1、第一章 集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念(第二课时 )学习目标掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性 ,激发学生学习的积极性 .启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会用数学表达和交流 ,发展数学的应用意识 .合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:y=x 与 y= 是同一个函数吗?2二、自主探索,尝试解决问题 2:指出函数 y=x+1 的构成要素有几部分?并思考一个函数的构成要素有几部分 ?问题 3:分别写出函数 y=x+1 和函数 y=t+1 的
2、定义域和对应关系,并比较异同.问题 4:函数 y=x+1 和函数 y=t+1 的值域相同吗?问题 5:根据问题 3 和问题 4 的研究, 分析两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域一定相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?三、信息交流,揭示规律函数相等的条件: 四、运用规律,解决问题【例 1】下列函数中哪个与函数 y=x 相等?(1)y=( )2;(2)y= ;33(3)y= .2【例 2】判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数, 说明理由.(1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1;(2)f(x)=x-1,g(x)= ;22+1(3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)
3、2;(4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1.【例 3】设 y 是 u 的函数 y=f(u),而 u 又是 x 的函数 u=g(x),设 M 表示 u=g(x)的值域,N 是函数 y=f(u)的定义域,当 MN,则 y 成为 x 的函数, 记为 y=fg(x).这个函数叫做由 y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数 ,u 叫做中间变量, f 称为外层函数, g 称为内层函数.指出下列复合函数的外层函数和内层函数, 并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数.(1)y= ;1+1(2)y=(x2-2x+3)2;(3)y= + -1.121五、变式演练,深化提高1.判断下列各组的两个函数是
4、否相同,并说明理由.y=x-1,xR 与 y=x-1,xN;y= 与 y= ;24 2 +2y=1+ 与 u=1+ ;1 1y=x2 与 y=x ;2y=2|x|与 y=2,0,2,0;y=f(x)与 y=f(u).是同一个函数的是 (把是同一个函数的序号填上即可) . 2.设 f(x)= ,则 = . 212+1 (2)(12)3.函数 f(x)对任意实数 x 满足条件 f(x+2)= ,若 f(1)=-5,则 ff(5)= . 1()六、反思小结,观点提炼大家分组讨论,由各组小组长宣布本组反思结果 .七、作业精选,巩固提高1.设 M=x|-2x2,N=y|0y2,给出下列四个图形, 其中能
5、表示以集合 M 为定义域,N 为值域的函数关系是( )2.某公司生产某种产品的成本为 1 000 元,以 1 100 元的价格批发出去 ,随生产产品数量的增加,公司收入 ,它们之间是 关系. 3.函数 y=x2 与 S=t2 是同一函数吗?参考答案问题 1:两个函数不是同一个函数, 主要是定义域不同.问题 2:函数 y=x+1 的构成要素为: 定义域 R,对应关系 xx+1,值域是 R.一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心 .当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.问题 3:两个函数的定义域和对应关系分别相同
6、, 分别为 R,xx+1,不同点是变量所用字母不同.问题 4:两个函数的值域相同, 都是 R.问题 5:值域一定相同.三、信息交流,揭示规律函数相等的条件:如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.四、运用规律,解决问题【例 1】解:函数 y=x 的定义域是 R,对应关系是 xx.(1)函数 y=( )2 的定义域是0 ,+),函数 y=( )2 与函数 y=x 的定义域不相同.函数 y=( )2 与函数 y=x 不相等.(2)函数 y= 的定义域是 R,33函数 y= 与函数 y=x 的定义域相同 .33
7、又 y= =x,33函数 y= 与函数 y=x 的对应关系也相同 .33函数 y= 与函数 y=x 相等 .33(3)函数 y= 的定义域是 R,2函数 y= 与函数 y=x 的定义域相同.2又 y= =|x|,2函数 y= 与函数 y=x 的对应关系不相同.2函数 y= 与函数 y=x 不相等.2点评:本题主要考查函数相等的含义 .讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否是同一个函数, 要先求定义域, 若定义域不同 ,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数.【例 2】解:(1) f(x)=(x
8、-1)0 的定义域是x|x1,函数 g(x)=1 的定义域是 R,函数 f(x)=(x-1)0 与函数 g(x)=1 的定义域不同.函数 f(x)=(x-1)0 与函数 g(x)=1 不表示同一个函数.(2)f(x)=x-1 的定义域是 R,g(x)= = 的定义域是 R,22+1 (1)2函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)= 的定义域相同.22+1又 g(x)= = =|x-1|,22+1 (1)2函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)= 的对应关系不同.22+1函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)= 不表示同一个函数.22+1(3)很明显 f(x)=x2 和 g(x)=(x+1
9、)2 的定义域都是 R,又 f(x)=x2 和 g(x)=(x+1)2 的对应关系不同,函数 f(x)=x2 和 g(x)=(x+1)2 不表示同一个函数.(4)很明显 f(x)=x2-1 与 g(u)=u2-1 的定义域都是 R,又 f(x)=x2-1 与 g(u)=u2-1 的对应关系也相同,函数 f(x)=x2-1 与 g(u)=u2-1 表示同一个函数.【例 3】解:(1)设 y= ,u=x+1(x-1),1即 y= 的外层函数是反比例函数 y= ,内层函数是一次函数 u=x+1(x-1).1+1 1(2)设 y=u2,u=x2-2x+3,即 y=(x2-2x+3)2 的外层函数是二次
10、函数 y=u2,内层函数是二次函数 u=x2-2x+3.(3)设 y=u2+u-1,u= ,1即 y= + -1 的外层函数是二次函数 y=u2+u-1,内层函数是反比例函数 u= .121 1点评:到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、二次函数复合而成的,随着学习的深入 ,我们还会学习其他复合函数 .复合函数是高考重点考查的内容之一,应引起我们的重视 .五、变式演练,深化提高1.解析 :只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.前者的定义域是 R,后者的定义域是 N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;前者的定义域是 x|x-2或 x2,后者的定义
11、域是 x|x2,它们的定义域不同,故不是同一个函数;定义域相同均为非零实数, 对应法则相同都是自变量取倒数后加 1,那么值域必相同,故是同一个函数;定义域相同,但对应法则不同,故不是同一个函数;函数 y=2|x|= 则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同 ,故是同一个2,0,2,0,函数;定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同, 故是同一个函数 .答案:2.-13.分析 :函数 f(x)对任意实数 x 满足条件 f(x+2)= ,1()f(x+4)=f(x+2)+2= =f(x).1(+2)f(1)=f(1+4)=f(5).又 f(1)=-5,f(5)=-5.ff(5)=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)= =- .1(1) 15答案:-15
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