1、2019 年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）复数 z 满足 ，其中 i 是虚数单位，则| z|（ ）A1 B C D2 （5 分）集合 A ，Bx|mx10，若 BA，则满足条件的实数 m 组成的集合为（ ）A0 ，2 B1 ，3 C0 ，2，3 D0 ，1，23 （5 分）已知两个非零单位向量 ， 的夹角为 ，则下列结论不正确的是（ ）A 在 方向上的投影为 cosB 2 2CR， （ ） （ ）0D ，使 4 （5 分）已
2、知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S624，S 963，则 a4（ ）A4 B5 C6 D75 （5 分）函数 y ，x（， ）图象大致为（ ）A BC D6 （5 分）已知平面 、 两两垂直，直线 a、b、c 满足：a，b，c，则直线第 2 页（共 25 页）a、b、c 不可能满足以下哪种关系（ ）A两两垂直 B两两平行 C两两相交 D两两异面7 （5 分）安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于 5 分钟的概率为（ ）A B C D8 （5 分）设 aR，若（x
3、2+ ） 9 与（x ） 9 的二项展开式中的常数项相等，则 a（ ）A4 B4 C2 D29 （5 分）已知函数 f（x ） x+cosx，先将 f（x）图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变） ，再将得到的图象上所有点向右平移 （0）个单位长度，得到的图象关于 y 轴对称，则 的最小值为（ ）A B C D10 （5 分） 九章算术中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为 1，则该羡除的体积为（ ）A20 B24 C28 D3211 （5 分）已知 F 为抛物线
4、y24x 的焦点，O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，若点 A 在抛物线上，且 |AF| 5，则|PA|+| PO|的最小值为（ ）A B2 C D212 （5 分）定义在（0，+）上的函数 f（x ）满足 xf（x）1+x，且 f（1）2，不等式 f（x ）（a +1）x +1 有解，则正实数 a 的取值范围是（ ）A （0， B （0， ） C （0， D （0， ）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分第 3 页（共 25 页）13 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z3x+4y 的最大值为 1
5、4 （5 分）已知 an3 n1 ，b n ，数列b n的前 n 项的和为 Sn，则 S9 （用具体数字作答） 15 （5 分）设 F1，F 2 分别为双曲线 1（a0，b0）的左，右焦点，P 是双曲线的右支上的点，满足|PF 2|F 1F2|，且原点 O 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的离心率为 16 （5 分）正三棱锥 PABC 中， PAAB4 ，点 E 在棱 PA 上，且 PE3EA正三棱锥 PABC 的外接球为球 O，过 E 点作球 O 的截面 ， 截球 O 所得截面面积的最小值为 &nbs
6、p; 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一) 必考题：共 60分。17 （12 分）如图，等腰直角三角形 ABC 中，ACB 90，AB4，点 P 为ABC 内一点，且 tanPAB ，tanPBA （1）求 PA；（2）求APC18 （12 分）如图所示，菱形 ABCD 的边长为 2，D 60，点 H 为 DC 中点，现以线段AH 为折痕将菱形折起使得点 D 到达点 P 的位置且平面 PHA平面 ABCH，点 E，F 分别为 AB，AP 的中点（1）求证：平面
7、PBC平面 EFH；（2）求平面 PAH 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值第 4 页（共 25 页）19 （12 分）已知 B（1，0） ，C（1，0） ，且ABC 的周长为 2+2 ，记点 A 的轨迹为曲线 E，直线 l：y kx+ m（k0）与曲线 E 交于不同两点 M，N（1）求曲线 E 的方程；（2）是否存在直线 l 使得|BM| BN|？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由20 （12 分）网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如表所示：年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
8、时间代号 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9实体店纯利润y（千万）2 2.3 2.5 2.9 3 2.5 2.1 1.7 1.2根据这 9 年的数据，对 x 和 y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.254；根据后 5 年的数据，对 x 和 y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985；（1）如果要用线性回归方程预测该商场 2019 年实体店纯利润，现有两个方案：方案一：选取这 9 年的数据，进行预测；方案二：选取后 5 年的数据进行预测；从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适附：相关性检验的临界值表：小概率n20.05 0.013 0.8
