 a12，数列b n为等比数列，且 bn ，若an 1anb10b112，则 a21( C )A2 9 B2 10C2 11 D2 124(2018宜宾期末 )已知数列a n是公差不为零的等差数列，且 a12，S n为其前 n 项和，等比数列b n的前三项分别为 a2，a 5， a11，设向量 (nN *)，

10、则 的模的最大值是( B )OQn (ann，Snn2) OQn A. B22 2C. D23 3解析：由题意可得 a a 2a11，即(a 14d) 2(a 1d)(a 110d) ，化为25a12d2，可得 d1，则 an2n1n1，S n n(n3)12向量 ，可得OQn (ann，Snn2) (n 1n ，n 32n)| |2 2 2 .OQn (1 1n) 14(1 3n) 134n2 72n 54由于 nN *，当 n1 时， 取得最大值 1，1n可得 的最大值为 8，134n2 72n 54 134 72 54则 的模的最大值是 2 .OQn 25若 a，b 是函数 f(x)x

11、2pxq(p0 ，q0)的两个不同的零点，且a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于 9 .解析：依题意有 a，b 是方程 x2px q0 的两根，则 abp，abq，由p0，q0 可知 a0，b0.由题意可知 ab(2) 24q，a22b 或b22a，将 a22b 代入 ab4 可解得 a4，b1，此时 ab5，将 b22a 代入ab4 可解得 a1，b4，此时 ab5，则 p5，故 pq9.6(2018上饶三模 )已知等比数列a n的首项是 1，公比为 3，等差数列b n的首项是5，公差为 1，把b n中的各项按如下规则依次插入到 an的每相

12、邻两项之间，构成新数列c n： a1，b 1，a 2，b 2，b 3，a 3，b 4，b 5，b 6，a 4，即在 an和 an1 两项之间依次插入b n中 n 个项，则 c2 018 1 949 .(用数字作答)解析：由题意得 an3 n1 ，b n5(n1)1n6，数列c n中的项为30，5,3 1，4，3,3 2，2，1,0,3 3，3 n时，共有项数为12n(n1) .当 n62 时， 2 016，n 1n 22 63642即此时共有 2 016 项，且第 2 016 项为 362，c2 018b 1 9551 95561 949.7对于数列a n，若对 m，nN *(mn)，都有 t

13、 (t 为常数)成立，则am anm n称数列 an具有性质 P(t)若数列 an的通项公式为 an2 n，且具有性质 P(t)，则 t 的最大值为 2 .解析：借助 y2 x的图象(图略)可知， 表示该图象上两个整数点连线的斜am anm n率，由图象知 m1，n2 或 m2，n1 时斜率取最小值 2，若对m，nN *(mn) ，都有 t 成立，则 t2，所以 t 的最大值为 2.am anm n8对于数列a n，定义 Hn 为a n的“优值” ，现在已a1 2a2 2n 1ann知某数列 an的“优值” Hn2 n1 ，记数列a nkn的前 n 项和为 Sn，若 SnS 5对任意的 nN

14、*恒成立，则实数 k 的取值范围为 .73，125解析：由题意知 Hn 2 n 1，a1 2a2 2n 1ann所以 a12a 22 n1 ann2 n1 ， 当 n2 时，a 12a 22 n2 an1 (n1)2 n， 得 2n1 ann2 n1 (n1)2 n，解得 an2n2，n2，当 n1 时，a 14 也满足上式，所以数列a n的通项公式为 an2n2，且数列an为等差数列，公差为 2.令 bna nkn (2k )n2，则数列 bn也是等差数列，由 SnS 5对任意的 nN *恒成立，知 2k0.由题意得Error!所以 3q25q20，因为 q0，所以 q2，x 11，因此数列

15、 xn的通项公式为 xn2 n1 .(2)过 P1，P 2，P 3，P n1 向轴 x 作垂线，垂足分别为Q1，Q 2，Q 3，Q n1 ，由(1)得 xn1 x n2 n2 n1 2 n1 ，记梯形 PnPn1 Qn1 Qn的面积为 bn.由题意 bn 2n1 (2n1) 2n2 ，n n 12所以 Tnb 1 b2b 3 bn32 1 52 072 1(2n1)2 n3 (2n1)2 n2 ，又 2Tn32 052 17 22(2n1)2 n2 (2n1)2 n1 ，得T n32 1(2 2 22 n1 )(2n1)2 n 1 (2n1) 2n1 .32 21 2n 11 2所以 Tn .2n 12n 12