1、第 21 讲 数字问题内容概述各种与数字有关的数字谜问题学会位值原理的分析方法；综合应用已学的数字谜技巧和数论知识典型问题兴趣篇1一个两位数等于它的数字和的 6 倍，求这个两位数2今年是 2008 年，小王说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同” 请问：小王今年多大？3用 3 个不同的数字能组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是 2886，求 6 个三位数中最小的一个4有一个两位数，在它前面加上数字“3”可以得到一个三位数；在它后面加上数字“3”也得到一个三位数；在它前、后各加一个数字“3”得到一个四位数，已知得到的三个数总和为 3600，求原来的两位数5有 A、B 两
2、个整数，A 的各位数字之和为 35，B 的各位数字之和为 26，且两数相加时进位三次，求 A+B 的各位数字之和6有些三位数，如果它本身增加 3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数各位数字之和的 ，求所有这样的三位数317一张卡片上写了一个五位数，李老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数，这个五位数比原来的五位数小 71355.问：原来卡片上写的五位数是多少？8有一个四位数 ，它是由 M 个 2 的积与 N 个 9 的积相乘得到的，求这个四位数N929如果 是 27 的倍数，那么 n 最小是几？ 312个n10从 1 至 9 这 9 个数中选出 8 个不同的数字，组成能被
3、24 整除的八位数试问：在这样的八位数中，最大的和最小的分别是多少？拓展篇1在一个两位数的两个数字中间加一个 0，所得的三位数比原数大 8 倍，求这个两位数2把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自然数的平方请问：这个和是多少？3有一个三位数是 8 的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是 1111.请问：原来的三位数是多少？4在等式“ 5= 8”中，相同的汉字表示相同的数字，不习习同的汉字表示不同的数字， “学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？5在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的
4、9 倍，在这样的三位数中最小的是多少？最大的是多少？6用 5、7、2、0、8 这 5 个数字组成两个没有重复数字的五位数，这两个五位数的差是66663，这两个数中较大的一个可能是多少？7有两个相邻的自然数，它们的各位数字之和均为 7 的倍数，这两个自然数中较小的数是多少？8记号 n!表示前 n 个正整数相乘，并且规定 0 ！=l，例如：4!=1 x2x3x4.每一个三位数都有一个 “对应数”：a！+ b! + c!，例如：254 的对应数是 2 !+5 !+4 !=146.请问：对应abc数与自身相同的三位数是什么？9如果修改 31743 的某一个数字，可以得到 823 的倍数，那么修改后的这
5、个数是多少？10如果 是 1998 的倍数，那么 n 最小是多少？ 2个n111 至 9 这 9 个数字，按图 21-1 所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在 l 和 7 之间剪开，得到的两个数是193426857 和 758624391） 如果要求剪开后得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？12各位数字互不相同的八位数中，能被 72 整除的数最小是多少？最大是多少?超越篇1用 3 个不同的数字可以组成 6 个三位数，已知其中的 5 个的和是 3194，求剩下的那个数是多少2一个数是它的数字和的
6、88 倍，求所有满足条件的正整数3两个自然数，差是 98，各自的各位数字之和都能被 19 整除试问：满足要求的最小的一对数之和是多少？4如果 是 756 的倍数，那么 n 最小是多少？231个n5包含 0 至 9 这 10 个数字的十位数称为“十全数”求满足以下条件的所有的十全数：它的千位是 7；从左往右数，它的第一位能被 1 整除，前两位组成的两位数能被 2 整除，前三位组成的三位数能被 3 整除前十位组成的十位数能被 10 整除6由 8 个不同的数字组成的八位数中，能被 396 整除的数最大是多少？最小是多少？7最多有多少个连续自然数，它们的各位数字之和都不是 11 的倍数？请举例8用 0
