1、24 正态分布1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 2.了解变量落在区间( ， ，( 2，2 ，( 3，3 的概率大小 3.会用正态分布去解决实际问题, 1正态曲线函数 ， (x) e ，x ( ，)，其中实数 和 (0)为参数， ， (x)12 （x ）222的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线2正态分布一般地，如果对于任何实数 a，b(ab) ，随机变量 X 满足 P(aXb) ， (x)dx，则称ba随机变量 X 服从正态分布正态分布完全由参数 和 确定，因此正态分布常记作N(， 2)，如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 XN ( ， 2)参数 是反映
2、随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计； 是衡量随机变量总体波动大小 的特征数，可以用样本的标准差去估计把 0， 1 的正态分布称为标准正态分布3正态曲线的性质正态曲线 ， (x) e ，xR 有以下性质：12 （x ）222(1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交(2)曲线是单峰的，它关于直线 x 对称(3)曲线在 x 处达到峰值 12(4)曲线与 x 轴之间的面积为 1(5)当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移，如图.(6)当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布
3、越 分散，如图 .4正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P( X )0.682_7；P(2X 2)0.954_5；P(3X 3)0.997_3判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)函数 ， (x)中参数 ， 的意义分别是样本的均值与方差( )(2)正态曲线是单峰的，其与 x 轴围成的面积是随参数 ， 的变化而变化的( )(3)正态曲线可以关于 y 轴对称( )答案：(1) (2) (3) 设随机变量 XN(， 2)，且 P(XC)P(XC)，则 C( )A0 BC D答案：D已知随机变量 X 服从正态分布 N(3， 2)，则 P(X3)( )A. B.15 14C. D.13 12答
4、案：D已知正态分布密度函数为 f(x) e ，x( ，) ，则该正态分布的均值为12 x24_，标准差为_答案：0 2探究点 1 正态分布密度曲线如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差【解】 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线 x20 对称，最大值为 ，12所以 20， ，12 12所以 .2于是 ， (x) e ，x(，) ，总体随机变量的期望是 20，方差是12 （x 20）242 ( )22. 2正态密度函数解析式的求法利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴 x，二是最值 ，这两点确定以后，相应
5、参数 ， 便确定了，代入便可求出相应的解析式 12若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 .142求该正态分布的概率密度函数的解析式解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，即 0.由于 ，得 4，12 124故该正态分布的概率密度函数的解析式是， (x) e ，x( ，) 142 x232探究点 2 利用正态分布的性质求概率设 XN(1，2 2)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5) 【解】 因为 XN(1，2 2)，所以 1，2.(1)P(1X3)P (12X12)P(X )0.682 7.(2)因为 P(3X5)P (3X1)
6、，所以 P(3X5) P(3X 5)P(1X3)12 P(14X14)P(1 2X12)12 P(2 X 2)P( X )12 (0.954 50.682 7)0.135 9.12变问法 在本例条件下，试求 P(X5)解：因为 P(X5)P(X3)，所以 P(X5) 1P(3 X5)12 1P (14 X14)12 1P (2X 2)12 (10.954 5)0.022 75. 12正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1.(2)熟记 P(X ) ，P( 2X2 )，P( 3X3)的值(3)注意概率值的求解转化：P(X a) 1P(Xa
7、) ；P(X a) P( X a) ；若 b，则 P(Xb) . 1 P（b X 2 b）21.已知随机变量 服从正态分布 N(2， 2)，且 P(4)0.2.由题意知图象(如图)的对称轴为直线 x2，P(4)0.2，所以 P(04)0.6.所以 P(0c1) P( 2)0.023，则 P(22) 等于( )A0.477 B0.628C0.954 D0.977解析：选 C.由题意可知随机变量 服从正态分布 N(0， 2)，所以图象关于 y 轴对称，又P(2)0.023，所以 P(22) 1P(2)P(2)0.954.3设 XN(5，1)，求 P(61)0.5，则实数 a 的值为( )A1 B.
8、 3C2 D4解析：选 A.因为随机变量 X 服从正态分布 N(a，4) ，所以 P(Xa)0.5.由 P(X1)0.5，可知 a1.2设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象，且 f(x) ， (x) e18，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )（x 10）28A10 与 8 B10 与 2C8 与 10 D2 与 10解析：选 B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值 10，方差 24，即 2.3已知随机变量 X 服从正态分布 N(3，1)，且 P(2X 4)0.682 7，则 P(X4)( )A0.158 8 B0.158 65C0.158 6 D0.158 5解析：选
9、 B.由于 X 服从正态分布 N(3，1)，故正态分布曲线的对称轴为 x3.所以 P(X4)P(X4) 1 P（2 X 4）2 1 0.682 720.158 65.4已知某批零件的长度误差(单位：毫米) 服从正态分布 N(0，3 2)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量 服从正态分布 N(， 2)，则 P( )68.27%，P (2 2 )95.45%.)A4.56% B13.59%C27.18% D31.74%解析：选 B.由正态分布的概率公式知 P(33)0.682 7，P(66) 0.954 5，故P(3 6) 0.135 913.59%，故选
10、 B.P（ 6 6） P（ 3 3）2 0.954 5 0.682 725(2018洛阳模拟)某班有 50 名学生，一次数学考试的成绩 X 服从正态分布 N(105，10 2)，已知 P(95X105)0.32，估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为( )A10 B9C8 D7解析：选 B.因为考试的成绩 X 服从正态分布 N(105，10 2)，所以正态曲线关于 x105 对称因为 P(95X 105)0.32 ，所以 P(X115) (10.322)0.18.所以该班学生数12学成绩在 115 分以上的人数为 0.18509.6设随机变量 N(2，2) ，则 D( )_12解析：因
11、为 N(2，2) ，所以 D()2.所以 D( ) D() 2 .12 122 14 12答案：127设随机变量 XN(4， 2)，且 P(4X8)0.3，则 P(X0)_解析：概率密度曲线关于直线 x4 对称，在 4 右边的概率为 0.5，在 0 左边的概率等于在8 右边的概率，即 0.50.30.2.答案：0.28在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N(1， 2)(0)若 X 在(0 ，1)内取值的概率为 0.4，则 X 在(0，2) 内取值的概率为 _解析：如图，易得 P(0X 1) P (1X2)，故 P(0X2)2P(0X1)20.40.8.答案：0.89在一次测试中，测试结果
12、 X 服从正态分布 N(2， 2)(0)，若 X 在(0，2) 内取值的概率为0.2，求：(1)X 在(0，4)内取值的概率；(2)P(X4)解：(1)由 XN(2 ， 2)，对称轴 x2，画出示意图，因为 P(04) 1P(04)( )13A. B.16 14C. D.13 12解析：选 A.因为随机变量 X 服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数 f(x) e12的图象，所以 2，即函数 f(x)的图象关于直线 x2 对称，因为Error!f( x)dx ， （x 2）22 13所以 P(04) ，所以 P(X4)13 13 12 P(22)p，则 P(074)；某班级共有 20 名同学参加此次学科知识竞赛，记 X 表示这 20 名同学中成绩超过 74 分的人数，利用的结果，求 E(X)附：若 ZN(， 2)，则 P(74) 0.158 65.1 P（60 14Z60 14）2由知，某位同学参加学科知识竞赛的成绩 Z 超过 74 分的概率为 0.158 65，依题意可知，XB(20 ，0.158 65)，所以 E(X)200.158 653.173.
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