1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.4 平面与平面垂直的性质学习目标1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用,培养学生的推理能力.3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想.合作学习一、设计问题,创设情境如图,长方体 ABCD-ABCD中,平面 AADD与平面 ABCD 垂直,直线 AA 垂直于其交线AD.平面 AADD内的直线 AA 与平面 ABCD 垂直吗?二、信息交流,揭示规律问题 1:如图,若 ,=CD,AB,ABCD,ABCD=B.讨论直线 AB 与平面 的位置关系.问题
2、2:能不能用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理,并给出证明?问题 3:平面与平面垂直的性质定理的特点有哪些 ?四、运用规律,解决问题【例 1】 如图 ,已知平面 ,a,直线 a 满足 a,试判断直线 a 与平面 的位置关系.【例 2】 如图,四棱锥 PABCD 的底面是 AB=2,BC= 的矩形,侧面 PAB 是等边三角2形,且侧面 PAB底面 ABCD.(1)证明:侧面 PAB侧面 PBC;(2)求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角;(3)求直线 AB 与平面 PCD 的距离.【例 3】 如图,把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 AB 旋转至ABD 的位置,使 CD=AC.(1)求证:平
3、面 ABD平面 ABC;(2)求二面角 C BD A 的余弦值 .【例 4】 如图,在矩形 ABCD 中,AB=33,BC=3,沿对角线 BD 把BCD 折起,使 C 移到 C,且 C在平面 ABC 内的射影 O 恰好落在 AB 上.(1)求证:AC BC;(2)求 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值;(3)求二面角 C BD A 的正切值 .五、变式演练,深化提高1.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,BAC=90,AB=BB1=1,直线 B1C 与平面 ABC 成 30角,求二面角 B B1C A 的正弦值.2.如图,边长为 2 的等边PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平
4、面,BC= 2 ,M 为2BC 的中点.(1)证明:AMPM;(2)求二面角 P AM D 的大小 .六、反思小结,观点提炼请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容?七、作业精选,巩固提高课本 P74习题 2.3B 组第 1,3 题.参考答案问题 1:直线 AB 与平面 垂直.问题 2:两个平面垂直的性质定理文字语言描述为:如果两个平面垂直 ,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.符号语言描述为: AB.=图形语言描述为:如图两个平面垂直的性质定理证明过程如下:如图,已知 ,=a,AB,ABa 于 B.求证:AB.证明:在平面 内作 BECD 垂足为 B,则ABE 就是二面角 C
5、D 的平面角.由 ,可知 ABBE.又 ABCD,BE 与 CD 是 内的两条相交直线,AB.问题 3:两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线,因此它是立体几何中最重要的定理.应用面面垂直的性质定理的口诀是:“见到面面垂直,立即在一个平面内作交线的垂线 ”.四、 【例 1】 解:在 内作垂直于 与 交线的垂线 b,b.a,ab.a,a.即直线 a 与平面 平行.【例 2】 解:(1)证明:在矩形 ABCD 中,BC AB,又 平面 PAB底面 ABCD,侧面 PAB底面 ABCD=AB,BC侧面 PAB.又 BC侧面 PBC,侧面 PAB侧面 PBC.(2)如图,取 AB 的中点
6、E,连接 PE,CE,又 PAB 是等边三角形 ,PEAB.又 侧面 PAB底面 ABCD,PE平面 ABCD.PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角.PE= BA= ,CE= ,32 3 2+2=3在 RtPEC 中, PCE=45为所求 .(3)在矩形 ABCD 中,ABCD,CD侧面 PCD,AB侧面 PCD,AB侧面 PCD.取 CD 的中点 F,连接 EF,PF,则 EFAB.又 PEAB,AB平面 PEF.又 ABCD,CD平面 PEF.平面 PCD平面 PEF.作 EGPF,垂足为 G,则 EG平面 PCD.在 RtPEF 中, EG= 为所求.=305【例 3】 解:(
7、1)证明:(证法一):由题设,知 AD=CD=BD,作 DO平面 ABC,O 为垂足,则OA=OB=OC.O 是 ABC 的外心,即 AB 的中点.OAB,即 O平面 ABD.OD平面 ABD.平面 ABD平面 ABC.(证法二): 取 AB 中点 O,连接 OD,OC,则有 ODAB,OCAB,即 COD 是二面角 C AB D 的平面角 .设 AC=a,则 OC=OD= a,22又 CD=AD=AC,CD=a.COD 是直角三角形,即COD=90 .二面角是直二面角,即平面 ABD平面 ABC.(2)取 BD 的中点 E,连接 CE,OE,OC,BCD 为正三角形,CEBD.又BOD 为等
8、腰直角三角形, OEBD.OEC 为二面角 C BD A 的平面角.同(1)可证 OC平面 ABD,OCOE.COE 为直角三角形.设 BC=a,则 CE= a,OE= a,cosOEC= 即为所求.32 12 =33【例 4】 解:(1)证明:由题意,知 CO平面 ABD,COABC,平面 ABC平面 ABD.又 ADAB,平面 ABC平面 ABD=AB,AD平面 ABC.ADBC.BCCD,BC平面 ACD.BCAC.(2)BC平面 ACD,BC平面 BCD,平面 ACD平面 BCD.作 AHCD 于 H,则 AH平面 BCD,连接 BH,则 BH 为 AB 在平面 BCD 上的射影,AB
9、H 为 AB 与平面 BCD 所成的角.又在 RtACD 中,CD=33,AD=3, AC=3 .AH= .2 6sinABH= ,即 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为 .=23 23(3)过 O 作 OGBD 于点 G,连接 CG,则 CGBD,则CGO 为二面角 C BD A 的平面角.在 RtACB 中,CO= ,=6在 RtBCD 中,CG= .=332OG= .tanCGO= =2 ,2-2=32 2即二面角 C BD A 的正切值为 2 .2点评:直线与平面垂直是立体几何的核心 ,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要
10、.五、1.解:由直三棱柱性质得平面 ABC平面 BCC1B1,过 A 作 AN平面 BCC1B1,垂足为 N,则 AN平面 BCC1B1(AN 即为我们要找的垂线),在平面 BCB1内过 N 作 NQB1C,垂足为 Q,连接 QA,则 NQA 即为二面角的平面角.AB1在平面 ABC 上的射影为 AB,CAAB,CAB1A.AB=BB1=1,得 AB1= .2直线 B1C 与平面 ABC 成 30角,B 1CB=30,B1C=2.在 RtB1AC 中,由勾股定理,得 AC= .AQ=1.2在 RtBAC 中,AB=1,AC= ,得 AN= .263sinAQN= ,=63即二面角 B B1C
11、A 的正弦值为 .632.解:(1)证明:如图 ,取 CD 的中点 E,连接 PE,EM,EA,PCD 为正三角形,PECD,PE=PDsinPDE=2sin60= .3平面 PCD平面 ABCD,PE平面 ABCD.四边形 ABCD 是矩形,ADE,ECM,ABM 均为直角三角形 .由勾股定理可求得 EM= ,AM= ,AE=3,3 6EM2+AM2=AE2.AMEM.又 EM 是 PM 在平面 ABCD 上的射影 ,AME=90.AMPM.(2)由(1)可知 EMAM,PMAM,PME 是二面角 P AM D 的平面角.tanPME= =1.PME=45.=33二面角 P AM D 为 45.
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