1、12.2 组合第 1 课时 组合与组合数公式1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系 2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算 3.会解决一些简单的组合问题1组合的定义一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求 n 个元素是不同的； (2)“只取不排” ，即取出的 m 个元素与顺序无关 ，无序性是组合的特征性质 2组合数的概念、公式、性质组合数定义从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
2、 m 个元素的组合数表示法 Cmn乘积式C mnn（n 1）（n 2）（n m 1）m！组合数公式 阶乘式C mnn！m！ （n m）！性质 C ，C mn mn 1备注 n，mN *且 mn；规定：C 10n判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)从 a1，a 2，a 3 三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为 C .( )23(2)从 1，3，5，7 中任取两个数相乘可得 C 个积( )24(3)C 54360.( )35(4)C C 2 017.( )2 0167 12 017答案：(1) (2) (3) (4)若 A 8C ，则 n 的值为( )3n 2nA6
3、 B7C8 D9答案：A计算：(1)C _； (2)C _37 1820答案：(1)35 (2)190甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有_种解析：车票的票价有 C 3 种 23答案：3探究点 1 组合概念的理解判断下列问题是排列问题，还是组合问题(1)从 1，2，3，9 九个数字中任取 3 个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从 1，2，3，9 九个数字中任取 3 个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)5 个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(4)5 个人相互写一封信，共写了多少封信？【解】 (1)当取出 3 个数字后
4、，如果改变 3 个数字的顺序 ，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题(2)取出 3 个数字之后，无论怎样改变这 3 个数字的顺序， 其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别 ，为组合问题(4)发信人与收信人是有区别的，是排列问题判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化若有新变化
5、，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题 判断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的 4 张门票分给 5 个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从 2，3，5，7，11 这 5 个质数中，每次取 2 个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从 9 名学生中选出 4 名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？解：(1)是组合问题由于 4 张票是相同的( 都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从 5 人中选择哪 4 人，这和顺序无关(2)是排列问题，选出的 2 个数作分子或分母，结果是不同的 (3)是组合问
6、题，选出的 4 人无角色差异，不需要排列他们的顺序 探究点 2 组合数公式、性质的应用计算下列各式的值(1)3C 2C ；38 25(2)C C C C ；34 35 36 310(3)C C .5 nn 9 nn 1【解】 (1)3C 2C 3 2 148.38 25876321 5421(2)利用组合数的性质 C C C ，mn 1 mn m 1n则 C C C C34 35 36 310C C C C C4 34 35 310 4C C C C 45 35 310 4C 1329.411(3) 解得 4 n5.5 n n，5 n 0，9 n n 1，9 n 0， )又因为 nN *，所以
7、 n4 或 n5.当 n4 时，原式C C 5.14 5当 n5 时，原式C C 16.05 46变条件 若将本例(2)变为：C C C C C C ，如何求解？5 56 57 58 59 510解：原式(C C )C C C C6 56 57 58 59 510(C C )C C C 67 57 58 59 510C C C C610 510 611 511 462.111098754321关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用 C Cnn m mn 1 nn m （n 1）！m！ （n 1 m）！ n！m！ （n m）！进行计算mn(2)涉及字母的可以用阶乘式 C 计算mn
8、n！m！ （n m）！(3)计算时应注意利用组合数的性质 C C 简化运算 mn n mn1.C C C _58 981007解析：C C C C C 158 98100 7 38 2100 564 9505 006.876321 1009921答案：5 0062若 C C C C 363，则正整数 n_23 24 25 2n解析：由 C C C C 363，23 24 25 2n得 1C C C C 364，23 24 25 2n即 C C C C C 364.3 23 24 25 2n又 C C C ，则mn m 1n mn 1C C C C C C C C C C C C C C3 23