7、 至 9 这 10 个数字组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个，使它们都是非零的完全平方数，第 21 讲 数字问题内容概述各种与数字有关的数字谜问题学会位值原理的分析方法；综合应用已学的数字谜技巧和数论知识典型问题兴趣篇1一个两位数等于它的数字和的 6 倍，求这个两位数答案：54解析：设十位数为 a，个位数为 b，则 10a+b=（a+b）x6，解得 a=5，b=4。2今年是 2008 年，小王说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同” 请问：小王今年多大？答案：23 岁或 5 岁解析：假设在 2000 年后的 200A 年出生，则 2008-200A=2+0+0+A,解得 A
8、=3，即 2003 年，现在 5 岁；若在 2000 年前出生，则应该介于 1980 年至 1989 年之间，设为 198B 年出生，则 1+9+8+B=2008-198B，解得 B=5，即 23 岁3用 3 个不同的数字能组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是 2886，求 6 个三位数中最小的一个答案：139解析：一共可以组成 6 个不同的三位数，且每个数字在百位、十位、个位上共出现 6 次，设这三个数为a、b、c ，则（a+b+c ）2111=2886，a+b+c=13，百位最小为 1，十位取 3，则最小的一个数为 1394有一个两位数，在它前面加上数字“3”可以得到一个三位数
9、；在它后面加上数字“3”也得到一个三位数；在它前、后各加一个数字“3”得到一个四位数，已知得到的三个数总和为 3600，求原来的两位数答案：14解析：设这个两位数为 ab，前面加个 3 为 3ab，后面加个 3 是 ab3，前后都加 3 为 3ab33 a ba b 3+ 3 a b 33 6 0 0通过上面竖式，可知 a=1，b=45有 A、B 两个整数，A 的各位数字之和为 35，B 的各位数字之和为 26，且两数相加时进位三次，求 A+B 的各位数字之和答案：34解析：用假设法，设 A=9990224，B=6776，满足要求，A+B=9997000,9+9+9+7+0+0=346有些三位
10、数，如果它本身增加 3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数各位数字之和的 ，求所有这样的三位数31答案：117,108 和 207解析：数字和减少，肯定有进位，进一位数字和减少 9，加 3 后减少 9，说明数字和减少了6，设这个三位数为 abc， （a+b+c-6）x3= a+b+c，可得（1.1.7） ， （1,0,8） （2,0,7）三组解。7一张卡片上写了一个五位数，李老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数，这个五位数比原来的五位数小 71355.问：原来卡片上写的五位数是多少？答案：90961解析：设这个五位数为 abcde，倒过来后为 edcba，且这个数由 0、
11、1、6、8、9 组成，列竖式有:a b c d e- e d c b a7 1 3 5 5则 a=9，e=1，b=0，d=6 ，c=98有一个四位数 ，它是由 M 个 2 的积与 N 个 9 的积相乘得到的，求这个四位数N92答案：2592解析：这个数必定为 2 和 9 的倍数，N 为偶数，2+M+N+9=9k，可得 M=5，N=29如果 是 27 的倍数，那么 n 最小是几？ 31个n答案：5解析： 3=411（共 n 个 1） ，这个数是 9 的倍数，4+n1=9k，n 最小取 5 32个n10从 1 至 9 这 9 个数中选出 8 个不同的数字，组成能被 24 整除的八位数试问：在这样的
12、八位数中，最大的和最小的分别是多少？答案：最大 98764512，最小 12345768解析：24=3x8,1 至 9 的和为 45，舍去的数可以为 3,6,9，最大舍去 3 后为 98765421，调整末三位可以被 8 整除，可得 98764512，同理，舍弃 9 后可以组成最小的八位数 12345678，调整后三位可得最小 12345768.拓展篇1在一个两位数的两个数字中间加一个 0，所得的三位数比原数大 8 倍，求这个两位数答案：45解析：大 8 倍等同于扩大 9 倍，设这个数为 ab，则 100a+b=9a+9b，可得 a=4，b=52把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新
13、数，新数与原数的和恰好是某个自然数的平方请问：这个和是多少？答案：121解析：设这个数为 ab，调换后为 ba，个位和十位都是 a+b,所以 ab+ba=（a+b）x11，a+b 最小为 11，所以这个和最小为 1213有一个三位数是 8 的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是 1111.请问：原来的三位数是多少？答案：704解析：设这个数为 abc，100a+10b+c+a+10b+100c=1111,101(a+c)+20b=1111 ，可得a+c=11,b=0，且这个数为 8 的倍数，只能是 7044在等式“学习好勤动脑5=勤动脑学习好8”中，相同的汉字
