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    2019人教A版数学选修2-2学案:2.1.2演绎推理

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    2019人教A版数学选修2-2学案:2.1.2演绎推理

    1、2.1.2 演绎推理1.理解演绎推理的意义. 2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.1.演绎推理含义 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理特点 由一般到特殊的推理2.三段论一般模式 常用格式大前提 已知的一般原理 M 是 P小前提 所研究的特殊情况 S 是 M结论 根据一般原理,对特殊情况 做出的判断 S 是 P1.演绎推理的特点(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是

    2、正确的.2.为了方便,在运用“三段论”推理时,常常采用省略大前提的表达方式.对于复杂的论证,总是采用一连串的“三段论” ,把前一个“三段论”的结论作为下一个“三段论”的前提. 3.“三段论”推理的结论正确与否,取决于两个前提以及推理形式是否正确.在大前提、小前提及推理形式都正确的情况下,得到的结论一定正确.判断正误(正确的打“” ,错误的打“” )(1) “三段论”就是演绎推理.( )(2)演绎推理的结论一定是正确的.( )(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.( )(4)演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.( )答案:(1) (2) (3) (4)“所有金属都能导电

    3、,铁是金属,所以铁能导电”这种推理属于( )A.演绎推理 B.类比推理C.合情推理 D.归纳推理解析:选 A.“所有金属都能导电 ”及“铁是金属”均为前提条件,得出“铁能导电”的结论,满足演绎推理的定义.“因为四边形 ABCD 是矩形,所以四边形 ABCD 的对角线相等” ,该推理的大前提是( )A.矩形都是四边形B.四边形的对角线都相等C.矩形的对角线相等D.对角线都相等的四边形是矩形解析:选 C.该推理是省略大前提的演绎推理,因为相关的内容是“矩形” “对角线相等” ,所以易得该推理的大前提是矩形的对角线相等.正弦函数是奇函数,f(x)sin x2 是正弦函数,所以 f(x)sin x2

    4、是奇函数,以上“三段论”中的 是错误的.答案:小前提探究点 1 用三段论的形式表示演绎推理将下列演绎推理写成三段论的形式.(1 )等腰三角形的两底角相等,A,B 是等腰三角形的底角,则AB.(2 )通项公式为 an2n3 的数列 an为等差数列.【解】 (1)等腰三角形的两底角相等,大前提 A ,B 是等腰三角形的底角,小前提AB .结论(2 )数列a n中,如果当 n2 时,a na n1 为常数,则a n为等差数列,大前提通项公式为 an2n3 时,若 n2,则 ana n1 2n32(n1)3 2(常数) ,小前提通项公式为 an2n3 的数列a n为等差数列. 结论将演绎推理写成三段论

    5、的方法(1)用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提.(2)用三段论写推理过程中,有时可省略小前提,有时甚至也可将大前提与小前提都省略.(3)在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提. 1.“所有 9 的倍数都是 3 的倍数,某奇数是 9 的倍数,故该奇数是 3 的倍数.”上述推理( )A.小前提错 B.结论错C.正确 D.大前提错解析:选 C.在上述推理中,大前提、小前提都是正确的,推理的形式也符合三段论模式,因此结论也是正确的,这个推理是正确的.2.将下列演绎推理写成“三段论”的形式:(1)一切偶数都能被 2 整除,0 是偶数,所以 0 能被 2 整除;(2)三角形的内角和

    6、是 180,等边三角形是三角形,故等边三角形的内角和是180;(3)循环小数是有理数,0.332,是循环小数,所以 0.332,是有理数.解:(1)一切偶数都能被 2 整除, 大前提0 是偶数, 小前提所以 0 能被 2 整除. 结论(2)三角形的内角和是 180, 大前提等边三角形是三角形, 小前提故等边三角形的内角和是 180. 结论(3)循环小数是有理数, 大前提0.332,是循环小数, 小前提所以 0.332,是有理数. 结论探究点 2 演绎推理在证明代数中的应用已知函数 f(x )a x (a1) ,求证:函数 f(x )在(1,)上为x 2x 1增函数.【证明】 如果在(1,)上

