1、2019 年安徽省淮南市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 Ax| （x1） （x 3）0 ，Bx|log 2x1，则 AB 等于（ ）A x|x3 Bx|0x3 C x|1x2 D x|2x32 （5 分）已知复数 z 满足 z+izi，其中 i 是虚数单位，则 z 的模|z| 等于（ ）A1 B C D3 （5 分）2002 年 8 月国际数学家大会在北京召开，会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 ，它是由四个全等的直角三角形与中间的小
2、正方形拼成的一个大正方形（如图所示） 若直角三角形的直角边边长之比为 1：2，则在大正方形内随机取点，且此点取自中间白色小正方形部分的概率为（ ）A B C D4 （5 分）已知实数 x，y 满足（ ） x（ ） y，则下列关系式中恒成立的是（ ）Asinx siny Bln （x 2+1）ln （y 2+1）C Dx 3y 35 （5 分）已知 F 是双曲线 1（a0，b0）的一个焦点，若点 F 与点（0，b）的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（ ）A B C 1 D +16 （5 分）已知 （1，0） ，| |1， ， 的夹角为 30，
3、若 ，互相垂直，则实数 的值是（ ）第 2 页（共 27 页）A B C3 D37 （5 分）某几何体的三视图如图所示，正视图是正方形，侧视图是直角梯形，俯视图由一个半圆和一个等腰直角三角形组成，则该几何体体积为（ ）A B +4 C D8 （5 分）已知 sin（ ）+cos ，则 cos（ ）（ ）A B C D9 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 x2，则输出的结果为（ ）A3 B C D210 （5 分）中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数 “礼” ，礼节，即今德育：“乐” ，音乐， “射”和“御” ，射箭
4、和驾驭马车的技术，即今体育和劳动：“书” ，书法，即今文学；“数” ，算法，即今数学某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”必须排在第一，“数”不能排在最后， “射”和“御”要相邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有（ ）A18 种 B36 种 C72 种 D144 种11 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+） （0，| | ）的部分图象如图所示，则函数 f（x ）单调递增区间是（ ）第 3 页（共 27 页）A （k ，k + ） ，k ZB （2k ，2k + ） ，k ZC （k ，k + ） ，
5、k ZD （2k ，2k + ） ，k Z12 （5 分）已知函数 f（x ） 若函数 g（x）f（x）m 有两个零点x1，x 2，则 x1+x2（ ）A2 B2 或 2 C2 或 3 D2 或 3 或 2二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上）13 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 zxy 的最大值为 14 （5 分）在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足2cosC，则角 C 的大小为 15 （5 分）过抛物线 y22px 的焦点 F
6、的直线 l 与抛物线分别交于第一、四象限内的A、B 两点，分别以线 AF、BF 的中点为圆心，且均与 y 轴相切的两圆的半径为r1、r 2若 r1： r21：3，则直线 l 的倾斜角为 16 （5 分）已知平面 上放置棱长为 2 的正四面体 ABCD，若该四面体绕棱 BC 旋转，使D 点到平面 的距离为 1，如图所示则点 A 到平面 的距离等于 第 4 页（共 27 页）三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知各项均不为 0 的等差数列a n的前 n 项的和为 Sn，若 a815，且 a1，a 2，S 3
7、 成等比数列（）求数列a n的通项公式与 Sn；（）设 bn ，数列b n的前 n 项的和为 Tn，求证： Tn 18已知四棱锥 PABCD，BDAB，BAD60，BCD 为等边三角形，E 为 PD 的中点（）证明：CE平面 PAB；（）若PAD 为等腰三角形，PAPD，且 AD ，求二面角 BPAD 的余弦值19某乡镇为了打赢脱贫攻坚战，决定盘活贫困村的各项经济发展要素，实施了产业、创业、就业“三业并举”工程在实施过程中，引导某贫困村农户因地制宜开展种植某经济作物该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为 k，其质量指标的等级划分如表：质量指标值 k