14、表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字， “学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？答案：410256解析：学习好5000+勤动脑5=勤动脑8000+学习好8，解得学习好=205，勤动脑=128，由于不同的汉字表示不同的数字，所以各扩大 2 倍得到 4102565在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的 9 倍，在这样的三位数中最小的是多少？最大的是多少？答案：最小 125，最大 675解析：设原数为 abc，加入一个数字后为 abcd a b c 9a d b cc 为 5，最大 675，最小 1256用 5、7、2、0、8 这 5 个数字组成两个没有重复数
15、字的五位数，这两个五位数的差是66663，这两个数中较大的一个可能是多少？答案：87250 或 87520解析： + 不借位得到 6 有算式 8-2=6，借位得到 6 的有 7-0=6,2-5=6,5-8=6，可得 3 的有 10-7=3,8-5=3.将上述算式代入竖式可得答案。7有两个相邻的自然数，它们的各位数字之和均为 7 的倍数，这两个自然数中较小的数是多少？答案：69999解析：数字 A 的数字和为 7 的倍数，A+1 后的数字和也是 7 的倍数，肯定有进位，每进一位数字和减少 9，9n+1=7k，n 可以取 4，进位后为几万，只有 70000 满足，所以小一点的是 699998记号
16、n!表示前 n 个正整数相乘，并且规定 0 ！=l，例如：4!=1 x2x3x4.每一个三位数都有一个 “对应数”：a！+ b! + c!，例如：254 的对应数是 2 !+5 !+4 !=146.请问：对应abc数与自身相同的三位数是什么？答案：145解析,6！=720，5!=120，4!=24,a 4，三个数最大的为 4 或者 5，从 105 开始试，115,125,135，145 满足条件9如果修改 31743 的某一个数字，可以得到 823 的倍数，那么修改后的这个数是多少？答案：33743解析：31743823=38469,823-469=354，只能改变万位和千位，2000823=
17、2354 满足要求，所以 31743+2000=3374310如果 是 1998 的倍数，那么 n 最小是多少？ 2个n答案：27解析：1998=2999， 本身是偶数，只要满足 999 的倍数就可以，用三位截断法， 2个n可得 222n3=999k，n 最小取 27.111 至 9 这 9 个数字，按图 21-1 所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在 l 和 7 之间剪开，得到的两个数是193426857 和 758624391） 如果要求剪开后得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？答案：19=
18、9,9 3=27,42=8,26=12,68=48，5 7=35解析：396=49 11，不管从哪剪开，得到的九位数都是由 19 组成，所以数字和为 45，肯定是 9 的倍数，假设在 l 和 7 之间剪开，得到的两个数是 193426857 和 758624391，他们除以 11 余数相同，那他们的差肯定是 11 的倍数，所以我们只要看是否满足差是 4 的倍数就可以，看看差的末两位就可以，从 1 和 9 之间剪开，差的末两位是 32，满足。从 9 和 3 之间剪开，差的末两位是 24，满足。从 3 和 4 之间剪开，差的末两位是 69，不满足。从 4 和 2 之间剪开，差的末两位是 28，满足
19、。从 2 和 6 之间剪开，差的末两位是 56，满足。从 6 和 8 之间剪开，差的末两位是 68，满足。从 8 和 5 之间剪开，差的末两位是 9，不满足。从 5 和 7 之间剪开，差的末两位是 68，满足。从 7 和 1 之间剪开，差的末两位是 34，不满足。所以，19=9,9 3=27,42=8,26=12,68=48，5 7=3512各位数字互不相同的八位数中，能被 72 整除的数最小是多少？最大是多少?答案：最小 10237896，最大 98763120解析：72=89，0 至 9 这十个数的和为 45，舍去两个数后是 9 的倍数，则舍去 4 和 5，最小为 10236789，调整末
20、三位为 8 的倍数，同理最大的数位 98763210，调整末三位为 8 的倍数可得答案。超越篇1用 3 个不同的数字可以组成 6 个三位数，已知其中的 5 个的和是 3194，求剩下的那个数是多少答案：358解析：一共可以组成 6 个不同的三位数，且每个数字在百位、十位、个位上共出现 6 次，设这三个数为a、b、c ，222（a+b+c）-abc=3194，22215-3194=136,1+3+ 615，舍弃；22216-3194=358,3+5+8=16，满足条件2一个数是它的数字和的 88 倍，求所有满足条件的正整数答案：1848,1056,1584解析：这个数不能使 2 位数，也不是 1