9、78 0.959第 5 页（共 25 页）7 0.666 0.798（2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的 40%，既开网店又开实体店的占调查总人数的 20%，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽查了 5 位，求只开实体店的人数的分布列及期望21 （12 分） （1）讨论函数 f（x ） eax（a0）的单调性；（2）当 m0，1）时，求函数 g（x） 的最小值 h（m ）的值域(二)选考题(共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号)选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）
10、在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） P 是曲线 C1 上的动点，将线段 OP 绕 O 点顺时针旋转 90得到线段 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；（）在（）的条件下，若射线 与曲线 C1，C 2 分别交于 A，B 两点（除极点外） ，且有定点 M（ 4，0） ，求MAB 面积选修 4-5：不等式证明选讲23已知函数 f（x ）|ax +1|，若不等式 f（x）a 的解集为 （1）求 a 的值；（2）若存在 xR，使得不等式 f（x）a|x |+a+k 成立，求 k 的取
11、值范围第 6 页（共 25 页）2019 年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）复数 z 满足 ，其中 i 是虚数单位，则| z|（ ）A1 B C D【分析】由复数的运算及复数模的运算得：z 1i，故| z|，得解【解答】解：因为 ，所以 z 1i，故|z| ，故选：B【点评】本题考查了复数的运算及复数模的运算，属简单题2 （5 分）集合 A ，Bx|mx10，若 BA，则满足条件的实数 m 组成的集合为（ ）A0 ，2
12、B1 ，3 C0 ，2，3 D0 ，1，2【分析】根据题意，求出集合 A 的子集，分析可得若 BA，则 B 是 A 的子集，分别讨论 B 可能的情况，求出 m 的值，综合即可得答案【解答】解：根据题意，A ，则 A 的子集为、 、 、 ， ，若 BA，则 B 是 A 的子集，若 B，即方程 mx10 无解，此时 m0，若 B ，即方程 mx10 的解为 ，此时 m2，若 B ，即方程 mx10 的解为 ，此时 m3，若 B ， ，即方程 mx10 有两解，m 无解，综合可得：m 的值组成的集合为 0，2，3；故选：C第 7 页（共 25 页）【点评】本题考查集合包含关系的应用，注意 B 可能为
13、空集，属于基础题3 （5 分）已知两个非零单位向量 ， 的夹角为 ，则下列结论不正确的是（ ）A 在 方向上的投影为 cosB 2 2CR， （ ） （ ）0D ，使 【分析】由平面向量数量积的性质及其运算及平面向量模的运算，逐一检验即可得解【解答】解：对于选项 A， 在 方向上的投影为| |coscos，故 A 正确，对于选项 B， 1，故 B 正确，对于选项 C， （ ） （ ） 0，故 C 正确，对于选项 D， | | |cos1，1 ，故 D 错误，综上可知选项 D 错误，故选：D【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及平面向量模的运算，属中档题4 （5 分）已知等
14、差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S624，S 963，则 a4（ ）A4 B5 C6 D7【分析】利用等差数列前 n 项和公式列出方程组，求出 a11，d2，由此能求出 a4的值【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S624 ，S 963， ，解得 a11，d2，a 41+235故选：B【点评】本题考查数列的第 4 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用第 8 页（共 25 页）5 （5 分）函数 y ，x（， ）图象大致为（ ）A BC D【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可【解答】解：函数
15、 y 满足 f（x） f（x） ，函数为奇函数，排除 A，由于 f（ ） 1，f （ ） 0，f（ ） 0故排除 B，C故选：D【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力6 （5 分）已知平面 、 两两垂直，直线 a、b、c 满足：a，b，c，则直线a、b、c 不可能满足以下哪种关系（ ）A两两垂直 B两两平行 C两两相交 D两两异面【分析】利用面面垂直的性质画图判定【解答】解：如图 1，可得 a、b、c 可能两两垂直；如图 2，可得 a、b、c 可能两两相交；如图 3，可得 a、b、c 可能两两异面；第 9 页（共 25 页）故选：
16、B【点评】本题考查面面垂直的性质，属于基础题7 （5 分）安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于 5 分钟的概率为（ ）A B C D【分析】由几何概型中的线段型可得：P ，得解【解答】解：此人在 25 分钟到 30 分钟之间的 5 分钟内到达，等待时间不多于 5 分钟，由几何概型中的线段型可得：他等待时间不多于 5 分钟的概率为 P ，故选：B【点评】本题考查了几何概型中的线段型及对实际问题的解决能力，属中档题8 （5 分）设 aR，若（x 2+ ） 9 与（x ） 9 的二项展开式中的常数项相等，则 a（ &nb