8、 产品等级k90 优秀80k 90 良好75k 80 合格k75 不合格为了解该类经济作物在当地的种植效益，当地引种了甲、乙两个品种并随机抽取了甲、乙两不品种的各 10000 件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到下面产品质量指标值频率分布直方图（图甲和图乙） 第 5 页（共 27 页）（）若将频率视为概率，从乙品种产品中有放回地随机抽取 3 件，记“抽出乙品种产品中至少 1 件优等品”为事件 A，求事件 A 发生的概率 P（A） ；（结果保留小数点后 3位）（）若甲、乙两个品种的销售利润率 y 与质量指标值 k 满足下表：质量指标值 k k90 80 k90 75 k80 k75销售利润率
9、 y 3t 5t2 t2 t其中 试分析，从长期来看，种植甲、乙哪个品种的平均利润率较大？20在平面直角坐标系 xOy 内，有一动点 P 到直线 x 的距离和到点（ ）的距离比值是 （）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（）已知点 A（2，0） ，若 P 不在 x 轴上，过点 O 作线段 AP 的垂线 l 交曲线 C 于点D，E，求 的取值范围21已知函数 f（x ）axe bx（其中 e 是自然对数的底数，aR，bR）在点（1，f（1） ）处的切线方程是 2exy e0（）求函数 f（x ）的单调区间；（）设函数 g（x） mxlnx，若 g（x）1 在 x（0，+ ）上恒成立，第 6 页（共
10、 27 页）求实数 m 的取值范围请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （其中 t 为参数） 以坐标原点 O 为原点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为sin（ ） （）写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；（）设点 P，Q 分别在曲线 C1，C 2 上运动，若 P，Q 两点间距离的最小值为 2 ，求实数 m 的值23已知函数 f（x ）|x 2|+2 （）解不等式 f（x ）+f（x+1）f （7） ；（）设 g（x）|2xa|+|2
11、x +3|，若对任意 x1R，都有 x2R，使得 g（x 1）f（x 2）成立，求实数 a 的取值范围第 7 页（共 27 页）2019 年安徽省淮南市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 Ax| （x1） （x 3）0 ，Bx|log 2x1，则 AB 等于（ ）A x|x3 Bx|0x3 C x|1x2 D x|2x3【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax| （x1） （x 3）0 x|1x3，B x|l
12、og2x1x |0x2 ，ABx|0 x3故选：B【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）已知复数 z 满足 z+izi，其中 i 是虚数单位，则 z 的模|z| 等于（ ）A1 B C D【分析】利用复数的四则运算计算出 z 后即可求其模【解答】解：由 z+izi，得 z ，|z| ，故选：C【点评】本题考查复数的四则运算及复数的概念，属于基础题3 （5 分）2002 年 8 月国际数学家大会在北京召开，会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 ，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示
13、） 若直角三角形的直角边边长之比为 1：2，则在大正方形内随机取点，且此点取自中间白色小正方形部分的概率为（ ）第 8 页（共 27 页）A B C D【分析】设大正方形的边长为 ，根据直角三角形的直角边边长之比为 1：2 可得小正方形的边长为 a，依据两个正方形的面积可得所求的概率【解答】解：设大正方形的边长为 ，则图中直角三角形的直角边的长度分别为：2a，a，故小正方形的边长为 a，大正方形内随机取点，且此点取自中间白色小正方形部分的概率为 ，故选：C【点评】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等4 （5 分）已知实数 x，y