9、 24 25 2n 34 24 25 2n 35 25 26 2n 3n 1，所以 C 364，3n 1化简可得 364，（n 1）n（n 1）321又 n 是正整数，解得 n13.答案：133解方程：C C .3n 618 4n 218解：由原方程及组合数性质可知，3n64n2，或 3n618(4n2) ，所以 n2，或 n8，而当 n8 时，3n63018，不符合组合数定义，故舍去因此 n2.探究点 3 简单的组合问题现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名(1)现要从中选 2 名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出 2 名男教师或 2 名女教师参加会议，有多少种不同的选
10、法？(3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？【解】 (1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数 ，就是从 10 个不同元素中取出 2个元素的组合数，即 C 45 种21010921(2)可把问题分两类情况：第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C 种方法；26第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C 种方法24根据分类加法计数原理，共有 C C 15621 种不同选法 26 24(3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C 种，从 4 名女教师中选 2 名的选法有 C 种，根据分26 24步乘法计数原理，共有不同的选法 C C 90 种26 2465
11、21 4321变问法 本例其他条件不变，问题变为从中选 2 名教师参加会议，至少有 1 名男教师的选法是多少？最多有 1 名男教师的选法又是多少？解：至少有 1 名男教师可分两类：1 男 1 女有 C C 种， 2 男 0 女有 C 种16 14 26由分类加法计数原理知有 C C C 39 种16 14 26最多有 1 名男教师包括两类：1 男 1 女有 C C 种，0 男 2 女有 C 种16 14 24由分类加法计数原理知有 C C C 30 种16 14 24解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题 ，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出
12、元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用 注意 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏 某次足球比赛共 12 支球队参加，分三个阶段进行(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组 6 队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛( 每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负问全部赛程共需比赛多少场？解：小组赛中每组 6 队进行单循环比赛，就是每组 6 支球队的任两支球队都要比赛一次，所以小组赛共要比赛 2C 30(场)26半
13、决赛中甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛 2A 4(场)2决赛只需比赛 1 场，即可决出胜负所以全部赛程共需比赛 304135(场) 1下面几个问题属于组合的是( )由 1，2，3，4 构成双元素集合；5 支球队进行单循环足球比赛的分组情况；由 1，2，3 构成两位数的方法；由 1，2，3 组成无重复数字的两位数的方法A B C D解析：选 C.由集合元素的无序性可知 属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故是组合问题；中两位数顺序不同数字不同为排列问题2若 C C ，则 n 等于( )n12 2n 312A3
14、 B5 C3 或 5 D15解析：选 C.由组合数的性质得 n2n3 或 n2n312，解得 n3 或 n5，故选 C.310 个人分成甲、乙两组，甲组 4 人，乙组 6 人，则不同的分组种数为_(用数字作答)解析：从 10 人中任选出 4 人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 210 种分法410答案：2104计算下列各式的值(1)C C ；98100 199200(2)C C C C ；37 47 58 69(3)C C .38 n3n 3n21 n解：(1)C C C C 2005 150.98100 199200 2100 12001009921(2)C C C C C
15、 C C C C C C 210.37 47 58 69 48 58 69 59 69 610 410(3)因为 1 38 n 3n，1 3n 21 n， )即 所以 n .192 n 37，13 n 212， ) 192 212因为 nN *，所以 n10，所以 C C C C C C 466.38 n3n 3n21 n 2830 301 230 13知识结构 深化拓展1.排列与组合的相同点与不同点2.组合数的两个性质及其关注点性质 1：C C .mn n mn它反映了组合数的对称性若 m ，通常不n2直接计算 C ，而改为计算 C ，这样可以mn n mn减少计算量.性质 2：C C C
16、.mn 1 mn m 1n特点是左端下标为 n1，右端下标都为 n，相差 1；左端的上标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少 1.要注意性质 C C C 的顺用、逆mn 1 mn m 1n用、变形用.顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一” ；变形式 C C C 的m 1n mn 1 mn使用，为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活运用.名称 排列 组合相同点都是从 n 个不同元素中取m(mn )个元素，元素无重复不同点1.排列与顺序有关；2两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同1.组合与顺序无关；2两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同,