    7、f(x )0,那么函数 f(x)在( 1,)上是增函数,大前提因为 a1,所以 f(x)a xln a 0,小前提3(x 1)2所以函数 f(x)在( 1,)上为增函数.结论(1)数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理,即一连串的三段论,关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提,注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.(2)在代数证明问题中,尤其是不等关系的证明,首先找到论证不等关系的一般性原理(如基本不等式等) ,这是大前提,然后利用“三段论”进行推理.此时应注意不等式性质及定理成立的条件.在锐角三角形 ABC 中,求证 sin Asin Bsin C cos Acos Bcos C.证

    8、明:因为在锐角三角形中, AB ,所以 A B,2 2所以 0 BA .又因为在 内,正弦函数是单调递增函数,所以 sin Asin2 2 (0,2)cos B,即 sin Acos B, 同理,sin Bcos C, sin Ccos A.(2 B)以上两端分别相加,有 sin Asin Bsin C cos Acos Bcos C.探究点 3 演绎推理在证明几何中的应用如图,D,E,F 分别是 ABC 中 BC,CA ,AB 边上的点,BFDA, DEBA,求证:EDAF,写出三段论形式的演绎推理.【证明】 因为同位角相等,两条直线平行, 大前提BFD 与A 是同位角,且BFDA, 小前提

    9、所以 FDAE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,大前提DEBA,且 FDAE, 小前提所以四边形 AFDE 为平行四边形. 结论因为平行四边形的对边相等, 大前提ED 和 AF 为平行四边形 AFDE 的对边, 小前提所以 EDAF. 结论若本例中增加条件“C A”,证明:BFD BDF.证明:因为同位角相等,两直线平行, 大前提BFD 与A 是同位角,且BFDA, 小前提所以 FDAE. 结论因为两直线平行,同位角相等, 大前提FDAE,且BDF 与C 是同位角, 小前提所以BDFC. 结论又因为CA, BFDA 小前提所以BFDBDF . 结论用三段论证明几何问题的一般步骤

    10、(1)理清楚证明命题的一般思路.(2)找出每一个结论得出的原因.(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.即在几何证明问题中,每一步实际都含着一般性原理,都可以分析出大前提和小前提.把一般性原理应用于特殊情况,从而得到结论. 在梯形 ABCD 中,ABDCDA,AC 和 BD 是梯形的对角线.求证:CA 平分BCD,BD 平分ABC .证明:如图,因为等腰三角形两底角相等, 大前提ADC 是等腰三角形,1 和2 是两个底角,小前提所以12. 结论因为两条平行线被第三条直线截得的内错角相等,大前提1 和3 是平行线 AD,BC 被 AC 截得的内错角,小前提所以13. 结论因为等于同一个角

    11、的两个角相等, 大前提21,31, 小前提所以23,即 CA 平分 BCD. 结论同理可证 BD 平分ABC.1.命题“有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( )A.使用了“三段论” ,但大前提错误B.使用了“三段论” ,但小前提错误C.使用了归纳推理D.使用了类比推理解析:选 A.大前提是全称命题,而小前提是特称命题 .因此命题的推理过程是“由一般到特殊” ,是演绎推理,且是“三段论”的形式.有理数包括有限小数,无限循环小数,以及整数,所以命题中大前提是错误的,从而导致推理错误.2.下列四种推理是合情推理的是( )已知两条直线平行同旁内角互补

    12、,如果 和 是两条平行直线被第三条直线截得的同旁内角,那么 180 ;由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质;数列a n中,由 an2n1(nN *)推出 a1019;由数列 1,0,1,0,推测出通项公式 an (1) n1 (nN *).12 12A. B.C. D.解析:选 B.是由一般到特殊的推理,是演绎推理;是由特殊(平面三角形的性质)到特殊(空间四面体的性质)的推理,是类比推理;是由数列前几项猜测通项 an,是由个别到一般的推理,是归纳推理.故是合情推理.3.下列三句话按“三段论”模式排列顺序为 .ycos x(x R)是三角函数;三角函数是周期函数;ycos x(x R)是周期