14、 满足（ ） x（ ） y，则下列关系式中恒成立的是（ ）Asinx siny Bln （x 2+1）ln （y 2+1）C Dx 3y 3【分析】根据指数函数的单调性可得 xy，再根据幂函数的单调性可得 x3y 3【解答】解：因为 y 是定义域 R 上的单调减函数，由 ，得xy；又 yx 3 为定义域 R 上的增函数，所以 x3y 3故选：D【点评】本题考查了指数函数、幂函数的单调性应用问题，是基础题5 （5 分）已知 F 是双曲线 1（a0，b0）的一个焦点，若点 F 与点（0，b）的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（ ）第 9 页（共 27 页）
15、A B C 1 D +1【分析】点 F 与（0，b）连线的斜率与渐近线的斜率的乘积为1 得到 acc 2a 2，从该式可解出离心率的大小【解答】解：点 F 与（0，b）连线的斜率为 ，因该线与渐近线垂直，故 即 acc 2a 2，也就是 e2e10，所以 e ，故选：B【点评】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于 a，b，c 的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于 a，b，c 的不等式或不等式组6 （5 分）已知 （1，0） ，| |1， ， 的夹角为 30，若 ，互相垂直，则实数 的值是（ ）A B C3 D3【
16、分析】可求出 ，从而可求出 ，而根据 与 垂直，即可得出 ，进行数量积的运算即可求出 的值【解答】解： ； ； ， 互相垂直； ；解得 故选：A【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量垂直的充要条件7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，正视图是正方形，侧视图是直角梯形，俯视图由第 10 页（共 27 页）一个半圆和一个等腰直角三角形组成，则该几何体体积为（ ）A B +4 C D【分析】根据三视图复原几何体，利用三视图的数据求解即可【解答】解：几何体由一个四棱锥和半圆柱构成，其中四棱锥的底面为边长为 2 的正方形，高为 2，半圆柱的底面的半径
17、为 1，高为 2，故几何体的体积为：，故选：D【点评】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系8 （5 分）已知 sin（ ）+cos ，则 cos（ ）（ ）A B C D【分析】利用两角和的正弦公式化简，再逆用两角和的余弦公式可得所求的值，【解答】解：题设中的三角函数式 sin（ ）+cos ，第 11 页（共 27 页）可化为： ，整理 ，即cos cos+ ，cos（ ） ，cos（ ） ，故选：A【点评】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异对应的方法是：弦
18、切互化法、辅助角公式（或公式的逆用） 、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角） 、升幂降幂法9 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 x2，则输出的结果为（ ）A3 B C D2【分析】分别计算 i1，2， 3，4 时 x 的值可得 x 的规律，从而可得输出结果【解答】解：当 i1 时，x ；当 i2 时，x ；当 i3 时，x 3；当 i4 时，x 2，所以 x 的值周期性出现，故当 i101425+1，x 为 故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，对于框图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出框图的功能，在归纳中注意各变量的变化规律10 （5 分）中国古代
19、儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数 “礼” ，礼节，即今德育：“乐” ，音乐， “射”和“御” ，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动：“书” ，书法，即今文学；“数” ，算法，即今数学某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”必须排在第一，第 12 页（共 27 页）“数”不能排在最后， “射”和“御”要相邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有（ ）A18 种 B36 种 C72 种 D144 种【分析】由排列、组合及简单的计数问题得：可分“射”或“御”排在最后和“射”和“御”均不在最后两种情况分类讨论当“射”或“御”