17、 A 基础达标1楼道里有 12 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏不相邻的灯，则关灯方案有( )A72 种 B84 种C120 种 D168 种解析：选 C.需关掉 3 盏不相邻的灯 ，即将这 3 盏灯插入 9 盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有 C 120(种)3102方程 C C 的解为( )x28 3x 828A4 或 9 B4C9 D5解析：选 A.当 x3x8 时，解得 x4；当 28x3x 8 时，解得 x9.3将 2 名女教师，4 名男教师分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由 1 名女教师和 2 名男教师组成，则不同的安排方案共有( )A24 种 B1
18、2 种C10 种 D9 种解析：选 B.第一步，为甲地选 1 名女老师，有 C 2 种选法；第二步 ，为甲地选 2 名男教12师，有 C 6 种选法；第三步 ，剩下的 3 名教师到乙地，故不同的安排方案共有2426112 种故选 B.4化简 C 2C C 等于( )978 968 958AC BC979 97100CC DC989 98100解析：选 B.由组合数的性质知 ，C 2C C978 968 958(C C )(C C )978 968 968 958C C C .979 969 971005男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，
19、其中女生有( )A2 人或 3 人 B3 人或 4 人C3 人 D4 人解析：选 A.设男生有 n 人， 则女生有(8 n)人，由题意可得 C C 30，解得 n5 或2n 18 nn6，代入验证，可知女生为 2 人或 3 人故选 A.6若 A 6C ，则 n 的值为_3n 4n解析：由题意知 n(n1)( n 2)6 ，n（n 1）（n 2）（n 3）4321化简得 1，所以 n7.n 34答案：77某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需 2 人参加，乙、丙各需 1 人参加，从 10人中选派 4 人参加这三个会议，不同的安排方法有_种解析：从 10 人中选派 4 人有 C 种方法，对选出的
20、 4 人具体安排会议有 C C 种方法，由410 24 12分步乘法计数原理知，不同的选派方法有 C C C 2 520 种410 24 12答案：2 5208若 C C C 345，则 nm _ m 1n mn m 1n解析：由题意知：由组合数公式得 3n 7m 3 0，9m 4n 5 0， )解得：n62，m27.nm622735.答案：359判断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果(1)10 名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(2)从 1，2，3，9 九个数字中任取 3 个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3)10 人聚会，见
21、面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？解：(1)与顺序无关是组合问题，共有 C 种不同分法510(2)大小顺序已确定，故是组合问题，构成三位数共有 C 个39(3)握手无先后顺序，故是组合问题，共需握手 C 次21010(1)解方程：C C A ；x 2 x 3 2110 3x 3(2)解不等式： .解：(1)原方程可化为 C A ，即 C A ，x 2 3110 3x 3 5x 3 110 3x 3所以 ，（x 3）！5！ （x 2）！ （x 3）！10x！所以 ，1120（x 2）！ 110x（x 1）（x 2）！所以 x2x120，解得 x 4 或 x3，经检验知，x4 是原方程
22、的解(2)通过将原不等式化简可以得到 6x（x 1）（x 2） 24x（x 1）（x 2）（x 3）.240x（x 1）（x 2）（x 3）（x 4）由 x5，得 x211x 120， 解得 5x12.因为 xN *，所以 x5，6，7，8，9，10，11 B 能力提升11式子 C C (mN *)的值的个数为( )m 210 17 m10A1 B2C3 D4解析：选 A.由 得 7m8，m 2 10，17 m 10， )所以 m7 或 8.当 m7 时，原式C C .910 10当 m8 时，原式C C ，10 910故原式的值只有一个12某班级有一个 7 人小组，现任选其中 3 人相互调整
23、座位，其余 4 人座位不变，则不同的调整方案有( )A35 种 B70 种C30 种 D65 种解析：选 B.先从 7 人中选出 3 人有 C 35 种情况，再对选出的 3 人相互调整座位，共有372 种情况，故不同的调整方案种数为 2C 70.3713一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球(1)从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1)从口袋内的 8 个球中取出 3 个球，取法种数是 C 56.38876321(2)从口袋内取出 3 个球，有 1
24、 个是黑球，于是还要从 7 个白球中再取出 2 个，取法种数是C 21.277621(3)由于所取出的 3 个球中不含黑球，也就是要从 7 个白球中取出 3 个球，取法种数是C Error!35.3714(选做题) 某足球赛共 32 支球队有幸参加，它们先分成 8 个小组进行循环赛，决出 16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级 16 强) ，这 16 支球队再分成 8 个小组决出 8 强，8 强再分成 4 个小组决出 4 强，4 强再分成 2 个小组决出 2 强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有 C 6 场，8 个小组共有 48 场；24(2)八分之一淘汰赛，8 个小组的第一、二名组成 16 强， 根据赛制规则，16 强分成 8 组，每组两个队比赛一场，可以决出 8 强，共有 8 场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8 强再分成 4 组，每组两个队比赛一次 ，可以决出 4强，共有 4 场；(4)半决赛，4 强再分成 2 组，每组两个队比赛一场，可以决出 2 强，共有 2 场；(5)决赛，2 强比赛 1 场确定冠、亚军，4 强中的另两支队比赛 1 场，决出第三、四名，共有 2 场综上，共有 48842264 场比赛
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