1、12.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1.理解函数的和、差、积、商的求导法则 2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数3能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导1导数的运算法则设两个函数分别为 f(x)和 g(x)两个函数的和的导数f(x)g(x) f (x)g(x)两个函数的差的导数f(x)g(x) f (x)g(x)两个函数的积的导数f(x)g(x)f(x )g(x)f(x)g(x)两个函数的商的导数f（x）g（x） f （x）g（x） f（x）g（x）g（x）2(g(x)0)2.复合函数复合函数的概念一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x) ，如果通过变
2、量 u，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数 yf (u)和 ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)复合函数的求导法则复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf (u)，ug( x)的导数间的关系为yxy uu x，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积1.对导数运算法则的理解(1)导数的加(减 )法法则推广：即u( x)v(x)w(x)u(x)v(x )w(x) (2)函数积的求导法则特例：当 g(x)c 时，cf(x)cf(x)(c 为常数)； af(x)bg(x )af( x)bg(x)( a，b 为常数) (3)函数商的导数： Error
3、! ，当 f(x)1 时，f（x）g（x） f （x）g（x）Error! Error! .f（x）g（x） 1g（x） g （x）g（x）2(4)复合函数的求导：只研究 yf(axb)型的复合函数的求导2复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1) e x.( )(ex cos 4)(2)函数 f(x)sin( x)的导数为 f(x)cos x( )(3)ycos 3x 由函数 ycos u， u3x 复合而成( )答案：(1) (2) (3) 已知函数 f(x)cos xln x，则 f(1)的值为( )A1
4、sin 1 B1sin 1Csin 11 Dsin 1解析：选 A.因为 f(x)cos x ln x，所以 f(x)sin x ，所以 f(1)1sin 1.1x函数 ysin xcos x 的导数是 ( )Aycos 2xsin 2xBycos 2x sin2xCy2cos xsin xDycos xsin x解析：选 B.因为 ysin x cos x，所以 y(sin x cos x)(sin x)cos xsin x (cos x)cos 2xsin 2x.若 f(x) ，则 f(x)_xex解析：f(x) .ex xex（ex）2 1 xex答案：1 xex探究点 1 利用导数运算
5、法则求导数求下列函数的导数(1)y3x 2xcos x ；(2)ylg x ；1x2(3)y(x 23)(e xln x )；(4)ysin 4 cos 4 .x x【解】 (1)y6xcos xx(cos x)6xcos xx sin x.(2)y(lg x) (x 2 ) .1xln 10 2x3(3)y( x23)(e xln x)(x 2 3)(exln x)2x(e xln x)(x 23) (ex 1x)e x(x22x3)2xln x x .3x(4)因为 y 2sin 2 cos2(sin2x4 cos2x4)2 x4 x41 sin212 x1 12 1 cos x2 cos
6、 x，34 14所以 y sin x.(34 14cos x) 14利用导数运算法则求导数的求解策略(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则基本公式(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导 1.设 f(5)5，f (5) 3，g(5)4，g(5)1，当 h(x)满足下列条件时，求 h(5)，h(5)的值(1)h(x)3f(x) 2g( x)；(2)h(x)f
7、(x) g(x)1；(3)h(x) .f（x） 2g（x）解：(1)h(5)3f(5) 2g(5) 352423.因为 h(x)3f(x )2g(x )，所以 h(5)3f(5)2g(5)332111.(2)h(5)f(5)g(5)154121.因为 h(x)f(x)g(x)f(x)g(x )，所以 h(5)f(5)g(5) f(5) g(5)345117.(3)h(5) .f（5） 2g（5） 5 24 74因为 h(x) ，f（x）g（x） f（x） 2g（x）g（x）2所以 h(5)f（5）g（5） f（5） 2g（5）g（5）2 .34 （5 2）142 5162求下列函数的导数：(1