21、 位数，且五位数的数字和最多 45,4588 的积是四位数，不满足。所以这个数为三位数或四位数，若为三位数可设为 abc，abc=（a+b+c） 88，无解 99988 商 11，说明 a+b+c11，且 abc 本身是 8 和 11 的倍数，无解若为四位数设为 abck，1000a+100b+10c+d=（a+b+c+d）88，可得到912a+12b=78c+87d，a=1，然后解不定方程，可解得 1848,1056,15843两个自然数，差是 98，各自的各位数字之和都能被 19 整除试问：满足要求的最小的一对数之和是多少？答案：60096解析：98 不是 19 的倍数，所以，小一点的数加
22、 98 必须进位才能满足条件，一个数加 98，若不进位，数字和增加 9+8=17，进一位数字和减少 9,9n-17=19k，n=4 时，数字和减少了 19，数字和能被 19 整除，且进四位，数字和大于 19，所以选 38，最小的数为29999，29999+98+29999=600964如果 是 756 的倍数，那么 n 最小是多少？231个n答案：17解析：756=47 27，这个数是 4 的倍数，先让 3=44444，共有 n+1 位，只要231个n保证 n+1 是 6 的倍数，可保证这个数是 7 的倍数，同时 n+1 是 9 的倍数，可以保证这个数是 27 的倍数，所以 n+1 是 18，
23、n=175包含 0 至 9 这 10 个数字的十位数称为“十全数”求满足以下条件的所有的十全数：它的千位是 7；从左往右数，它的第一位能被 1 整除，前两位组成的两位数能被 2 整除，前三位组成的三位数能被 3 整除前十位组成的十位数能被 10 整除答案：3816547290解析：千位是 7，十万位是 5，个位是 0，8 的倍数中，十位是 7 的三位数有176、272、376、472、576、672、776、872、976，前六位是 6 的位数，万位上的数必定是偶数，只有 472 和 672、和 872 满足，所以百位是 2，亿位、百万位、和万位上刚好是 3 个偶数，且第三和第四位上的两个数应
24、该是 4 的倍数，所以第四位只能选 6，第三位为 1，前三位为 3 的倍数，所以第二位是 8，这时可以得到 3816547290 和 9816547230，看前七位是否为 7 的倍数来判断。6由 8 个不同的数字组成的八位数中，能被 396 整除的数最大是多少？最小是多少？答案：最大 98752104，最小 10238976解析：396=49 11,10 个数字的数字和为 45，舍弃的两个数的和为 9，剩下的数以降序排列，若舍弃 3 和 6 可得 98763210，保证满足 4 的倍数特征和 11 的倍数特征，可以得到93762108，若舍弃 4 和 5，然后降序排列可得 987543210，
25、调整后得到 98752104，所以选择较大的98752104.同理可得最小的数 10236789，调整后为 102389767最多有多少个连续自然数，它们的各位数字之和都不是 11 的倍数？请举例答案：38 个；解析：一个数的数字和为 11 的倍数，假设为 29，那么给它加 9 之后为 38，中间只有 8 个数数字和不是 11 的倍数。那么进一位的情况下，数字和减少了 9，则个位为 0 时，可以尽可能多的取数，比如 560，下一个数字和为 11 的倍数的数为 589，中间有 28 个数，这个过程中一共进位两次，如果进位 3 次，那么得到的数可能更多，那我们可以确定某数的后两位为 80，且需要进
26、位，那么给它前面填 9 就可以，9n+8=11k，n 最小取 4，可得数 999980，且至 1000019，中间共 38 个数。8用 0 至 9 这 10 个数字组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个，使它们都是非零的完全平方数，答案：3025,784,16,9；9025,784,36,1；2304,576,81,9；，7056,324,81,9解析：由于 0+1+2+9=45 是 9 的倍数，考虑完全平方数除以 3 的余数只有 1 和 0两种，所以，4 个完全平方数要不都是 3 的倍数，要不就有 1 个 3 的倍数，其余被 3 除余 1（1）完全平方数全是 3 的倍数，于是都应该是 9 的倍数，所以一位数只能用 9.，两位数取 36 或者 81，剩下的数的数字和为 27，分为两组，一组为 9，一组为 18.。可得到三位平方数 324 和 576.所以有两组答案。 （1）2304,576,81,9， （2）7056,324,81,9（2）只有一个是 3 的倍数，其余三个的数字和除以 3 余 1,若一位数是 9 的倍数，可得9,16,784,3025.若两位数数字和是 3 的倍数，则可得 9025,784,36,1
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