1、单元质检五 数列(A )(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分)1.已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,a6=15,S9=99,则等差数列a n的公差是( )A. B.4 C.-4 D.-3142.已知公比为 的等比数列a n的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a16=( )32A.4 B.5 C.6 D.73.在等差数列a n中,已知 a4=5,a3 是 a2 和 a6 的等比中项,则数列 an的前 5 项的和为( )A.15 B.20C.25 D.15 或 254.已知等差数列a n和等比数列b n满足:3a
2、1- +3a15=0,且 a8=b10,则 b3b17=( )28A.9 B.12 C.16 D.365.设公比为 q(q0)的等比数列 an的前 n 项和为 Sn,若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 a1=( )A.-2 B.-1 C. D.12 236.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数 ,当 x0 时,f(x)=x(1-x).若数列 an满足 a1= ,且 an+1= ,则12 11-f(a11)=( )A.2 B.-2 C.6 D.-6二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分)7.已知 Sn 为等比数列a n的前 n 项和,且 Sn=2an-1,则数
3、列a n的公比 q= . 8.已知等差数列a n的公差 d0,且 a1,a3,a13 成等比数列,若 a1=1,Sn 为数列 an的前 n 项和,则的最小值为 . 2+16+3三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分)9.(14 分) 已知数列 an的首项为 a1=1,其前 n 项和为 Sn,且数列 是公差为 2 的等差数列.(1)求数列a n的通项公式;(2)若 bn=(-1)nan,求数列b n的前 n 项和 Tn.10.(15 分) 已知数列 an满足 an=6- (nN *,n2) .9-1(1)求证:数列 是等差数列;1-3(2)若 a1=6,求数列lg a n的前 999 项的
4、和.11.(15 分) 设数列 an满足 a1=2,an+1-an=322n-1.(1)求数列a n的通项公式;(2)令 bn=nan,求数列 bn的前 n 项和 Sn.单元质检五 数列 (A)1.B 解析 数列a n是等差数列,a 6=15,S9=99, a1+a9=22, 2a5=22,a5=11. 公差 d=a6-a5=4.2.B 解析 由等比中项的性质,得 a3a11= =16.因为数列a n各项都是正数,所以 a7=4.所以27a16=a7q9=32.所以 log2a16=5.3.A 解析 在等差数列a n中,a 4=5,a3 是 a2 和 a6 的等比中项 , 1+3=5,(1+2
5、)2=(1+)(1+5),解得 a1=-1,d=2, S5=5a1+ d=5(-1)+54=15.故选 A.5424.D 解析 由 3a1- +3a15=0,得 =3a1+3a15=3(a1+a15)=32a8,28 28即 -6a8=0.因为 a8=b100,所以 a8=6,b10=6,28所以 b3b17= =36.2105.B 解析 S2=3a2+2,S4=3a4+2, S4-S2=3(a4-a2),即 a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q0,解得 q= ,代入 a1(1+q)=3a1q+2,32解得 a1=-1.6.C 解析 设 x0,则-x0.因为 f(x)是定义在 R 上的奇
6、函数 ,所以 f(x)=-f(-x)=-x(1+x)=x(1+x).由 a1= ,且 an+1= ,12 11-得 a2= =2,11-1=11-12a3= =-1,11-2=11-2a4= ,11-3= 11-(-1)=12所以数列a n是以 3 为周期的周期数列,即 a11=a33+2=a2=2.所以 f(a11)=f(a2)=f(2)=2(1+2)=6.7.2 解析 Sn=2an-1, a1=2a1-1,a1+a2=2a2-1,解得 a1=1,a2=2. 等比数列a n的公比 q=2.8.4 解析 设a n的公差为 d.因为 a1,a3,a13 成等比数列,所以(1+2d) 2=1+12
7、d,解得 d=2.所以 an=2n-1,Sn=n2.所以 .2+16+3=22+162+2=2+8+1令 t=n+1,则原式= =t+ -2.2+9-2 9因为 t2,tN *,所以当 t=3,即 n=2 时, =4.(2+16+3)9.解 (1) 数列 是公差为 2 的等差数列,且 =a1=1, 11 =1+(n-1)2=2n-1. Sn=2n2-n. 当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=2n2-n-2(n-1)2-(n-1)=4n-3. a1 符合 an=4n-3, an=4n-3.(2)由(1)可得 bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3).当 n 为偶数时,Tn=(-1+5)+(
8、-9+13)+-(4n-7)+(4n-3)=4 =2n;2当 n 为奇数时,n+1 为偶数,Tn=Tn+1-bn+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.综上所述,Tn=2,=2, *,-2+1,=2-1, *.10.(1)证明 (n2),1-3 1-1-3=-13-1-9 1-1-3=-1-33-1-9=13 数列 是等差数列.1-3(2)解 是等差数列,且 ,d= ,1-3 11-3=13 13 (n-1)= .1-3=11-3+13 3 an= .3(+1) lg an=lg(n+1)-lg n+lg 3.设数列lg a n的前 999 项的和为 S,则 S=999lg 3+(lg
9、2-lg 1+lg 3-lg 2+lg 1 000-lg 999)=999lg 3+lg 1 000=3+999lg 3.11.解 (1)由已知,当 n1 时,an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+(a2-a1)+a1=3(22n-1+22n-3+2)+2=22(n+1)-1.而 a1=2,所以数列a n的通项公式为 an=22n-1.(2)由 bn=nan=n22n-1 知Sn=12+223+325+n22n-1. 从而 22Sn=123+225+327+n22n+1. - ,得(1 -22)Sn=2+23+25+22n-1-n22n+1,即 Sn= (3n-1)22n+1+2.19
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