1、2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法1.了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.综合法和分析法综合法 分析法定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法框图表示 PQ1 Q1Q2Q2Q3 QnQ（P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论）QP1P1
2、P2P2P3eq x(得到一个明显（Q 表示要证明的结论）特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法1.综合法的特点综合法的特点是从“已知”看“未知” ，逐步推理，实际上是寻找使结论成立的必要条件. 2.综合法的书写格式从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知” ，由“推知”得“未知” ，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式，它的常见书面表达是“因为，所以”或“”.3.分析法的特点（1）分析法的特点是从“未知”看“需知” ，逐步靠拢“已知” ，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件.（2）分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等
3、.4.用分析法书写证明过程时的格式“要证，只需证，只需证，由于显然成立（已知，已证） ，所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.判断正误（正确的打“” ，错误的打“” ）（1）综合法是执果索因的逆推证法.（ ）（2）分析法就是从结论推向已知.（ ）（3）分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆.（ ）答案：（1） （2） （3）下面对命题“函数 f（x ）x 是奇函数”的证明不是用综合法的是（ ）1xA.xR 且 x0 有 f（x ）（ x） f （x ） ，所以 f（x）是奇函1 x (x 1x)数B.xR 且 x0 有 f（x ）f（x）x （x） 0，所以 f（x）1
4、x 1 xf （x） ，所以 f（x ）是奇函数C.xR 且 x0，因为 f（x ）0，所以 1，所以 f（x）f（ x）f（x） x 1xx 1xf （x） ，所以 f（x ）是奇函数D.取 x1，则 f（1）1 2，又 f（1）1 2，则 f（1）1 1 11f （1） ，所以 f（x）是奇函数解析：选 D.A，B，C 选项中的证明过程都是“由因导果” ，因此是综合法，而选项 D是特值法验证，并不能证明命题.用分析法证明：要证AB，只需证C6abc.【证明】 因为 a，b，c 是正数，所以 b2c 22bc ，所以 a（b 2c 2）2abc .同理，b（c 2a 2）2abc ，c（a
5、2b 2）2abc .因为 a，b，c 不全相等，所以 b2c 22bc ，c 2a 22 ca，a 2b 22ab 三式中不能同时取到“”.所以式相加得a（b 2c 2）b（c 2a 2）c （a 2b 2）6abc.综合法证明问题的步骤1.如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DCAC.（1）求证：DC平面 PAC；（2）求证：平面 PAB平面 PAC.证明：（1）因为 PC平面 ABCD，所以 PCDC.又因为 DCAC，且 PCACC ，所以 DC平面 PAC.（2）因为 ABDC，DCAC，所以 ABAC .因为 PC平面 ABCD，所以 PCAB.又因为 P
6、CACC，所以 AB平面 PAC.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAC.2.求证：sin（2）sin 2sin cos（ ）.证明：因为 sin（2）2sin cos（）sin（） 2sin cos（ ）sin（）cos cos（ ）sin 2sin cos（）sin（）cos cos（ ）sin sin（） sin .所以原命题成立.探究点 2 分析法的应用已知ABC 三边 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：B 为锐角.【证明】 要证 B 为锐角，根据余弦定理，只需证明 cos B 0，a2 c2 b22ac即证 a2c 2b 20.由于 a2c 2b 22ac b 2，要证
7、 a2c 2b 20，只需证 2acb 20.因为 a，b，c 的倒数成等差数列，所以 ，1a 1c 2b即 2acb（ac ）.要证 2acb 20，只需证 b（ac）b 20，即 b（acb）0，上述不等式显然成立，所以 B 为锐角.分析法证明数学问题的方法1.当 ab0 时，求证： （ab）.a2 b222证明：要证 （ab） ，a2 b222只需证（ ） 2 ，a2 b2 22（a b）2即证 a2b 2 （a 2b 22ab） ，12即证 a2b 22ab.因为 a2b 22ab 对一切实数恒成立，所以 （ab）成立.a2 b2222.已知非零向量 a，b，且 ab，求证： .|a|