8、)ye xcos x；(2)yx 2tan x ；(3)y2x 3 cos x.3x解：(1)因为 ye xcos x，所以 y(e x)cos xe x(cos x)e xcos xe xsin x.(2)因为 yx 2 ，sin xcos x所以 y( x2) 2x 2x .(sin xcos x) cos2x sin x（ sin x）cos2x 1cos2x(3)y2(x 3)( )(cos x )6x 2 sin x.3x133x2探究点 2 求复合函数的导数求下列函数的导数：(1)y ；1（1 3x）4(2)ycos x 2；(3)ysin ；(2x 3)(4)y .1 x2【解】
9、 (1)令 u13x，则 y u 4 ，1u4所以 yu4u 5 ，u x3.所以 yxy uux12u 5 .12（1 3x）5(2)令 ux 2，则 ycos u，所以 yxy uuxsin u2x 2xsin x2.(3)令 u2x ，则 ysin u，3所以 yxy uuxcos u22cos .(2x 3)(4)令 u1x 2，则 yu ，12 所以 yxy uux u 2x12 12 xu .12 x1 x2对复合函数求导的步骤求下列函数的导数(1)y(x 24) 2；(2)ylog 2(2x2 3x1)；(3)ye sin(axb)解：(1)y2(x 24)( x24) 2( x
10、24)2 x4x 316x.(2)ylog 2(2x23x1) (2x23x1)1（2x2 3x 1）ln 2 .4x 3（2x2 3x 1）ln 2(3)ye sin(axb )e sin(axb) sin(axb)e sin(axb) cos(axb)(ax b)acos(axb)e sin(axb)探究点 3 与切线有关的综合问题已知函数 f(x)ax 2bx3(a0)，其导函数 f(x )2x8.(1)求 a，b 的值；(2)设函数 g(x)e xsin xf( x)，求曲线 g(x)在 x0 处的切线方程【解】 (1)因为 f(x)ax 2bx3(a0) ，所以 f(x)2axb，又
11、知 f(x)2x8，所以 a1，b8.(2)由(1)可知 g(x)e xsin xx 28x3，所以 g(x)e xsin xe xcos x2x8，所以 g(0)e 0sin 0e 0cos 02087，又知 g(0)3，所以 g(x)在 x 0 处的切线方程为 y37(x0) 即 7xy30.解决有关切线问题的关注点(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点 曲
12、线 y 在点(1，1) 处的切线方程为( )xx 2Ayx2 By3x2Cy 2x3 Dy 2x1解析：选 D.由题知，点(1，1)在该曲线上，又 y ，所以曲线在x 2 x（x 2）2 2（x 2）2点(1， 1)处的切线的斜率 k 2， 2（1 2）2故所求切线的方程为 y12(x1)，即 y2x1.1已知 f(x)x 2ex，则 f(x) ( )A2xe x Be x2xCx(x2)e x Dxe x解析：选 C.f(x)(e x)x2e x(x2)e xx2e x2xx( x2)e x.2已知 f(x) ，则 f(x)( )ln xxA. B. 11x2 1xC1ln x D.1 ln
13、 xx2解析：选 D.f(x) ，所以选 D.（ln x）x ln xxx2 1xx ln xx2 1 ln xx23f(x)e 2x2x，则 _f （x）ex 1解析：f(x)(e 2x)(2 x)2e 2x22(e 2x1)所以 2(e x1) f（x）ex 1 2（e2x 1）ex 1答案：2(e x1)4已知曲线 f(x)x 33x ，过点 A(0，16)作曲线 f(x)的切线，求曲线的切线方程解：设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率 kf (x0)3x 3，20所以切线方程为 y(3 x 3)x16，20又切点(x 0，y 0)在切线上，所以 y03( x 1)x 0
14、16，20即 x 3x 03(x 1)x 016，30 20解得 x02，所以切线方程为 9xy 160.知识结构 深化拓展1.应用运算法则时的注意点解决函数求导的问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量2复合函数求导法则的三个关注点(1)分析复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量(3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数.A 基础达标1函数 y(x1) 2(
15、x1)在 x1 处的导数等于( )A1 B2C3 D4解析：选 D.y (x1) 2(x1) (x1) 2(x1)2(x 1)(x1)(x 1) 23x 22x1，所以 y|x1 4.2函数 ycos(x) 的导数是( )Acos x Bcos xCsin x Dsin x解析：选 C.法一：cos(x)sin(x)(x)sin(x )sin x.法二：ycos(x) cos x ，所以cos( x)(cos x)sin x .3(2018郑州高二检测)若 f(x)x 22x4ln x ，则 f(x)0 的解集为( )A(0，) B( 1，0) (2，)C(2，) D(1，0)解析：选 C.因