    13、函数.答案:4.已知数列a n满足 a11,a 23,a n2 3a n1 2a n(n N *).(1)证明:数列a n1 a n是等比数列;(2)求数列a n的通项公式.解:(1)证明:因为 an2 3a n1 2a n,所以 an2 a n1 2a n1 2a n2(a n1 a n) ,所以 2(nN *)an 2 an 1an 1 an而 a2a 12.所以数列a n1 a n是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.(2)由(1)得 an1 a n2 n(nN *).所以 an(a na n1 )(a n1 a n2 )(a 2a 1)a 12 n1 2 n2 212 n1(nN *

    14、).知识结构 深化拓展A 基础达标1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.两条直线平行,同位角相等,因为 A 和B 是两条平行直线被同一条直线所截形成的同位角,所以ABB.我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似,而中亚细亚有丰富的石油,由此,他推断松辽地区也蕴藏着丰富的石油C.由 633,835,10 37,1257,1477,得出结论:一个偶数(大于 4)可以写成两个素数的和D.在数列a n中, a11,a n (n2) ,由此归纳出数列a n的通项公12(an 1 1an 1)式解析:选 A.A 中,由一般结论“两条直线平行,同位角相等 ”推出特例“AB”是演绎推理

    15、;B、C、D 中,均是由特殊到一般或特殊的推理,是合情推理.2.“对于三条直线 a,b,c,可由 ab,ac 推得 bc ”,则以下说法正确的是( )A.三条直线 a,b,c 是大前提B.ab 是大前提C.ab,ac 是小前提D.以上说法都不正确解析:选 C.推理的大前提是:若两条直线都平行于第三条直线,则这两条直线平行;小前提是:三条直线 a,b,c,a b,a c;结论是:bc .3.“三角函数是周期函数,ytan x,x 是三角函数,所以 ytan x,x( 2,2)是周期函数.”在以上演绎推理中,下列说法正确的是( )( 2,2)A.推理完全正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.推理

    16、形式不正确解析:选 C.y tan x,x 只是三角函数的一部分,并不能代表一般的三角函数,( 2,2)所以小前提错误,导致整个推理结论错误.4.(2017高考全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有 2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析:选 D.依题意,四人中有 2 位优秀,2 位良好,由于甲知道乙、丙的成绩,但还是不知道自己的成绩,则乙、

    17、丙必有 1 位优秀,1 位良好,甲、丁必有 1 位优秀,1 位良好,因此,乙知道丙的成绩后,必然知道自己的成绩;丁知道甲的成绩后,必然知道自己的成绩,因此选择 D.5.我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d的一个近似公式 d ,人们还用过一些类似的近似公式,根据 3.141 59判断,3163V下列近似公式中最精确的一个是( )A.d B.d36031V 32VC.d D.d 3158V 32111V解析:选 D.由 V ,解得 d ,代入选项 A 得 3.1;代43(d2)336

    18、V 31660入选项 B 得 3;代入选项 C 得 3.2; 代入选项 D 得62 6815 3.142 857.由于选项 D 中的值最接近 的真实值,故选 D.116216.求函数 y 的定义域时,第一步推理中大前提是 有意义,即 a0,小前log2x 2 a提是 有意义,结论是 .log2x 2解析:由三段论的形式可知,结论是 log2x20.答案:log 2x2 07.以下推理过程省略的大前提为: .因为 a2b 22ab,所以 2(a 2b 2)a 2b 22ab.解析:由小前提和结论可知,是在小前提的两边同时加上了 a2b 2,故大前提为:若ab,则 ac bc .答案:若 ab,则