8、 |b|a b| 2证明：aba b0，要证 ，|a| |b|a b| 2只需证|a| |b| |ab|，2只需证|a| 22|a|b|b| 22（ a22a bb 2） ，只需证|a| 22|a|b|b| 22a 2 2b2，只需证|a| 2|b| 22| a|b|0，即证（ |a| b|） 20，上式显然成立，故原不等式得证.探究点 3 分析综合法的应用ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，其对边分别为 a，b，c.求证：（ab） 1 （bc） 1 3（abc） 1 .【证明】 法一：要证（ab） 1 （bc） 13（abc） 1 ，即证 ，1a b 1b c 3a b c即证 3，
9、即证 1.a b ca b a b cb c ca b ab c只需证 c（bc ）a（ab）（ab） （bc ） ，只需证 c2a 2ac b 2.因为ABC 三个内角 A，B ，C 成等差数列，所以 B60.由余弦定理，有 b2c 2a 22cacos 60，即 b2c 2a 2ac ，c 2a 2 acb 2，此式即分析中欲证之等式，所以原式得证.法二：因为ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列，所以 B60 .由余弦定理，有 b2c 2a 22accos 60，得 c2a 2acb 2，两边同时加 abbc ，得c（bc）a（ab）（ab） （bc ） ，两边同时除以（ab） （bc
10、） ，得 1，ca b ab c所以 3，(ca b 1) ( ab c 1)所以 ，1a b 1b c 3a b c所以（ab） 1 （bc） 1 3（abc） 1 .分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推，分析法容易探路，综合法条理清晰，易于表达，但思路不太好想，因此在选择证明方法时，一定要有“综合性选取”意识，明确数学证明方法不是孤立的，应当善于将两种不同的证明方法结合在一起运用. 1.设 a，b（0，） ，且 ab，求证：a 3b 3a 2bab 2.证明：法一：（分析法）要证 a3b 3a 2bab 2 成立，即需证（ab） （a 2abb 2）ab（ab
11、）成立.又因 ab0，故只需证 a2abb 2ab 成立，即需证 a22abb 20 成立，即需证（ab） 20 成立.而依题设 ab，则（ab） 20 显然成立.由此不等式得证.法二：（综合法）abab0（ab） 20a 22abb 20a 2abb 2ab.因为 a0，b0，所以 ab0，所以（ab） （a 2abb 2）ab（ab）.所以 a3b 3a 2bab 2.2.在某两个正数 x，y 之间插入一个数 a，使 x，a，y 成等差数列，插入两数 b，c ，使x，b，c，y 成等比数列，求证：（a1） 2（b1） （c 1）.证明：由已知得 2a x y，b2 cx，c2 by，)所以
12、 x ，y ，b2c c2b即 xy ，b2c c2b从而 2a .b2c c2b要证（a1） 2（b1） （c1） ，只需证 a1 成立.（b 1）（c 1）只需证 a1 即可.（b 1） （c 1）2也就是证 2abc.而 2a ，b2c c2b则只需证 bc 成立即可，b2c c2b即证 b3c 3（bc ） （b 2bcc 2）（bc）bc，即证 b2c 2bcbc ，即证（bc） 20 成立，上式显然成立，所以（a1） 2（b1） （c1）.1.如图所示是解决数学问题的思维过程的流程图，则在此流程图中，两条流程线与“推理与证明”中的思维方式匹配正确的是（ ）A.综合法，分析法B.分析
13、法，综合法C.综合法，反证法D.分析法，反证法解析：选 A.由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故两条流程线对应的思维方式分别为综合法、分析法.2.命题“对于任意角 ，cos 4sin 4cos 2”的证明过程为：“cos4sin 4（cos 2sin 2） （cos 2sin 2）cos 2sin 2cos 2”，其应用了（ ）A.分析法 B.综合法C.综合法、分析法综合使用 D.类比法解析：选 B.从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路.3.设 a，b，c 成等比数列，而 x，y 分别是 a，b 和 b，c
