1、3.1.2 复数的几何意义1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.1.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的两种几何意义（1）复数 zabi（a，b R） 复平面内的点 Z（a，b）. 一 一 对 应 （2）复数 zabi（a，b R） 平面向量 . 一 一 对 应 OZ 3.复数的模复数 zabi（a，bR）对应的向量为 ，则 的模叫做复数 z 的模，记作|z| ，
2、且OZ OZ |z| .a2 b21.复平面、实轴、虚轴与复数的对应（1）复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 za bi（a，bR）可用点 Z（a，b）表示.（2）实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数.（3）虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（0，0） ，它所确定的复数是 z00i 0，表示的是实数. （4）复数与向量的对应：复数 zabi（a，bR）的对应向量是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与 相等的向量有无数个.OZ 2.对复数模的两点说明（1）数的角度理解：复数 abi（a
3、，bR）的模|abi| ，两个虚数不能比a2 b2较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.（2）几何角度理解：表示复数的点 Z 到原点的距离.|z 1z 2|表示复数 z1，z 2 对应的点之间的距离.判断正误（正确的打“” ，错误的打“” ）（1）原点是实轴和虚轴的交点.（ ）（2）实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数.（ ）（3）若|z 1| z2|，则 z1z 2.（ ）答案：（1） （2） （3）复数 z 2i 对应的点位于（ ）12A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：B复数 z13i 的模等于（ ）A.2 B.4C. D.210 2答案：C向量 （2，3）
4、对应的复数 z .AB 答案：23i探究点 1 复数与复平面内的点已知复数 z（a 21）（2a1）i，其中 aR.当复数 z 在复平面内对应的点 Z 满足下列条件时，求 a 的值（或取值范围）.（1）在实轴上；（2）在第三象限.【解】 （1）若对应的点在实轴上，则有2a10，解得 a .12（2）若 z 对应的点在第三象限，则有解得10，m 10，)解得2z2 B.z1|z2| D.|z1|0，则 z 在复12 32平面内对应的点一定在实轴上方，故选 C.5.已知复数 z 满足| z|23|z |20，则复数 z 对应点的轨迹是（ ）A.一个圆 B.两个圆C.两点 D.线段解析：选 B.由|
5、 z|23|z |20 ，得（|z|1）（|z|2）0，所以|z| 1 或|z|2.由复数模的几何意义知，z 对应点的轨迹是两个圆.6.已知复数 z12mi（mR） ，且|z|2，则实数 m 的取值范围是 .解析：|z| 2，解得 m .1 4m232 32答案： 32， 327.若复数 z 对应的点在直线 y2x 上，且| z| ，则复数 z .5解析：依题意可设复数 za2ai（aR） ，由|z| ，得 ，解得5 a2 4a2 5a1 ，故 z12i 或 z 12i.答案：12i 或12i8.若复数 z135i，z 21 i，z 32ai 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数 a .
6、解析：设复数 z1，z 2，z 3 分别对应点 P1（3，5） ，P 2（1，1） ，P 3（2，a） ，由已知可得 ，从而可得 a5. 5 13 1 a 1 2 1答案：59.已知 34ix yi（x ，yR） ，判断|1 5i|，|xyi|，| y2i| 的大小关系.解：由 34ix yi（x ，yR） ，得 x3，y4.而|1 5i| ，1 （ 5）2 26|x yi|3 4i| 5，32 42|y 2i|4 2i| ，（ 4）2 22 20因为 5 ，20 26所以|y2i|xyi|15i|.10.在复平面内，O 是原点，向量 对应的复数为 2i.OA （1）如果点 A 关于实轴的对称
7、点为点 B，求向量 对应的复数；OB （2）如果（1）中的点 B 关于虚轴的对称点为点 C，求点 C 对应的复数.解：（1）设向量 对应的复数为 z1x 1y 1i（x 1，y 1R） ，则点 B 的坐标为（x 1，y 1） ，OB 由题意可知，点 A 的坐标为（2，1）.根据对称性可知：x 12，y 11，故 z12i.（2）设点 C 对应的复数为 z2x 2y 2i（x 2，y 2R） ，则点 C 的坐标为（x 2，y 2） ，由对称性可知：x 22，y 21，故 z22i.B 能力提升11.已知复数 z 满足| z| 2，则| z34i|的最小值是（ ）A.5 B.2C.7 D.3解析：
8、选 D.|z|2 表示复数 z 在以原点为圆心，以 2 为半径的圆上，而 |z34i| 表示圆上的点到（3，4）这一点的距离，故|z34i|的最小值为 2523.（ 3）2 4212.在复平面内，O 为原点，向量 对应的复数为12i，若点 A 关于直线 yx 的OA 对称点为点 B，则向量 对应的复数为 .OB 解析：因为复数12i 对应的点为 A（1，2） ，点 A 关于直线 yx 的对称点为点B（2 ，1） ，所以 对应的复数为 2i.OB 答案：2i13.已知 O 为坐标原点， 对应的复数为 34i， 对应的复数为 2ai（aR）.OZ1 OZ2 若 与 共线，求 a 的值.OZ1 OZ
9、2 解：因为 对应的复数为34i ，OZ1 对应的复数为 2ai，OZ2 所以 （3，4） ， （2a，1）.OZ1 OZ2 因为 与 共线，所以存在实数 k 使 k ，OZ1 OZ2 OZ2 OZ1 即（2a，1）k（3，4）（3k，4k ） ，所以 ，所以 即 a 的值为 .2a 3k1 4k ) k 14，a 38.) 3814.（选做题）设 zC，则满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？|z| ；|z|3.2解：设 zxyi（x，y R） ，|z| ，所以 x2y 22，2所以点 Z 的集合是以原点为圆心，以 为半径的圆.2|z| 3，所以 x2y 29.所以点 Z 的集合是以原点为圆心，以 3 为半径的圆及其内部.
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