    19、 acbc8.已知函数 f(x )a ,若 f(x)为奇函数,则 a .12x 1解析:因为奇函数 f(x )在 x0 处有意义,则 f(0)0,而奇函数 f(x )a的定义域为 R,所以 f(0)a 0,所以 a .12x 1 120 1 12答案:129.把下列演绎推理写成三段论的形式.(1)一切奇数都不能被 2 整除, (2 2 0171)是奇数,所以(2 2 0171)不能被 2 整除.(2)因为ABC 三边的长依次为 3,4,5,所以ABC 是直角三角形.解:(1)一切奇数都不能被 2 整除,大前提22 0171 是奇数,小前提22 0171 不能被 2 整除.结论(2)一条边的平方

    20、等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形,大前提ABC 三边的长依次为 3,4,5,且 324 25 2,小前提ABC 是直角三角形.结论10.在数列a n中,a 12,a n1 4a n3n1,nN *.(1)证明:数列a nn是等比数列.(2)求数列a n的前 n 项和 Sn.解:(1)证明:因为 an1 4a n3n1,所以 an1 (n1)4(a nn) ,nN *.又 a111,所以数列a n n是首项为 1,公比为 4 的等比数列 .(2)由第一问可知 ann4 n1 ,所以 an4 n1 n.所以数列a n的前 n 项和 Sn .4n 13 n(n 1)2B 能力提升11.袋中装

    21、有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析:选 B.若袋中有两个球,则红球、黑球各一个,若红球放在甲盒,则黑球放在乙盒,丙盒中没有球,此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球,乙盒中黑球比丙盒中红球多,故可排除 A、D;若袋中有四个球,则红球、黑球各两个,若取出两个红球,则一个放在甲盒,另一个放在乙盒,再取出余下

    22、的两个黑球,一个放在甲盒,一个放在丙盒,所以甲盒中一红一黑,乙盒中一个红球,丙盒中一个黑球,此时乙盒中红球比丙盒中红球多,排除 C.12.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛,有两人获奖.比赛结果揭晓之前,四个人作了如下猜测:甲:两名获奖者在乙、丙、丁中;乙:我没有获奖,丙获奖了;丙:甲、丁中有且只有一个获奖;丁:乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两个获奖者是 .解析:若乙和丁的猜测同时正确,则甲和丙的猜测是错误的,可得乙没有获奖,丙获奖,则甲和丁中有一个获奖,这与“丙的猜测是错误的”相矛盾;因此乙和丁的猜测同时错误,甲和丙的猜测同时正确,故乙和丁获奖.答案:乙和丁13.如图所示

    23、,在锐角三角形 ABC 中,AD BC 于点D,BE AC 于点 E,D、E 是垂足,求证:(1)ABD 是直角三角形;(2)AB 的中点 M 到 D、E 的距离相等 .证明:(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, 大前提又因为在ABC 中,AD BC,即 ADB 90,小前提所以ABD 是直角三角形. 结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提而 M 是 RtABD 斜边 AB 的中点,DM 是斜边上的中线, 小前提所以 DM AB. 结论12同理,EM AB.12因为等于同一个量的两个量相等, 大前提又因为 DM AB,EM AB 小前提12 12所以 DMEM,

    24、即 M 到 D、E 的距离相等. 结论14.(选做题)已知 a,b,c 是实数,函数 f(x)ax 2bxc,g(x)ax b.当1x1 时, |f(x )| 1.(1)求证:|c|1;(2)当1x1 时,求证:2g(x)2.证明:(1)因为 x0 满足1x1 的条件,所以|f( 0)| 1.而 f(0)c,所以|c| 1.(2)当 a0 时,g(x)在 1,1 上是增函数,所以 g(1)g(x)g(1).又 g(1)abf(1)c,g(1)abf( 1)c ,所以f(1)c g(x)f(1)c ,又1f(1)1,1 f(1)1,1c1,所以f(1)c 2,f(1)c2,所以2g(x)2.当 a0 时,可用类似的方法,证得2g(x)2.当 a0 时,g(x)b,f(x)bxc,g(x)f(1) c,所以2g(x)2.综上所述,2g(x)2.


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