1、单元质检七 立体几何(A )(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分)1.已知圆柱的侧面展开图是边长为 2 和 4 的矩形,则圆柱的体积是( )A. B. C. D.2 4 8 4或 82.下列命题中,错误的是( )A.三角形的两条边平行于一个平面 ,则第三边也平行于这个平面B.平面 平面 ,a,过 内的一点 B 有唯一的一条直线 b,使 baC., , 所成的交线为 a,b,c,d,则 abcdD.一条直线与两个平面所成的角相等 ,则这两个平面平行3.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=3
2、,AC=4,ABAC ,AA1=12,则球 O的半径为( )A. B.23172 10C. D.3132 104.已知 l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )A.若 l1l 2,l2l 3,则 l1l 3B.若 l1l 2,l2l 3,则 l1l 3C.若 l1l 2l 3,则 l1,l2,l3 共面D.若 l1,l2,l3 共点,则 l1,l2,l3 共面5.一个正方体的表面展开图如图所示,点 A,B,C 均为棱的中点,D 是顶点,则在正方体中,异面直线 AB和 CD 所成的角的余弦值为( )A. B.25 35C. D.105 556. 我国古代数学名著九章算术中
3、有这样一些数学用语,“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马” 指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵,ACBC,若 A1A=AB=2,当阳马 B-A1ACC1 的体积最大时,则堑堵 ABC-A1B1C1 的表面积为( )A.4+4 B.6+4 C.8+4 D.10+42 2 2 2二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分)7.已知矩形 ABCD 的边 AB=a,BC=3,PA平面 ABCD,若 BC 边上有且只有一点 M,使 PMDM,则 a的值为 . 8.已知在三棱锥 A-BCD 中,AB=AC=BC=2,BD=CD= ,
4、点 E 是 BC 的中点,点 A 在平面 BCD 上的射2影恰好为 DE 的中点,则该三棱锥外接球的表面积为 . 三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分)9. (14 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 ACBC,BC=CC 1.设 AB1 的中点为 D,B1CBC1=E.求证:(1)DE 平面 AA1C1C;(2)BC1AB 1.10. (15 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都是 2,AA1平面 ABC,D,E 分别是 AC,CC1 的中点.(1)求证:AE平面 A1BD;(2)求二面角 D-BE-B1 的余弦值.11.(15 分) 如图,三角
5、形 PDC 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面垂直 ,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点 E是 CD 边的中点,点 F,G 分别在线段 AB,BC 上,且 AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PEFG;(2)求二面角 P-AD-C 的正切值;(3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.单元质检七 立体几何 (A)1.D 解析 圆柱的侧面展开图是边长为 2 与 4 的矩形,当母线为 4 时,圆柱的底面半径是 ,此时圆柱体积是 4= ;1 (1)2 4当母线为 2 时,圆柱的底面半径是 ,此时圆柱的体积是 2= ,2 (2)2 8综上可知,所求圆柱的体积是 .故选 D.4或 82
6、.D 解析 A 正确,三角形可以确定一个平面 ,若三角形两边平行于一个平面,则它所在的平面与这个平面平行,故第三边平行于这个平面;B 正确,平面 与平面 平行,则平面 中的直线 a 必平行于平面 ,平面 内的一点与这条线可以确定一个平面 ,这个平面与平面 交于一条直线,过该点在平面 内只有这条直线与 a 平行;C 正确,利用同一平面内不相交的两条直线一定平行判断即可确定 C 是正确的;D 错误,一条直线与两个平面所成的角相等,这两个平面可能是相交平面,故应选 D.3.C 解析 由计算可得 O 为 B1C 与 BC1 的交点.设 BC 的中点为 M,连接 OM,AM,则可知 OM平面 ABC,连
7、接 AO,则 AO 的长为球半径,可知OM=6,AM= ,在 RtAOM 中,由勾股定理得半径 OA= .52 1324.B 解析 从正方体同一个顶点出发的三条棱两两垂直,可知选项 A 错误;因为 l1l 2,所以 l1 与 l2 所成的角是 90.又因为 l2l 3,所以 l1 与 l3 所成的角是 90,所以 l1l 3,故选项 B 正确;三棱柱中的三条侧棱平行,但不共面,故选项 C 错误;三棱锥的三条侧棱共点,但不共面,故选项 D 错误.故选 B.5.C 解析 如图所示,可知EGF 为 AB 和 CD 所成的角,F 为正方体棱的中点.设正方体棱长为 1,则 EF=GF= ,EG= .52
8、 2故 cosEGF= .1056.B 解析 设 AC=x,则 0= =- ,| 64 cos =- .故二面角 D-BE-B1 的余弦值为- .64 6411.解法一 (1)证明: PD=PC,且点 E 为 CD 边的中点, PEDC.又平面 PDC平面 ABCD,且平面 PDC平面 ABCD=CD,PE平面 PDC, PE平面 ABCD. FG平面 ABCD, PEFG.(2) 四边形 ABCD 是矩形, ADDC.又平面 PDC平面 ABCD,且平面 PDC平面 ABCD=CD,AD平面 ABCD, AD平面 PDC. PD平面 PDC, ADPD . PDC 即为二面角 P-AD-C
9、的平面角.在 RtPDE 中,PD=4,DE= AB=3,PE= ,12 2-2=7 tanPDC= ,=73即二面角 P-AD-C 的正切值为 .73(3)如图所示,连接 AC, AF=2FB,CG=2GB,即 =2, ACFG,= PAC 即为直线 PA 与直线 FG 所成的角或其补角.在PAC 中,PA= =5,2+2AC= =3 .2+2 5由余弦定理可得 cosPAC= ,2+2-22=52+(35)2-422535=9525 直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为 .9525解法二 (1)见解法一.(2)取 AB 的中点 M,连接 EM,可知 EM,EC,EP 两两垂直,故以
10、E 为原点,EM,EC,EP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.可得 A(3,-3,0),D(0,-3,0),P(0,0, ),C(0,3,0),即 =(-3,0,0), =(0,-3,- ),7 7设平面 PAD 的法向量为 n=(x,y,z),则 可得=0,=0, -3=0,-3- 7=0,令 y= ,可得一个法向量 n=(0, ,-3).7 7因为平面 ADC 的一个法向量为 =(0,0, ), 7所以二面角 P-AD-C 的余弦值为|cos|= . |-3774|=34所以二面角 P-AD-C 的正切值为 .73(3)由(2)中建立的空间直角坐标系可得 =(3,-3,- ),F(3,1,0),G(2,3,0),则 =(-1,2,0), 7 故 cos= .,-3-655=-9525所以直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为 .9525
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