16、为 f(x)2x2 ，又 x0，所以 f(x)0 即 x20，解4x 2（x 2）（x 1）x得 x2.4对于函数 f(x) ln x ，若 f(1)1，则 k 等于( )exx2 2kxA. B.e2 e3C De2 e3解析：选 A.因为 f(x) ，所以 f(1)e12k1，解得 k ，故ex（x 2）x3 1x 2kx2 e2选 A.5已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2e xf(1) 3ln x，则 f(1)( )A3 B2eC. D.21 2e 31 2e解析：选 D.因为 f(1)为常数，所以 f(x)2e xf(1) ，3x所以 f(1)2ef (1)3，
17、所以 f(1) .31 2e6若 f(x)log 3(2x1)，则 f(2)_解析：因为 f(x)log 3(2x1) (2x1) ，1（2x 1）ln 3 2（2x 1）ln 3所以 f(2) .23ln 3答案：23ln 37已知函数 f(x)ax 4bx 2 c，若 f(1)2，则 f(1)_.解析：法一：由 f(x)ax 4bx 2c ，得f(x)4ax 32bx.因为 f(1)2，所以 4a2b2，即 2ab1.则 f(1)4a2b2(2ab) 2.法二：因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)是奇函数，所以 f(1)f(1)2.答案：28已知 f(x) ，若 f(x0)f (x0)0
18、，则 x0的值为_exx解析：因为 f(x) (x0)（ex）x exxx2 ex（x 1）x2所以由 f(x0) f(x0)0，得 0.ex0x0解得 x0 .12答案：129求下列函数的导数：(1)ycos(1x 2)；(2)ysin 2 ；(2x 3)(3)yln(2x 2x)；(4)yx .2x 1解：(1)设 u1x 2，ycos u，所以 yxy uux(cos u)(1 x2)sin u2x 2x sin(1x 2)(2)设 yu 2，usin v ，v2x ，3则 yxy uuvvx2ucos v24sin vcos v2sin 2v2sin .(4x 23)(3)设 u2x
19、2x，则 yxy uux(ln u)(2x 2x ) (4x1) .1u 4x 12x2 x(4)yx x ( ).2x 1 2x 1先求 t 的导数2x 1设 u2x1，则 tu ，12 txt uux u (2x1)12 12 2 .12 12x 1 12x 1所以 y .2x 1x2x 1 3x 12x 110已知抛物线 yax 2bx c 通过点 P(1，1) ，且在点 Q(2，1)处与直线 yx3相切，求实数 a、b、c 的值解：因为曲线 yax 2bx c 过点 P(1，1) ，所以 abc1.因为 y2ax b，所以 4ab1.又因为曲线过点 Q(2，1)，所以 4a2bc1.联
20、立，解得 a3，b11，c9.B 能力提升11等比数列a n中，a 12，a 84，函数 f(x)x(xa 1)(xa 2)(xa 8)，则 f(0)( )A2 6 B2 9C2 12 D2 15解析：选 C.因为 f(x)x(x a1)(xa 2)(xa 8)(xa 1)(xa 2)(xa 8)x( x a1)(xa 2)(xa 8)(xa 1)(xa 2)(xa 8)x，所以 f(0)(0a 1)(0a 2)(0a 8)0a 1a2a8.因为数列 an为等比数列，所以a1a8a 2a7a 3a6a 4a58，所以 f(0)8 42 12.12给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f
21、(x)存在，且导函数 f(x)在 D 上也可导，则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数，记 f (x)( f(x).若 f(x)0 在 D 上恒成立，则称 f(x)在D 上为凸函数以下四个函数在 上不是凸函数的是( )(0，2)Af(x)sin xcos x Bf(x)ln x2xCf(x)x 32x1 Df(x)xe x解析：选 D.若 f(x)sin xcos x，则 f(x)sin xcos x，在 x 上，恒有 f(x)(0，2)0，不是凸函数(0，2)13已知曲线 ye 2xcos 3x 在点(0 ，1)处的切线与直线 l 的距离为 ，求直线 l 的方5程解：因为 y(e 2x)co
22、s 3xe 2x(cos 3x)2e 2xcos 3x3e 2xsin 3x，所以 y|x0 2，所以经过点(0，1) 的切线方程为 y12( x0)，即 y2x1.设符合题意的直线方程为 y2xb，根据题意，得 ，解得 b6 或4.5|b 1|5所以符合题意的直线方程为 y2x6 或 y2x4.14(选做题) 已知函数 f(x)ax 2ln x 的导数为 f(x)(1)求 f(1)f(1)；(2)若曲线 yf(x )存在垂直于 y 轴的切线，求实数 a 的取值范围解：(1)由题意，函数的定义域为(0 ，)，由 f(x)ax 2ln x，得 f(x)2ax ，1x所以 f(1)f(1)3a1.(2)因为曲线 yf(x )存在垂直于 y 轴的切线，故此时切线斜率为 0，问题转化为在x(0， ) 内导函数 f(x)2ax 存在零点，1x即 f(x)02ax 0 有正实数解，1x即 2ax21 有正实数解，故有 a0，所以实数 a 的取值范围是( ，0)
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