17、sp;）A4 B4 C2 D2【分析】根据二项式定义的通项公式求出常数项建立方程进行求解即可【解答】解：（x 2+ ） 9 的通项公式为 Tk+1C 9k（x 2） 9k （ ）k C9kx182k 2kxk C 9k2kx183k ，由 183k0 得 k6，即常数项为 T6+1C 96268464，（x ） 9 的通项公式为 Tr+1C 9r（x） 9r （ ） rC 9rx9r arx2r C 9rakx93r ，由 93r0 得 r3，即常数项为 T3+1C 93a384a 3，两个二项展开式中的常数项相等，第 10 页（共 25 页）84a 38464，a 364，即 a4，故选：A
18、【点评】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式求出常数项，建立方程是解决本题的关键9 （5 分）已知函数 f（x ） x+cosx，先将 f（x）图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变） ，再将得到的图象上所有点向右平移 （0）个单位长度，得到的图象关于 y 轴对称，则 的最小值为（ ）A B C D【分析】由三角函数图象的平移得：函数解析式为 g（x）2sin2（x）+ 2sin（2x+ 2 ） ，由三角函数图象的性质得：由 yg（x）的图象关于 y 轴对称，则函数 yg（x ）为偶函数，即 k ，即 k ， （kZ）又 0，所以 的最小值为，得解，【解答】解：因为
19、f（x ） x+cosx，所以 f（x）2sin（x+ ） ，将 f（x）图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变） ，再将得到的图象上所有点向右平移 （ 0）个单位长度，得函数解析式为 g（x）2sin2（x ）+ 2sin （2x + 2） ，由 yg（x）的图象关于 y 轴对称，则函数 yg（x ）为偶函数，即 k ，即 k ， （kZ ）又 0，所以 的最小值为 ，故选：B【点评】本题考查了三角函数图象的平移及三角函数图象的性质，属中档题第 11 页（共 25 页）10 （5 分） 九章算术中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形已知一个羡除的三视图如图
20、粗线所示，其中小正方形网格的边长为 1，则该羡除的体积为（ ）A20 B24 C28 D32【分析】连接 CE，BE，DB ，由已知利用多面体体积 VV EABCD +VCBEF 求解【解答】解：连接 CE，BE，DB ，则 VE ABCD （6+2）4316，VCBEF 8这个羡除的体积 VV EABCD +VCBEF 16+824故选：B【点评】本题考查多面体体积的求法，训练了利用分割补形法及等积法求多面体的体积，是中档题11 （5 分）已知 F 为抛物线 y24x 的焦点，O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，若点 A 在抛物线上，且 |AF| 5，则|PA|+| PO|
21、的最小值为（ ）A B2 C D2【分析】利用抛物线的定义由|AF |5 得到 A 到准线的距离为 5，即可求出点 A 的坐标，根据：“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值【解答】解：|AF|5，由抛物线的定义得点 A 到准线的距离为 5，即 A 点的横坐标为4，又点 A 在抛物线上，第 12 页（共 25 页）从而点 A 的坐标为（4，4） ；坐标原点关于准线的对称点的坐标为 B（2，0） ，则|PA|+|PO| 的最小值为| AB| 2 ，故选：D【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解
22、决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题12 （5 分）定义在（0，+）上的函数 f（x ）满足 xf（x）1+x，且 f（1）2，不等式 f（x ）（a +1）x +1 有解，则正实数 a 的取值范围是（ ）A （0， B （0， ） C （0， D （0， ）【分析】由题意求得 f（x ） ，得出 f（x） ，再把不等式 f（x ）（a+1 ）x +1 化为 a，设 g（x） ，x 0，利用导数求出函数 g（x ）的最大值，即可得出正实数 a 的取值范围【解答】解：由 xf（x ）1+x，得 f（x） +1，f（x）lnx+ x+c；由 f（1）1+c2
23、，得 c1；所以不等式 f（x ）（a+1）x+1 化为 lnx+x+1（a+1 ） x+1，a ，g（x） ，x 0，g（x） ，g（x ）0，x e，所以 x（0，e）时，g（x）0，函数 g（x）单调递增；第 13 页（共 25 页）x（e，+）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减；所以 xe 时函数 g（x ）取得最大值为 g（e） ；要使不等式有解，则正实数 a 的取值范围是（0， 故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则
24、目标函数 z3x+4y 的最大值为 16 【分析】先画出实数 x，y 满足 的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数 z3x+4y 的最大值【解答】解：由实数 x，y 满足 得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为 A（0，4） ，B（0，1） ，C（4，0）将三个代入得 z 的值分别为 16，4，12直线 z3x+4y 过点 （1，3）时，z 取得最大值为 16；故答案为：16【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法” ，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证，求出最优解第 14 页（共 25