20、排在最后，那么“射”和“御”有两种排法即 种，余下 3 种才能共有 种排法，故此时共有 12 种排法； 当“射 ”和“御”均不在最后，那么“射”和“御”共有 326 种排法，中间还余两个位置，两个位置可选一个给“数” ，有 2 种排法，余下两个位置放置最后的两个基本才能，有 ，故共 6 24 种排法，综合得：“六艺”讲座不同的排课顺序共有 36 种不同的排法，得解【解答】解：由题意可分“射”或“御”排在最后和“射”和“御”均不在最后两种情况分类讨论当“ 射”或 “御”排在最后，那么“射”和“御”有两种排法即 种，余下 3 种才能共有 种排法，故此时共有 12 种排法；当“ 射”和 “御”均不在
21、最后，那么“射”和“御”共有 326 种排法，中间还余两个位置，两个位置可选一个给“数” ，有 2 种排法，余下两个位置放置最后的两个基本才能，有 ，故共 6 24 种排法，综合得： “六艺”讲座不同的排课顺序共有 36 种不同的排法，故选：B【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，属中档题11 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+） （0，| | ）的部分图象如图所示，则函数 f（x ）单调递增区间是（ ）第 13 页（共 27 页）A （k ，k + ） ，k ZB （2k ，2k + ） ，k ZC （k ，k + ） ，k ZD （2k ，2k +
22、 ） ，k Z【分析】由三角函数 图象，求出 和 的值，结合三角函数单调性的性质进行求解即可【解答】解：由图象可知 f（ 0） ，故 sin（x ） ，因| ，故 ，又 f（ ）0，即由五点对应法得 + 2，得 2所以 f（x）sin（2x + ） ，令 2k 2x+ 2k+ ，k Z，得 k xk+ ，k Z即函数 f（x）的单调增区间为： k ，k + ，kZ，故选：A【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，已知三角函数的图象，求其解析式时可遵循“两看一算” ， “两看”指从图象上看出振幅和周期， “一算”指利用最高点或最低点的坐标计算 当无法确定函数的最高点或最低点的坐标时，可根据图象
23、所过的特殊点得到 和 满足的方程，再根据它们的范围得到相应的取值12 （5 分）已知函数 f（x ） 若函数 g（x）f（x）m 有两个零点x1，x 2，则 x1+x2（ ）A2 B2 或 2 C2 或 3 D2 或 3 或 2【分析】先利用导数得到 f（ x）在（，0）上的单调性及最值，再画出 f（x）在 R上的图象，利用 ym 与 yf（x ）的图象有两个不同的交点可得 x1+x2 的值【解答】解：当 x0 时，f（x）xe x，f（x）（x +1）e x，当 x1 时，f（x）0，故 f（x ）在（，1）上为减函数，第 14 页（共 27 页）当1x0 时，f（x）0，故
24、f（x ）在（1，0）上为增函数，当 x0 时，f（x）的最小值为 f（1） 又在 R 上，f（x）的图象如图所示：g（x）有两个不同的零点，方程 f（x）m 有两个不同的解即直线 ym 与yf（x）有两个不同交点且交点的横坐标分别为 x1，x 2，故 1m2 或 m0 或m ，若 1m2，则 x1+x22若 m0，则 x1+x23若 m ，则 x1+x21+3+ 2+ 综上，x 1+x2 2 或 3 或 2+ 故选：D【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分段函数的性质、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小
25、题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上）13 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 zxy 的最大值为 2 【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线可得 z 的最大值【解答】解：不等式组对应的可行域如图所示：第 15 页（共 27 页）平移动直线 xy z0 至 A 时，z 有最大值，又 得 A（2，0） ，故 zmax2故答案为：2【点评】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如 3x+4y 表示动直线 3x+4yz0 的横截距的三倍，而 则表示动点 P（x，y ）与（1，2）的连线的斜率14 （5 分）