14、的等差中项，求证： 2.ax cy证明：由题知 c ，x ，y ，b2a a b2 b c2则 ax cy aa b2 cb c2 2aa b 2cb c 2aa b2b2ab b2a 2，即 2.2aa b 2ba b ax cy知识结构 深化拓展对于一些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知” ，还是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难.为了保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法结合起来使用，形成了分析综合法.（1）思维模式（2）框图表示用 P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示所要证明的结论，则分析 综合法可用框图表
15、示.A 基础达标1.分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的（ ）A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.等价条件解析：选 A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件.2.要证：a 2b 21a 2b20，只要证明（ ）A.2ab1a 2b20B.a2b 21 0a2 b22C. 1a 2b20（a b）22D.（a 21） （b 21）0解析：选 D.要证：a 2b 21 a 2b20，只需证：a 2b2a 2b 210，只需证：（a 21） （b 21）0，故选 D.3.若 a，b，cR ，且 abbcca1，则下列不等式成立的是（ ）A.a2b 2c 24 B.（abc
16、） 23C.a2b 2c 2 3 D.（abc） 24解析：选 B.因为 a，b，c R，所以 a2b 22ab，b 2c 22bc，a 2c 22ac ，当且仅当 abc 时，等号同时成立，所以 a2b 2c 2abbc ac1，当且仅当 abc 时，等号成立，所以（abc） 2a 2b 2c 22ab2bc 2aca 2b 2c 223，当且仅当abc 时，等号成立.4.若 P ，Q （a0） ，则 P，Q 的大小关系是（ ）a a 7 a 3 a 4A.PQ B.PQC.P4，所以 Pa2abb 2 得（ab） 2ab，又因为 ab0，所以ab1 ，要证 ab0，所以只需证明 3（ab）
17、 20.因为 a，b 是不等正数，故（ab） 20 成立.故 ab0；|5 ；|2 ，|2 .2 2以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是 （用序号及“”表示） .解析：因为 0，| |2 ，|2 ，所以| |2 2 2288283225，2 2所以| |5.答案：13.如图，几何体 EABCD 是四棱锥，ABD 为正三角形，CB CD，ECBD.（1）求证：BEDE ；（2）若BCD120，M 为线段 AE 的中点，求证：DM平面 BEC.证明：（1）取 BD 的中点 O，连接 CO，EO，则由 CB CD 知，CO BD.又 ECBD，ECCOC，所以 BD平面
18、OCE，所以 BDEO ，又 O 为 BD 的中点，所以 BEDE.（2）取 AB 的中点 N，连接 MN，DN ，DM.因为 M，N 分别是 AE，AB 的中点，所以 MNBE .又 MN平面 BEC，BE 平面 BEC，所以 MN平面 BEC.因为ABD 为正三角形，所以 DNAB.由BCD120，CBCD 知，CBD30 ，所以ABC603090 ，即 BCAB，所以 DNBC.又 DN平面 BEC，BC平面 BEC，所以 DN平面 BEC.又 MNDNN，所以平面 MND平面 BEC，又 DM平面 MND，故 DM 平面 BEC.14.（选做题）设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知
19、 a11， a26，a 311，且（5n8）Sn1 （5n2）S nAnB，nN *，其中 A、B 为常数.（1）求 A 与 B 的值；（2）证明：数列a n为等差数列.解：（1）由已知得 S1a 11，S 2a 1a 27，S 3a 1a 2a 318.由（5n8）S n1 （5n2）S nAnB，得即 3S2 7S1 A B，2S3 12S2 2A B，) A B 28，2A B 48，)解得 A 20，B 8. )（2）证明：由第一问得（5n8）S n1 （5n2）S n20n8.所以（5n3）S n2 （5n7）S n1 20n28.，得（5n3）S n2 （10n1）S n1 （5n2）S n20.所以（5n2）S n3 （10n9）S n2 （5n7）S n1 20.，得（5n2）S n3 （15n6）S n2 （15n6）S n1 （5n2）S n0.因为 an1 S n1 S n，所以（5n2）a n3 （10n4）a n2 （5n2）a n1 0.因为 5n20，所以 an3 2a n2 a n1 0.所以 an3 a n2 a n2 a n1 ，nN *.又 a3a 2a 2a 15，所以数列a n为等差数列.
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