1、第 2 课时 对数函数及其性质学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法(重、难点)；2. 掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法(难点)；3.会解简单的对数不等式(重点)；4.了解反函数的概念及其图象特点(难点) 预习教材 P8687，完成下面问题：知识点一 对数型复合函数的单调性(1)设 ylog af(x)(a0，a1)，首先应求使 f(x)0 的 x 的范围，即函数的定义域(2)在定义域内考虑 uf(x)与 ylog au 的单调性，然后根据复合函数单调性规律“同增异减”来确定复合函数的单调性，所谓“同增异减”即内、外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内、外层函数
2、单调性相反时，复合函数为减函数【预习评价】我们知道 y 2f(x)的单调性与 yf(x)的单调性相同，那么 ylog 2f(x)的单调区间与 yf(x) 的单调区间相同吗？提示 ylog 2f(x)与 yf(x) 的单调区间不一定相同，因为 ylog 2f(x)的定义域与yf(x)定义域不一定相同知识点二 对数型函数的奇偶性对数函数本身没有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶性，如ylog 2|x|就是偶函数证明这类函数具有奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义，并结合有关对数的运算性质【预习评价】函数 f(x)lg 的奇偶性是_(1x2 1 x)解析 f( x)定义域为 R，f(x)f
3、(x) lg lg lg(1x2 1 x) ( 1x2 1 x)lg 10，f( x)为奇函数1x2 1 x2答案 奇函数知识点三 对数不等式的解法一般地，对数不等式的常见类型：当 a1 时，logaf(x)log ag(x)Error!当 0a1 时，logaf(x)log ag(x)Error!【预习评价】已知 log0.72xlog 0.7(x1)，求 x 的取值范围解 函数 ylog 0.7x 在(0，)上为减函数，由 log0.72xlog 0.7(x1)得Error!解得 x1.x 的取值范围为(1，)题型一 对数型复合函数的单调性【例 1】 求函数 y (x 22x1)的值域和单
4、调区间解 设 tx 22x 1，则 t( x1) 22.y t 为单调减函数，且 0t2，y 2 1，即函数的值域为 1，) 再由函数 y (x 22x1) 的定义域为x 22x10，即 1 x12.2tx 22x 1 在(1 ，1上递增，在1,1 )上递减，而 y t 为单2 2调减函数函数 y (x 22 x1)的增区间为1,1 )，减区间为(1 ，12 2规律方法 求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域；(2)f (x)，g(x)单调性相同，则 f(g(x)为单调增函数；f(x )，g(x )单调性相异，则 f(g(x)为单调减函
5、数，简称“同增异减”【训练 1】 已知函数 f(x) (x 22x)(1)求函数 f(x)的值域；(2)讨论 f(x)的单调性解 (1)由题意得 x22x0， x22x0，0x2.当 0x2 时， yx 22x(x 22x )(0,1， (x 22x ) 10，函数 y (x 22x)的值域为0，)(2)设 ux 22x(0x2)，y u，函数 ux 22x 在(0,1)上是单调增函数，在(1,2)上是单调减函数，y u 是单调减函数，由复合函数的单调性得到函数 f(x) (x 22x)在(0,1)上是单调减函数，在(1,2) 上是单调增函数题型二 对数型复合函数的奇偶性【例 2】 判断函数
6、f(x) ln 的奇偶性2 x2 x解 由 0 可得2 x2，2 x2 x所以函数的定义域为(2,2)，关于原点对称方法一 f( x )ln ln ( )1 ln 2 x2 x 2 x2 x 2 x2 xf(x) 即 f(x )f(x)，所以函数 f(x)ln 是奇函数2 x2 x方法二 f( x)f(x)ln ln 2 x2 x 2 x2 xln ( )ln 10，2 x2 x2 x2 x即 f(x )f(x)，所以函数 f(x)ln 是奇函数2 x2 x规律方法 (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)(2)含对数式的奇偶性判断，一般用 f
7、(x)f(x)0 来判断，运算相对简单【训练 2】 判断函数 f(x)lg ( x)的奇偶性1 x2解 方法一 由 x0 可得 xR，1 x2所以函数的定义域为 R 且关于原点对称，又 f(x )lg ( x)1 x2lg lg 1 x2 x 1 x2 x1 x2 x 11 x2 xlg( x )f( x)，1 x2即 f(x )f(x)所以函数 f(x)lg( x)是奇函数1 x2方法二 由 x 0 可得 xR，1 x2f(x)f(x) lg( x)lg( x)1 x2 1 x2lg( x)( x)1 x2 1 x2lg(1x 2x 2)0.所以 f(x )f(x)，所以函数 f(x)lg(
8、 x)是奇函数1 x2题型三 对数不等式【例 3】 已知函数 f(x) loga(1a x)(a0，且 a1)解关于 x 的不等式：loga(1a x)f(1) 解 f(x)log a(1a x)，f(1)log a(1a)1a 0.0a1.不等式可化为 loga(1a x)log a(1a)Error!即Error! 0x 1.不等式的解集为(0,1)规律方法 对数不等式解法要点(1)化为同底 logaf(x)log ag(x)；(2)根据 a1 或 0a1 去掉对数符号，注意不等号方向；(3)加上使对数式有意义的约束条件 f(x)0 且 g(x)0.【训练 3】 已知函数 f(x) 若 f