26、在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足2cosC，则角 C 的大小为 【分析】利用正弦定理将边化角，属于两角和的正弦函数公式化简，求出 cosC 的值【解答】解： 2cosC，acosC+bcosA2ccosC，sinAcosC+sin BcosA2sinCcosC，即 sin（A+B）2sinCcos C，sin（A+B ）sinC ，cosC ，C 故答案为： 【点评】本题考查了正弦定理，两角和的正弦函数，属于中档题15 （5 分）过抛物线 y22px 的焦点 F 的直线 l 与抛物线分别交于第一、四象限内的A、B 两点，分别以线
27、AF、BF 的中点为圆心，且均与 y 轴相切的两圆的半径为第 16 页（共 27 页）r1、r 2若 r1： r21：3，则直线 l 的倾斜角为 【分析】过 A，B 作准线 x1 的垂线，垂足分别 D，E，过 A 作 BE 的垂线，垂足为S利用抛物线的几何性质可以得到 ADAF，BFBE，在直角梯形中可求BS AB，从而可求得 ABS ，由后者得到直线的倾斜角【解答】解：由题设有 AF：BF1：3，设 AFx，BF3x，过 A，B 作准线 x1 的垂线，垂足分别 D，E，过 A 作 BE 的垂线，垂足为 S则 ADx，BE3x ，故 BS 2x，所以 cosABS ，
28、而ABS ，所以直线 l 的倾斜角为 故答案为： 【点评】一般地，圆锥曲线中与焦点有关的数学问题可以考虑用圆锥曲线的几何性质来转化，有两个转化的角度：（1）利用圆锥曲线的定义转化为与另一个焦点相关的数学问题；（2）利用圆锥曲线的统一定义把问题转化为与曲线上的动点到相应准线的距离问题16 （5 分）已知平面 上放置棱长为 2 的正四面体 ABCD，若该四面体绕棱 BC 旋转，使D 点到平面 的距离为 1，如图所示则点 A 到平面 的距离等于 【分析】A，D 和 A，D 在平面 内的射影构成直角梯形，而且射影的连线过 BC 的中第 17 页（共 27 页）点，在该直角梯形
29、中，通过解三角形的方法可求出 A 到平面 的距离【解答】解：过 A，D 作平面 的垂线，垂足分别为 F，E，连接 EF，则 EF 过 BC 中点 S，如图所示，在直角梯形 AFED 中，AD2，ASDS ，DE1所以 SE ，tan ，而 cosASD ，所以 tanASD2 ，因此 tan（ASD+ ESD） ，所以 tanASF ，故 sinASF ，所以 AFAS sinASF 【点评】本题考查空间中点到平面的距离的计算，应该通过作出垂足把距离放置在可解的平面图形中计算注意在平面图形中利用解三角形的方法（如正弦定理、余弦定理等）来求线段的长度、面积等意在考查学生的转化能力和计算求解能力考
30、查空间想象能力与思维能力，是中档题三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知各项均不为 0 的等差数列a n的前 n 项的和为 Sn，若 a815，且 a1，a 2，S 3 成等比数列（）求数列a n的通项公式与 Sn；（）设 bn ，数列b n的前 n 项的和为 Tn，求证： Tn 【分析】 （I）根据题设条件由等差数列的通项公式和求和公式得到关于首项和公差的两个方程，求出它们后可得通项公式和求和公式；第 18 页（共 27 页）（II）求得 bn （ ） ，利用裂项相消法可求 Tn，由不等式的性质可得原不等式成立【解答】解：（I）设等差数列 an的公差为 d
31、，则 a8a 1+7d15由 a1，a 2，S 3 成等比数列知 a22a 1S3，即（a 1+d） 2a 1（3a 1+3d） 所以 d2a 1 或 da 1，因 a1+da 20，于是 d2a 1，解得 a11，d2，则 an2n1，S n n 2；（II）证明：因 bn （ ） ，所以b n的前 n 项的和为 Tn （1 + + + + ） （1+ ） （ + ） 所以原不等式成立【点评】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号
32、有规律的出现，则用并项求和法18已知四棱锥 PABCD，BDAB，BAD60，BCD 为等边三角形，E 为 PD 的中点（）证明：CE平面 PAB；（）若PAD 为等腰三角形，PAPD，且 AD ，求二面角 BPAD 的余弦值【分析】 （I）取 AD 得中点 F，连接 EF，则 EFPA，从而得到 EF平面 PAB在四边形 ABCD 中，可证 ABCF，从而 CF平面 PAB，因此平面 PAB平面 CEF，由此能证明 CE平面 PAB第 19 页（共 27 页）（II）连接 BF，作 BGAD 于 G 点，作 GHAP 于 H 点，连接 BH，可证BHG 为二面角 BPAD 的平面角，在 Rt
33、BGH 中，cos ，从而可得二面角的余弦值【解答】证明：（I）取 AD 中点 F，连接 EF，则 EFPA，又 EF平面 PAB，PA 平面 PAB，所以 EF平面 PAB连接 CF，由ADB30，CDB60，可知ADC90，且 CDBD ，则DFC60，所以 ABCF，又 CF平面 PAB，AB平面 PAB，所以 CF平面 PAB，而 EFCF F，所以平面 PAB平面 CEF又因为 CE平面 CEF，所以 CE平面 PAB解：（II）连接 BF，因为PAD 为等腰直角三角形，则 PF 而 BF ，且 AD ，所以 PFBF又 PFAD ，ADBFF，所以 PF平面 ABCD，而 PF平面