25、 页）14 （5 分）已知 an3 n1 ，b n ，数列b n的前 n 项的和为 Sn，则 S9 1533 （用具体数字作答） 【分析】利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：a n3 n1 ，b n ，b n 32 n1 数列b n的前 n 项的和为 Sn，则 S93 1533故答案为：1533【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15 （5 分）设 F1，F 2 分别为双曲线 1（a0，b0）的左，右焦点，P 是双曲线的右支上的点，满足|PF 2|F 1F2|，且原点 O 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的离心率为
26、 【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率【解答】解：依题意|PF 2|F 1F2|，可知三角形 PF2F1 是一个等腰三角形，F 2 在直线PF1 的投影是其中点，由勾股定理可知|PF 1|4b，原点 O 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实半轴长，根据双曲定义可知 2bc+a，整理得 c2ba，代入 c2a 2+b2 整理得 3b24ab0，求得 ，双曲线的离心率为：e 故答案为： 【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题16 （5 分）正三棱锥 PA
27、BC 中， PAAB4 ，点 E 在棱 PA 上，且 PE3EA正第 15 页（共 25 页）三棱锥 PABC 的外接球为球 O，过 E 点作球 O 的截面 ， 截球 O 所得截面面积的最小值为 3 【分析】利用直角三角形的三边，利用勾股定理求出球的半径，再求出球心到点 E 的距离，当截面圆面积最小时，球心到点 E 的距离最远（即 OE） ，即可求出最小的截面圆面积【解答】解：设 Q 为正三棱锥底面 ABC 的中心，球的半径为 r，则CQ ACsin60 ，三角形 PQC 为直角三角形，PQ ，设球心为 O，连接 OP，OE ，OA，则在直角三角形 OQC 中，OCr，QCr ，由 r2QC
28、2+QO2 得：，解得：r2 取 PA 中点 F，连接 OF，因为 OPOA r，所以 OFPA ，又因为 PA4，E 为 PA 的四等分点，所以 EF1，PF2，所以 OF ，OE ，当 OE 垂直于过E 的截面时，此截面面积最小，设此时截面圆的半径为 R，则 R ，故此时截面圆的面积为 R23故填：3【点评】本题考查了球的截面圆问题，对计算能力和空间想象能力都有较高的要求，属于难题三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，第 16 页（共 25 页）每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一) 必考题：共
29、60分。17 （12 分）如图，等腰直角三角形 ABC 中，ACB 90，AB4，点 P 为ABC 内一点，且 tanPAB ，tanPBA （1）求 PA；（2）求APC【分析】 （1）在PAB 中，先计算 sinAPB，再根据正弦定理计算 PA；（2）先利用余弦定理计算 PC，再根据正弦定理计算 sinAPC【解答】解：（1）tanPAB ，tanPBA sinPAB ，cos PAB ，sinPBA ，cos PBA ，sinAPB sin（PAB+ PBA） + ，在PAB 中，由正弦定理可得： ，即 ，解得 AP （2）ABC 是等腰直角三角形，ACB 90，AB4，AC2 ，CAB
30、45，sinCAPsin（45PAB） ，cosCAP ，在PAC 中，由余弦定理得 PC2PA 2+AC22PAACcosPAC ，PC 由正弦定理可得 ，即 ，解得 sinAPC 1，APC90第 17 页（共 25 页）【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，属于中档题18 （12 分）如图所示，菱形 ABCD 的边长为 2，D 60，点 H 为 DC 中点，现以线段AH 为折痕将菱形折起使得点 D 到达点 P 的位置且平面 PHA平面 ABCH，点 E，F 分别为 AB，AP 的中点（1）求证：平面 PBC平面 EFH；（2）求平面 PAH 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值【分析】
31、（1）推导出四边形 BCHE 为平行四边形，从而 BCEH，进而 EH平面PBC，推导出 EFBP，从而 EF平面 PBC，由此能证明平面 EFH平面 PBC（2）以 HA，HC，HP 所在直线分别为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 PAH 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）菱形 ABCD 中，E，H 分别为 AB，CD 的中点，BE CH，四边形 BCHE 为平行四边形，则 BCEH ，又 EH平面 PBC，EH平面 PBC，又点 E，F 分别为 AB，AP 的中点，则 EFBP，EF 平面 PBC，BP平面 PBC，EF平面 PBC，EFE
32、H E，平面 EFH平面 PBC解：（2）菱形 ABCD 中，D 60，则ACD 为正三角形，AHCD，AH ，DHPHCH1，折叠后，PHAH，又平面 PHA平面 ABCH，交线为 AH，PH平面 ABCH，AH CD，HA，HC，HP 三条线两两垂直，以 HA，HC，HP 所在直线分别为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，第 18 页（共 25 页）则 P（0，0，1） ，C（0，1， 0） ，B （ ） ，（ ） ， （0，1，1） ，设平面 PBC 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 x1，得 （1， ） ，平面 PAH 的法向量 （0，1，0） ，cos ，平面 PAH 与平面