9、(a)f(a) ，则实数 a 的取值范围是_解析 当 a0 时，f(a)log 2a，f(a) a，f(a)f(a) ，即 log2a alog 2 ，1aa ，解得 a1；1a当 a0 时，因 f(a)f (a) ，则 (a)log 2(a)，解得 a1，即1a0，综上实数 a 的取值范围是(1,0)(1，)答案 (1,0)(1，)典例迁移题型四 对数型函数的综合应用【例 4】 已知函数 f(x) loga (a0 且 a1)，x 1x 1(1)求 f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性解 (1)要使此函数有意义，则有Error!或Error!解得 x1 或 x1，此函数的定义域为
10、(，1)(1，)(2)f(x) log a log a x 1 x 1 x 1x 1log a f( x)x 1x 1又由(1)知 f(x)的定义域关于原点对称，所以 f(x)为奇函数f(x)log a log a(1 )，x 1x 1 2x 1函数 u1 在区间 (，1) 和区间(1，)上单调递减2x 1所以当 a1 时，f(x )log a 在(，1)，(1，)上递减；x 1x 1当 0a1 时，f(x )log a 在(，1)，(1，)上递增x 1x 1【迁移 1】 已知实数 x 满足 4x102 x160，求函数 y(log 3x)2log 3 2x的值域解 不等式 4x102 x16
11、 0 可化为(2 x)2102 x160，即(2 x2)(2 x8)0.从而有 22 x8，即 1x3.所以 0log 3x1.由于函数 y (log3x)2log 3 2 可化为xy(log 3x)2 log3x2(log 3x )2 ，12 14 3116当 log3x 时，y min ；当 log3x1 时，y max .14 3116 52所以，所求函数的值域为 ， 3116 52【迁移 2】 已知函数 f(x)lg(ax 22x1)(1)若函数的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；(2)若函数的值域为 R，求实数 a 的取值范围解 (1)若 f(x)的定义域为 R，则关于 x 的不
12、等式 ax22 x10 的解集为 R，结合二次函数图象可得Error!解得 a1.即 a 的取值范围是(1，) (2)若函数 f(x)的值域为 R，则 ax22x1 可取一切正实数，结合函数图象可得 a0 或Error!解得 0a1.即 a 的取值范围是0,1【迁移 3】 已知函数 f(x)log a (a0，且 a1，m1) 是奇函数1 mxx 1(1)求实数 m 的值；(2)探究函数 f(x)在(1，)上的单调性解 (1)由已知条件得 f( x)f(x)0 对定义域中的 x 均成立log a log a 0，mx 1 x 1 1 mxx 1即 1，mx 1 x 11 mxx 1m2x21x
13、 21 对定义域中的 x 均成立m21 ，即 m1( 舍去)或 m1.(2)由(1)得 f(x)log a .1 xx 1设 t 1 ，x 1x 1 x 1 2x 1 2x 1当 x1x 21 时，t1t 2 0，2x1 1 2x2 1 2x2 x1x1 1x2 1t1t 2.当 a1 时，log at1log at2，即 f(x1)f( x2)，当 a 1 时， f(x)在(1 ，)上是减函数同理得当 0a1 时，f(x) 在(1，)上是增函数规律方法 (1)对于函数 ylog af(x)(a0 且 a1)单调性的判断，首先应求满足f(x)0 的 x 的范围，即函数的定义域假设 f(x)在定
14、义域的子区间 I1 上单调递增，在区间 I2 上单调递减，则当 a1 时，原函数与内层函数 f(x)的单调性相同，即在 I1 上单调递增，在 I2上单调递减当 0a 1 时，原函数与内层函数 f(x)的单调性不同，即在 I1 上单调递减，在 I2 上单调递增(2)关于对数函数性质的几点应用：ylog ax 中定义域(0，) ylog af(x)的定义域，需 f(x)0. 可 延 伸 为 ylog ax 过定点(1,0) ylog af(x)过定点，只需 f(x)1 即可 可 延 伸 为 ylog ax 的单调性 ylog af(x)的单调性，利用 ylog au 和 uf(x)的 可 延 伸
15、为 单调性判断考查 ylog af(x)的奇偶性，定义域关于原点对称后利用函数奇偶性的定义来判定较容易.课堂达标1函数 ylog 2(x21) 的增区间为_解析 由 x210 解得定义域为x| x1 或 x1，又 ylog 2x 在定义域上单调递增，y x 21 在(1，)上单调递增， 函数的增区间为(1，)答案 (1 ，)2已知函数 ylog 2(x22kxk) 的值域为 R，则 k 的取值范围是_解析 令 tx 22kx k，由 ylog 2(x22kxk) 的值域为 R，得函数tx 22kxk 的图象一定恒与 x 轴有交点，所以 4k 24k0，即 k0 或k1.答案 (，0 1，)3已
16、知 xln ，ylog 52，z ，则 x，y，z 的大小关系为_解析 xln ln e，x1.y log52log 5 ，0y .512z ， z 1.1e 14 12 12综上可得，y z x .答案 yz x4若函数 y loga|x2|(a 0 且 a1)在区间(1,2)上是单调增函数，则 f(x)在区间(2， ) 上的单调性为_解析 当 1x 2 时，函数 f(x)log a|x2| log a(2x)在区间(1,2)上是单调增函数，所以 0a1；当 x2 时，函数 f(x)log a|x2| log a(x2)在(2，)上是单调减函数答案 单调递减5已知函数 ylg( a)是奇函数，求实数 a 的值21 x解 由函数 ylg( a)是奇函数，得21 xlg( a) lg( a)lg ，21 x 21 x 121 x a即 a ，21 x 121 x a化简得 44aa 2(1x 2)1x 2，所以Error!解得 a1.课堂小结1比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分 a1 和 0a1 两类讨论求解2解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.
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