34、 PAD，所以平面 APD平面 ABCD，作 BGAD 于 G 点，作 GHAP 于 H 点，连接 BH，因平面 APD平面 ABCDAD，BG 平面 ABCD，所以 BG平面 APD又 AP平面 APD，所以 BG AP，因为 BGGH G，则 AP平面 BGH，BH 平面 BGH，所以 BHAP所以BHG 为二面角 BAPD 的平面角不妨设 AD2a，则在 RtBGH 中，HG ，BG ，所以 HB a，所以 cos 所以二面角 BPA D 的余弦值为 【点评】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法第 20 页（共 27 页）是平行投影或中心投影，我们也可以通
35、过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算19某乡镇为了打赢脱贫攻坚战，决定盘活贫困村的各项经济发展要素，实施了产业、创业、就业“三业并举”工程在实施过程中，引导某贫困村农户因地制宜开展种植某经济作物该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为 k，其质量指标的等级划分如表：质量指标值 k 产品等级k90 优秀80k 90 良好75k 80 合格k75 不合格为了解该类经济作物在当地的种植
36、效益，当地引种了甲、乙两个品种并随机抽取了甲、乙两不品种的各 10000 件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到下面产品质量指标值频率分布直方图（图甲和图乙） （）若将频率视为概率，从乙品种产品中有放回地随机抽取 3 件，记“抽出乙品种产品中至少 1 件优等品”为事件 A，求事件 A 发生的概率 P（A） ；（结果保留小数点后 3第 21 页（共 27 页）位）（）若甲、乙两个品种的销售利润率 y 与质量指标值 k 满足下表：质量指标值 k k90 80 k90 75 k80 k75销售利润率 y 3t 5t2 t2 t其中 试分析，从长期来看，种植甲、乙哪个品种的平均利润率较大？【分析】
37、（I）先根据频率分布直方图得到 “从乙品种产品中抽取一件为优等品”的概率，再利用二项分布可求 P（A） （II）根据甲乙的频率分布直方图得到各自的利润率的分布列，求出利润率的数学期望后可比较两者的平均利润率谁较大【解答】 【详解】 （I）设“从乙品种产品中抽取一件为优等品”的概率为 P，则根据频率分布直方图可得 P（0.03+0.08+0.04+0.02）50.85，则 P（A）1 10.15 30.997（II）由频率分布直方图可得，甲品种产品的利润率的分布列为y 3t 5t2 t2p 0.2 0.7 0.1 E（y） 甲 0.2 3t+0.75t2+0.
38、1t23.6t 2+0.6t乙品种产品的利润率的分布列为y 3t 5t2 t2 tp 0.3 0.55 0.1 0.05 E（y） 乙 0.3 3t+0.555t2+0.1t2+0.05（t ）2.85t 2+0.85tE（y） 甲 E （y ） 乙 3.6t 2+0.6t（2.85t 2+0.85t）0.75t 20.25t0.25t （3t1） 由于 ，所以 E（y ） 甲 E（y ） 乙 0，即 E（y） 甲 E（y） 乙 故种植乙品种的平均利润率较大【点评】频率分布直方图中，各矩形的面积之和为 1，注意直方图中，各矩形的高是，在计算离散型随机变量的概率时，注意利
39、用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等） 属于中档题20在平面直角坐标系 xOy 内，有一动点 P 到直线 x 的距离和到点（ ）的第 22 页（共 27 页）距离比值是 （）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（）已知点 A（2，0） ，若 P 不在 x 轴上，过点 O 作线段 AP 的垂线 l 交曲线 C 于点D，E，求 的取值范围【分析】 （）设动点 P 的坐标为（x，y ） ，根据其几何性质得到相应的坐标方程，化简后可得曲线 C 的方程（）设直线 AP 的方程为 yk （x2） ，则直线 DE 的方程为 y ，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理求出 P、D 的坐标后得到
