1、15 定积分的概念15.1 曲边梯形的面积15.2 汽车行驶的路程1.了解“以直代曲” “以不变代变”的思想方法 2.会求曲边梯形的面积和变速运动的物体行驶的路程1连续函数与曲边梯形(1)连续函数如果函数 yf(x )在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数(2)曲边梯形把由直线 xa，x b(ab)，y0 和曲线 yf (x)所围成的图形称为曲边梯形2曲边梯形的面积与变速直线运动的路程(1)求曲边梯形面积的步骤分割：如图，将a，b分割，等分成 n 个小区间每个小区间的长度为 x .b an近似代替：将所分的每一个小曲边梯形的面积用小矩形的面积 Si 近
2、似代替，其中 ix i1 ，x i求和：由知(2)如果物体做变速直线运动，速度函数为 vv(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在 atb 内所作的位移 s.求曲边梯形面积的“以直代曲”思想教材在求抛物线 yx 2 与直线 x1，y0 所围成的平面图形的面积时，用每个小区间左端点的函数值近似替代在该小区间上的函数值，由图可知 S 矩形 ABCD0)围成曲边梯形，将区间1x1，2进行 100 等分后第一个小区间上曲边梯形的面积是 _解析：将曲边梯形近似地看成矩形，其边长分别为 f(1)1， ，故面积11001 0.01.1100答案：0.012利用定积分的定义求由 y3
3、x，x 0，x1，y0 围成的图形的面积解：(1)分割：把区间0，1等分成 n 个小区间 (i1，2，n)，其长度为i 1n，inx .分别过上述 n1 个分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，其面积记1n为 Si(i1，2 ，n) (2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，得 Sif x3 (i 1n ) i 1n 1n(i1)( i1， 2，n)3n2(3)求和： Si= (i1)= 12(n1) .ni 1ni 13n2 3n2 32n 1n(4)求极限：S (i 1) .limn ni 13n2 lim n 32n 1n 32探究点 2 变速直线运动路程的求
4、法一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻 t 的速度为 v(t)t 25(t的单位：h，v 的单位：km/h) ，试计算这辆汽车在 0t 2 这段时间内汽车行驶的路程 s(单位：km) 【解】 (1)分割：在时间区间0 ，2上等间隔地插入(n1) 个分点，将区间分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为 (i1，2，n)，2（i 1）n ，2int ，把汽车在时间段 ， ， 上行驶的路程分2in 2（i 1）n 2n 0，2n 2n，4n 2（n 1）n ，2别记为 s1， s2， sn，则有 sn si.ni 1(2)近似代替：取 i (i1，2，n)，2insiv t (i1，2，n)
5、(2in) (2in)2 52n 4i2n22n 10n(3)求和：s n sini 1ni 1 10412n2 2n 422n2 2n 4n2n2 2n 122 2n 2108n3 108n3n（n 1）（2n 1）68 10.13(1 1n)(1 12n)(4)取极限：s sn .因此，行驶的路程为 km.limn 223 223求变速直线运动的路程的方法求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解求解过程为分割、近似代替、求和、取极限应特别注意变速直线运动的时间区间 汽车运动速度与时间的关系为 v(t)t 2，运动时间为 2 小时，将运动时
6、间区间分割为 200 等份，则汽车在第 i 个时间区间上的运动路程是_解析：在第 i 个区间上的运动速度为 ，运动时间为 ，所以路程(i100)21100si .(i100)21100 i21003答案：i210031将区间a，b等分成 n 份，则每个小区间的长度为( )A. B. C. D.1n an bn b an解析：选 D.因为原区间长度为 ba，将其等分成 n 份后，每一个小区间的长度均为.b an2. _ni 1in解析： (12n) .ni 1in 1n 1nn（n 1）2 n 12答案：n 123求由抛物线 f(x)x 2，直线 x1 以及 x 轴所围成的平面图形的面积时，若将
7、区间0，15 等分，如图所示，以小区间中点的函数值为高，所有小矩形的面积之和为_解析：由题意得S(0.1 20.3 20.5 20.7 20.9 2)0.20.33.答案：0.33知识结构 深化拓展求曲边梯形面积的注意点(1)在“近似代替”中，在每一个小区间 上i 1n ， in通常取一个端点的值代入计算，既可用每个区间的右端点的函数值，也可用左端点的函数值，这样做是为了计算简便(2)当 f(i)为负值时，取|f( i)|为一边构造小矩形(3)求和时可用到一些常见的求和公式，如：123n ，1 22 23 2n 2n（n 1）2，1 32 33 3n 3 .n（n 1）（2n 1）6 n（n
