1、第一章 集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.2 函数的表示法(第一课时 )学习目标了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法 );会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数, 树立应用数形结合的思想.合作学习一、设计问题,创设情境语言是沟通人与人之间联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法. 例如,简体中文中的“生日快乐 !”用繁体中文为生日快樂!英文为 Happy Birthday!法文是 Bon Anniversaire!德文是 Alles Gute zum Geburtstag!西班牙文为 Feliz CumpleaRos!印度尼西亚文是 Selamat Ulang Tahun!
2、荷兰文的生日快乐为 Van Harte Gefeliciteerd metjeverj aardag!在俄语中则是 !问题 1:对于函数,又有什么不同的表示方法呢 ?二、自主探索,尝试解决结合研究函数概念时生活中的三个例子,以及初中学过的函数的表示方法, 同学们分组讨论, 总结出函数的三种不同表示方法 .三、信息交流,揭示规律 函数的三种表示方法:解析法:图象法:列表法:问题 2:分析对比三种不同表示方法的优缺点.四、运用规律,解决问题【例 1】某种笔记本的单价是 5 元, 买 x(x1,2,3,4,5)个笔记本需要 y 元.试用函数的三种表示法表示函数 y=f(x).【例 2】下表是某校高一
3、(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表:测试序号成绩姓名 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次王伟 98 87 91 92 88 95张城 90 76 88 75 86 80赵磊 68 65 73 72 75 82班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.【例 3】将长为 a 的铁丝折成矩形,求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.【例 4】向高为 H 的水瓶中注水, 注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的
4、图象如图所示,那么水瓶的形状是( )五、变式演练,深化提高1.已知 f( )= ,则 f(x)= . 11+ 121+22.已知函数 f(x)= .3+7+2(1)画出函数 f(x)的图象;(2)观察图象写出函数的定义域和值域.3.求下列函数的值域:(1)y=x2-2x(-1x2);(2)y=x4+1.六、反思小结,观点提炼请同学们回想一下,本节课我们学了哪些函数的表示方法 ?在具体的实际问题中如何恰当地选择?七、作业精选,巩固提高课本 P24 习题 1.2 A 组第 7,8,9 题.参考答案三、信息交流,揭示规律解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 ,这种表示方法叫做解析法 ,这个
5、数学表达式叫做函数的解析式.图象法:以自变量 x 的取值为横坐标,对应的函数值 y 为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象 ,这种用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.列表法:列一个两行多列的表格 ,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.问题 2:解析法能够准确表达出两个变量之间的关系,简明扼要, 给自变量求函数值 ;不足之处,比较抽象. 图象法形象直观表示两个变量之间的关系, 较好地反映了两个变量的变化趋势;不足之处, 变量关系不够精确.列表法通过表格直接得出函数值, 没有计算过程; 不足之处,
6、不能列出定义域为区间范围的所有函数值,仅能表示有限个.四、运用规律,解决问题【例 1】解:这个函数的定义域是数集1 ,2,3,4,5,用解析法可将函数 y=f(x)表示为 y=5x,x1,2,3,4,5.用列表法可将函数 y=f(x)表示为笔记本数 x 1 2 3 4 5钱数 y 5 10 15 20 25用图象法可将函数 y=f(x)表示为注意:函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等;解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;图象法:根据实际情境来决定是否连线;列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.【例 2】解:
7、把“成绩”y 看成“ 测试序号 ”x 的函数, 用图象法表示函数 y=f(x),如图所示.由图可看到,王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分 ,学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定, 总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平,但他的成绩呈上升趋势 ,表明他的数学成绩稳步提高.点评:本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力, 以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见, 图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意:本例为了研究学生的学习情况 ,将离散的点用虚线连接 ,这样便于研究成绩的变化特点.【例 3】
8、分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题, 即把面积 y 表示为 x 的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去.解:设矩形一边长为 x,则另一边长为 (a-2x),则面积 y= (a-2x)x=-x2+ ax.12 12 12又 得 00,20, 2 2由于 y=-(x- )2+ a2 a2,4 116116如图所示,结合函数的图象得值域为 (0, a2.116【例 4】分析:要求由水瓶的形状识别容积 V 和高度 h 的函数关系,突出了对思维能力的考查.观察图象,根据图象的特点发现 :取水深 h= ,注水量 V ,2 02即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半 .A 图中 V
9、 ,C,D 两图中 V= ,故选 B 图.02 02答案:B五、变式演练,深化提高1.解析 :可设 =t,则有 x= ,所以 f(t)= = ,所以 f(x)= (x-1).11+ 11+ 1(11+)21+(11+)2 21+2 21+2答案: (x-1)21+22.解 :(1)y= = = +3.将 y= 的图象向左平移两个单位得 y= 的图象,再向上3+7+23+6+1+2 1+2 1 1+2平移三个单位得 y= +3 的图象 .1+2图象如图所示.(2)观察函数的图象可知,图象上所有点的横坐标的取值范围是(-,-2) (-2,+),图象上所有点的纵坐标的取值范围是(-,3 )(3,+)
10、.则函数的定义域是(-,-2) (-2,+),值域是(-, 3)(3,+).注意:讨论函数的值域要先考虑函数的定义域 ,要遵守定义域优先的原则 .3.解 :(1)(图象法)在平面直角坐标系中画出二次函数 y=x2-2x(-1x2)的图象,如图所示:函数 y=x2-2x(-1x2)的图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域,观察图象知函数的值域是-1 ,3.(2)方法一:( 观察法 )函数的定义域是 R,由 x40,有 x4+11,即函数 y=x4+1 的值域是 1,+).方法二:(换元法)函数的定义域是 R,设 x2=t,则 t0,则有 y=t2+1.利用图象可求得当 t0 时,二次函数 y=t2+1 的值域是1,+ ),即函数 y=x4+1 的值域是1, +).
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