33、 PBC 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）已知 B（1，0） ，C（1，0） ，且ABC 的周长为 2+2 ，记点 A 的轨迹为曲线 E，直线 l：y kx+ m（k0）与曲线 E 交于不同两点 M，N（1）求曲线 E 的方程；（2）是否存在直线 l 使得|BM| BN|？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由【分析】 （1）ABC 的周长为 2+2 ，可得| AB|+|AC|2 2|BC| ，曲线 E 为椭圆，已知 B，C 为焦点， （去掉
34、椭圆的长轴的两个端点） 即可得出（2）假设存在直线 l 使得|BM| BN|，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，线段 MN 的中点为G（x 0，y 0） 直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k 2）x 2+4kmx+2m220，0，第 19 页（共 25 页）化为：m 22k 2+1利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得：线段 MN 的垂直平分线为：y （x+ ） ，把 x1 代入可得： y，进而判断出结论【解答】解：（1）ABC 的周长为 2+2 ，|AB|+|AC|2 2| BC|，曲线 E 为椭圆，已知 B，C 为焦点， （去掉椭圆的长轴的两个端点） 设椭圆的标准方程为
35、： + 1（ab0） 2a2 ，c1，b 1曲线 E 的方程为： +y21 （y0） （2）假设存在直线 l 使得|BM| BN|，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，线段 MN 的中点为G（x 0，y 0） 联立 ，化为：（1+2k 2）x 2+4kmx+2m220，16k 2m24（1+2 k2） （2m 22）0，化为：m 22k 2+1x1+x2 ，可得 x0 ，y 0kx 0+m 可得线段 MN 的垂直平分线为：y （x+ ） ，把 x1 代入可得：y （1+ ） 0，则 1+2k2km0，又 m22k 2+1消去 m 可得：k 21故不存在直线 l 使得|BM| B
36、N|【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、线段的垂直平分线的性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20 （12 分）网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如表所示：年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018第 20 页（共 25 页）时间代号 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9实体店纯利润y（千万）2 2.3 2.5 2.9 3 2.5 2.1 1.7 1.2根据这 9 年的数据，对 x 和 y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.2
37、54；根据后 5 年的数据，对 x 和 y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985；（1）如果要用线性回归方程预测该商场 2019 年实体店纯利润，现有两个方案：方案一：选取这 9 年的数据，进行预测；方案二：选取后 5 年的数据进行预测；从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适附：相关性检验的临界值表：小概率n20.05 0.013 0.878 0.9597 0.666 0.798（2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的 40%，既开网店又开实体店的占调查总人数的 20%，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽
38、查了 5 位，求只开实体店的人数的分布列及期望【分析】 （1）选取方案二更合适，理由是中介绍了，随差网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击，2019 年的实体店纯利润收入可能会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据中相关系数|r|越接近 1，线性相关性越强，根据 9 年的数据得到的相关系数的绝对值 0.9850.959，从而有 99%的把握认为 y 与 x具有线性相关关系（2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了 1 位，开网店的概率为 ，开实体店的概率为 ，设只开实体店的店主人数为 ，则0，1，2，3，4，5，B（5， ） ，由此能求出 的分布列和 E（）
39、【解答】解：（1）选取方案二更合适，理由如下：第 21 页（共 25 页）中介绍了，随差网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击，从表格中可以看出从 2014 年开始，纯利润呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019 年的实体店纯利润收入可能会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据相关系数 |r|越接近 1，线性相关性越强，根据 9 年的数据得到的相关系数的绝对值 0.9850.959，有 99%的把握认为 y 与 x 具有线性相关关系（2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了 1 位，开网店的概率为 ，开实体店的概率为 ，设只开实体店的店主人数为 ，则 0，1，2