40、最后利用换元法可求该函数的值域【解答】解：（）设动点 P 的坐标为（x，y ） ，根据题意得 ，化简得曲线 C 的方程为： ；（）P 不在 x 轴上，故直线 AP 的斜率不为 0，设直线 AP 的方程为 yk （x2） ，则直线 DE 的方程为 y 由联立 ，得（1+4k 2）x 216k 2x+16k240 设 P（x 0，y 0） ，则 ，即 故|AP| 设 D（x 1，y 1） ，由椭圆对称性可知|DE|2| OD|由 ，解得 ， ，|OD| ，|DE|4 第 23 页（共 27 页） 设 t ，则 k2t 24，t 2（t2） 令 g（t） （t2） ，则 g（t） 0g（t）是一个增
41、函数， 综上， 的取值范围是（ ，+） 【点评】求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程，利用直线过已知点（在椭圆上）可求直线与椭圆的另一个交点坐标（用斜率表示） ，再由距离公式得到目标函数后利用换元法可求函数的值域21已知函数 f（x ）axe bx（其中 e 是自然对数的底数，
42、aR，bR）在点（1，f（1） ）处的切线方程是 2exy e0（）求函数 f（x ）的单调区间；（）设函数 g（x） mxlnx，若 g（x）1 在 x（0，+ ）上恒成立，求实数 m 的取值范围【分析】 （I）根据切线方程得到 ，解出 a，b 的值后利用导数可得 f（x）的单调区间（II）g（x）1 在（0，+）上恒成立等价于 m 在（0，+）上恒成立利用导数可求 h（x） 的最小值我们也可以利用函数不等式第 24 页（共 27 页）tlnt+1 得 xe2xln（xe 2x）+1lnx+2x+1，从而变形后可得 h（x ） 的最小值两种方法都可以得到 m 的取值范围【解答】解：（I）由条
43、件可知 ，对函数 f（x）axe bx 求导得 f（x）a（1+bx）e bx，于是 ，解得 ab1所以 f（x）xe x，f（x）（1+x）e x，令 f（x） 0 得 x1，于是当（，1）时，f （x ）0，函数 f（x）单调递减；当（1，+）时，f（x ）0，函数 f（x）单调递增故函数 f（x）的单调递减区间为（，1） ，单调递增区间为（1，+）（II）由（I）知 g（x ）xe 2xmxlnx，解法 1：要使 g（x）1 在（0，+）上恒成立，等价于 m 在（0，+）上恒成立令 h（x） ，则只需 mh（x） min 即可h（x） 令 H（x）2x 2e2x+lnx， （x 0） ，
44、则 H（x） ，所以 H（x ）在（0，+）上单调递增，又 H（ ） 0， H（1）2e 20，所以 H（x）有唯一的零点 x0，且x01，H（x 在（0，x 0）上单调递减，在（x 0，+）上单调递增，因 +lnx00，两边同时取自然对数，则有 2x0+ln（2x 0）+lnx 0ln（lnx 0） ，即 2x0+ln（2x 0）ln（lnx 0）+（lx 0） ，构造函数 m（x）x+lnx，x0，则 m（x）1+ 0，所以函数 m（x）在 （0，+）上单调递增，第 25 页（共 27 页）因 m（2x 0）m（lnx 0） ，所以 2x0lnx 0，即 ，所以 h（x）h（x 0） 2，
45、即 h（x） min2，于是实数 m 的取值范围是（ ，2 解法 2：要使 g（x）1 在（0，+）上恒成立，等价于 m 在（0，+）上恒成立先证明 tlnt+1，令 Q（t）t lnt1，t0，则 Q（t） 于是当 t（0，1）时，Q（ t）0，Q （t ）单调递减；当 t（1，+）时，Q（t）0，Q（t）单调递增，所以 Q（t）Q （1）0，故 tlnt+1（当且仅当 t1 时取等号） 所以当 x0 时，有 xe2xln（xe 2x）+1lnx+2x+1，所以， ，即 ，当且仅当 xe2x1 时取等号，于是实数 m 的取值范围是（ ，2 【点评】曲线在某点处的切线蕴含曲线对应的函数在点的横
46、坐标处的值及其导数值含参数的不等式的恒成立问题，应优先考虑参变分离的方法，把恒成立问题转化为函数的最值（或最值的范围）问题来处理，有时新函数的最值点（极值点）不易求得，可采用设而不求的思想方法，利用最值点（极值点）满足的等式化简函数的最值可以相应的最值范围请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （其中 t 为参数） 以坐标原点 O 为原点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为sin（ ） （）写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；（）设点 P，Q 分别在曲线 C1，C 2 上运动，若 P，Q 两点间距离的最小值为 2 ，求实数 m 的值【分析】 （I）消去参数后可得 C1 的普通方程，利用 可得 C2 的直角方程第 26 页（共 27 页）（II）利用 PQ 的最小值得到圆心到直线的距离，从而可求出 m【解答】解（I）曲线 C1：x+ym +10；曲线 C2
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