8、1）2 2注意 用“以直代曲”的方法求曲边梯形的面积，就是利用求直角梯形的面积公式求解.A 基础达标1在“近似代替”中，函数 f(x)在区间x i，x i1 上的近似值( )A只能是区间左端点的函数值 f(xi)B只能是区间右端点的函数值 f(xi1 )C可以是该区间内任一点的函数值D以上答案均正确解析：选 C.作近似计算时，xx i1 x i 很小，所以在区间x i，x i1 上，可以认为函数 f(x)的值变化很小，近似地等于一个常数，所以 f(x)在区间x i，x i1 上的近似值可以是区间x i，x i1 上任一点的函数值2设函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax 0x1xi1
9、xixnb，把区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间x i1 ，x i上任取一点 i(i1，2，n) ，作和式Snf(i)x( 其中 x 为小区间的长度)，那么 Sn 的大小( )n i 1A与 f(x)、区间a，b有关，与分点的个数 n 和 i 的取法无关B与 f(x)、区间 a，b和分点的个数 n 有关，与 i 的取法无关C与 f(x)、区间 a，b、分点的个数 n 和 i 的取法都有关D与 f(x)、区间a，b和 i 的取法有关，与分点的个数 n 无关解析：选 C.因为 Sn f(i)x f(i) ，所以 Sn 的大小与 f(x)、区间、分点的n i 1 n i 1 b an个数和
10、变量的取法都有关故选 C.3求由直线 x0，x 2，y 0 与曲线 yx 21 所围成的曲边梯形的面积时，将区间0，25 等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为( )A3.92，5.52 B4，5C2.51，3.92 D5.25 ，3.59解析：选 A.将区间0，25 等分为 ， ， ， ， ，以小区间左端点0，25 25，45 45，65 65，85 85，2对应的函数值为高，得S1 1 (25)2 1 (45)2 1 (65)2 1 (85)2 1 3.92，25以小区间右端点对应的函数值为高，得S2 (25)2 1 (45)2 1 (65)2 1 (85)2 1 )Error!
11、5.52.故选 A.254在求由曲线 y 与直线 x1，x 3，y0 所围成图形的面积时，若将区间 n 等分，1x并且用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第 i 个小曲边梯形的面积 S i 约等于( )A. B.2n 2i 2n 2i 2C. D.2n（n 2i） 1n 2i解析：选 A.每个小区间长度为 ，第 i 个小区间为 ，因此第 i 个小2n n 2（i 1）n ，n 2in 曲边梯形的面积 Si .1n 2in 2n 2n 2i5若做变速直线运动的物体 v(t)t 2，在 0t a 内经过的路程为 9，则 a 的值为( )A1 B2C3 D4解析：选 C.将区间0，an 等分，记第
12、 i 个区间为 (i1，2，n)，此区a（i 1）n ，ain间长为 ，用小矩形面积 近似代替相应的小曲边梯形的面积，an (ain)2an则 (122 2n 2)ni 1(ain)2 an a3n3近似地等于速度曲线 v(t)t 2 与直线 t0，ta，t 轴围成的曲边梯形a33(1 1n)(1 12n)的面积依题意得 9，limn a33(1 1n)(1 12n)所以 9，解得 a3.a336在区间0，8上插入 9 个等分点后，则所分的小区间长度为 _，第 5 个小区间是_解析：在区间0，8上插入 9 个等分点后，把区间0，810 等分，每个小区间的长度为 ，第 5 个小区间为 .810
13、45 165，4答案： 45 165， 47对于由直线 x1，y 0 和曲线 yx 3 所围成的曲边三角形，把区间 3 等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点 )是_解析：将区间0，1三等分为 ， ， ，各小矩形的面积和为 S10 3 0，13 13，23 23，1 13 (13)3 .13 (23)313 19答案：198求由曲线 y x2 与直线 x1，x2，y0 所围成的平面图形的面积时，把区间121，25 等分，则该平面图形面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_解析：将区间1，25 等分，所得的小区间分别为1， ， ， ， ， ， ， ，65 65 75 75 85 85