40、，3，4，5，B（5， ） ，P（0） ，P（1） ，P（2） ，P（3） ，P（4） ，P（5） ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 5P B（5， ） ，E（）5 2【点评】本题考查方案的确定，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查线性回归方程、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21 （12 分） （1）讨论函数 f（x ） eax（a0）的单调性；第 22 页（共 25 页）（2）当 m0，1）时，求函数 g（x） 的最小值 h（m
41、 ）的值域【分析】 （1）求函数的定义域和导数，结合函数单调性和导数之间关系进行判断即可（2）求出函数 g（x）的导数，研究函数的单调性和极值，求出 g（x）的最小值h（m）的解析式，利用导数研究函数的单调性和值域即可【解答】解：（1）函数的 定义域为x|x1，函数的导数 f（x ）e ax + ，若 0a2，则 x（，1）（1，+）时 f（ x）0，若 a2，则 x（，1）（1， ）（ ，+）时 f（x）0，x（ ， ）时，f（x）0，即当 0a2 时，函数的单调递增区间为（，1）和（1，+） ，当 a2 时，函数的 单调递增区间为为（，1）和（1， ）和（，+） ，单调递减区间为（ ， ）
42、 （2）g（x） （ +m） ，m0，1） ，由（1）知，当 x0 时，h（x） 单调递增，且值域为（1，+） ，存在唯一的 t 使得 e m，m0，1） ，m（1， 0，而 h（0）1，h（1）0，t （0，1当 x（0，t） ，时，g（x ） 0，g（x ）单调递减，第 23 页（共 25 页）当 x（t，+）时，g（x ） 0，g（x ）单调递减增，h（m） ，记 k（t） ，在 t（0，1 时，k （t） 0，且 k（t ）0，当且仅当 t1 时，k（t）单调递增，且 k（0）0，k（1） k（t）（0， ，即 h（m）的值域为（0， 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最
43、值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题(二)选考题(共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号)选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） P 是曲线 C1 上的动点，将线段 OP 绕 O 点顺时针旋转 90得到线段 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；（）在（）的条件下，若射线 与曲线 C1，C 2 分别交于 A，B 两点（
44、除极点外） ，且有定点 M（ 4，0） ，求MAB 面积【分析】 （）直接利用参数方程和直角坐标方程为的转换求出结果（）利用直线和曲线的位置关系式的应用，利用向量的数量积的运算，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果【解答】解：（）由题设曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） 转换为直角坐标方程为：x 2+（y1） 21，即 x2+y22y0，将线段 OP 绕 O 点顺时针旋转 90得到线段 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2故 C1 的极坐标方程为 22sin 0，即 2sin第 24 页（共 25 页）设点 Q（， ） （0） ，则由已知得 ，代入 C1 的极坐标方程得 ，即 C2 的
45、极坐标方程为 2cos（0） （）将 代入 C1，C 2 的极坐标方程得 ，又因为 M（4，0） ，所以，所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，向量的数量级向量的数量积的运算，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式证明选讲23已知函数 f（x ）|ax +1|，若不等式 f（x）a 的解集为 （1）求 a 的值；（2）若存在 xR，使得不等式 f（x）a|x |+a+k 成立，求 k 的取值范围【分析】 （1）由题意可得 a0，即可求出 f（x ）a 为1 x1 ，根据不等式 f（x）a 的解集
46、为 ，即可求出 a 的值，（2）转化为 2+k|2x +1|2x| ，设 g（x）|2x+1| |2x|，求出函数 g（x）的最小值即可求出 k 的范围【解答】解：（1）函数 f（x）|ax+1|，不等式 f（x）a 的解集为 |ax +1|a，则 a0，aax+1a，1 x1 ，1 ，且 1 ，解得 a2（2）由（1）可得存在 xR，使得不等式 f（x）2|x |+2+k 成立，即|2x+1| 2|x|+2+ k，即 2+k|2 x+1|2 x|，第 25 页（共 25 页）设 g（x）|2x+1|2x |即 g（x） 1，12+k1，k3，故 k 的取值范围为（3，+）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式成立问题，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题
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