14、 95 ，2，于是所求平面图形面积的近似值为 (1 ) 1.02.95 110 3625 4925 6425 8125 110 25525答案：1.029利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数 y1x，x1，x2 的图象与x 轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证解：f(x )1x 在区间1 ，2 上连续，将区间1，2分成 n 等份，则每个区间的长度为xi ，在x i1 ，x i 上取 ix i1 1 (i1，2，3，n)，于是1n 1 i 1n，1 in i 1nf(i)f(x i1 )11 2 ，从而i 1n i 1n n 012(n 1)2 2n 1n2 1n2n（n 1）2
15、2 .（n 1）2n 52 12n则 S Sn .limn lim n lim n lim n (52 12n) 52如下进行验证：如图所示，由梯形的面积公式得：S (23) 1 .12 5210一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻 t 的速度 v(t) (t 的单位：h，v 的单6t2位：km/h) ，求汽车在 t1 到 t2 这段时间内运动的路程 s(单位：km)解：(1)分割把区间1，2 等分成 n 个小区间 (i1，2，n)，每个区间的长度n i 1n ，n in t ，每个时间段行驶的路程记为 si(i1，2，n) 1n故路程和 sn si.ni 1(2)近似代替siv t6 (n
16、i 1n ) ( nn i 1)21n 6(1 i 1n )2 1n 6n（n i 1）2 (i1，2，3，n)6n（n i 1）（n i）(3)求和snni 1 6n（n i 1）（n i）6n (1n 1n 1 1n 1 1n 2 12n 1 12n)6n .(1n 12n)(4)取极限s sn 6n 3.limn lim n lim n lim n (1n 12n)B 能力提升11在等分区间的情况下，f(x) (x0，2) 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积和式11 x2的极限形式正确的是( )A. limn lim n ni 111 (in)2 2nB. limn lim n ni 11
17、1 (2in)2 2nC. limn lim n ni 1 11 i21nD. limn lim n ni 111 (in)2 n解析：选 B.将区间 n 等分后，每个小区间的长度为 x ，第 i 个小区间为2n(i 1，2，3，n) ，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式2（i 1）n ，2in的极限形式为.limn lim n ni 111 (2in)2 2n12设函数 f(x)的图象与直线 xa，xb 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在a，b上的面积已知函数 ysin nx 在 (nN *)上的面积为 ，则 ysin 3x 在 上0，n 2n 0，23的面积为_解
18、析：由于 ysin nx 在 (nN *)上的面积为 ，则 ysin 3x 在 上的面积为 .0，n 2n 0，3 23而 ysin 3x 的周期为 ，所以 ysin 3x 在 上的面积为 2 .23 0，23 23 43答案：4313某物体在笔直的道路上做变速直线运动，设该物体在时刻 t 的速度为 v(t)7t 2(单位：km/h)，试计算这个物体在 0t1(单位：h)这段时间内运动的路程 s(单位：km)解：将区间0，1进行 n 等分，得到 n 个小区间： ， ， ，0，1n 1n，2n i 1n，in.n 1n ，1即 i (i1， 2，n) ，则物体的每个时间段内运动的路程insiv(
19、i)t ，i1，2，n.1n(7 i2n2)sn sini 1 1n(7 1n2 7 22n2 7 n2n2)1n7n n（n 1）（2n 1）6n2 7 .16(1 1n)(2 1n)于是 s sn .limn lim n lim n lim n 7 16(1 1n)(2 1n) 203所以这个物体在 0t1 这段时间内运动的路程为 km.20314(选做题) 如图所示，求直线 x0，x 3，y0 与二次函数 f(x)x 22x3 所围成的曲边梯形的面积解：(1)如图，分割，将区间0 ，3n 等分，则每个小区间 (i1，2，n)3（i 1）n ，3in的长度为 x .分别过各分点作 x 轴的
20、垂线，把原曲边梯形分成 n 个小曲边梯形3n(2)近似代替以每个小区间的左端点函数值为高作 n 个小矩形则当 n 很大时，用 n 个小矩形面积之和 Sn 近似代替曲边梯形的面积 S.(3)求和Sn xni 1f(3（i 1）n ) ni 1 9（i 1）2n2 23（i 1）n 3 3n 122 2(n1) 2 123(n1) 927n3 18n2 (n1)n(2 n1) 927n3 16 18n2 n（n 1）29 9 9.(1 1n)(1 12n) (1 1n)(4)取极限S Sn limn lim n 9(1 1n)(1 12n) 9(1 1n) 99(10)(1 0)9(10)99.即所求曲边梯形面积为 9.
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