1、空间几何体高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率空间几何体与三视图2018 课标全国7来2017 课标全国7 来源:2016 课标全国 6空间几何体的来源:ZXXK表面积与体积来源:Z#xx#k.Com2017 课标全国 42015 课标全国 6空间几何体与球的切、接问题立体几何问题既是高考的必考点，也是 考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，保持“一小一大”或“两小一大”的格局多以选择题或者填空题的形式考查空间几何体三视图的识别，空间几何体的体积或表面积的计算.2018 课标全国122017 课标全国 8考点 1 空间几何体与三视图题组一 画空间几何体的三视图调研 1 将长方体截去一
2、个四棱锥后得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为A B C D【答案】D【解析】被截去的四棱锥的三条可见棱中，有两条为长方体的两条面对角线，它们在右侧面的投影与右侧面的两边重合，另一条为体对角线，它在右侧面的投影与右侧面的对角线重合，对照各选项，只有 D 符合 .故选 D 调研 2 如下左图所示为一个正三棱柱被平面 截得的几何体, 其中,几何体的俯视图如下右图所示,则该几何体的正视图是A BC D【答案】A【解析】由直观图和俯视图可知底面是正三角形,则正视图中点 的射影是 的中点,棱的射影与 平行，即正视图是选项 A题组二 由几何体的三视图还原几何体的形状调研 3 如图,网格纸 的各小格
3、都是正方形,粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是A三棱锥 B三棱柱C四棱锥 D四棱柱【答案】A【解析】构造棱长为 4 的正方体,由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥 P-ABC,其中点 P,B 分别为相应棱的中点,故选 A调研 4 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的所有棱中，最大值是A B32C D3 10【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体如图所示，其棱共有 9 条，AB ADBC CF 3，ACDF ，BG 314 ，DG FG ，故该多面体的所210有棱中，最大 值为 .技巧点拨1一个物体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在
4、正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的 宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”2要熟悉各种基本几何体的三视图同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线题组三 由几何体的部分视图画出剩余部分的视图调研 5 一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为【答案】D【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，三棱锥的顶点在底面内的射影在底面棱上，则原几何体如图所示，从而侧视图为 D故选 D考点 2 空间几何体的表面积与体积题组一 柱体、锥体、台体的表面积与体积调研 1 一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积是A B24 845C D+65 12
5、【答案】B【解析】易知原几何体为四棱柱，则几何体的表面积为 ，(5)845S故选 B.调研 2 在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ，侧棱PABCDAB60BAD底面 ， ， 为 的中点，则四面体 的体积为PA2EPEC_【答案】 3【解析】 侧棱 底面 ， 是四面体 的高， 底面 是边PABCDPABCEABCD长为 的菱形， ， ， 为 的中点，260BAD2,10BCEEAB三角形 的面积 ， 四面1,BECE13sin22S体 的体积等于四面体 的体积，为 ，故PPB113BCESPA答案为 .3调研 3 如图，三棱柱 中，侧面 侧面 ，1AB1A1BA， 1160BAC14,
6、C（1 ）求证： ；11ABC（2 ）求三棱柱 的侧面积【答案】 （1）见解析；（2） 03251在 中， ， ， ，OAB 16AB12OA ，解得 ，214cos13 ， ，2111又 ， 平面 ， 平面 ，1OBCBOC1OBC 平面 ，A1 平面 ， 111A（2）依题意， ，1112sin6023ABSA四 边 形 如 图，在平行四边形 中，过点 作 于点 ，1BE过点 作 于点 ，连接 ，O1F1CF则 为矩形， ，1BE由（1）知 平面 ， 平面 ， ，C1AB11AB1OC ， ， 平面 ， 平面 ，FOCF1F 平面 ，1B1 平面 ， ， ，C11FB13sin602EA在
7、 中，1RtO， ， ，23132E221351()(C ，又 ，115BCSF四 边 形 148ACS四 边 形三棱柱 的侧面积 A 382503251技巧点拨求解几何体的表面积或体积的方法：（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解.对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解（3）求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用题组二 球的表面积和体积调研 4 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆里面内切一个小圆,若该几何体的表面积为 ,则正视图中的 值为A1 B2C3 D4【答案】B【解
8、析】由三视图可知，该几何体是：上面是一个直径为 a 的球，下面是一个底面半径为2、高为 4 的圆柱的一半，则 ，所以 a=2.调研 5 若球的体积为 4 ，平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，则球心 O 到平面3 的距离为A1 B 2C D3 6【答案】B【解析】依题意，设该球的半径为 R，则有 R34 ，由此解得 R ，3因此球心 O 到平面 的距离 d .选 B.21技巧点拨有关球的截面问题，常画出截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离 与球的半径 及截面圆的半径 之间满足关系式： . dRr2dRr考点 3 空间几何体与球的切、接问题题组一 与球切、接
9、求表面积与体积问题调研 1 中国古代第一部数学名著九章算术中，将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形，其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑， 平面 ， ， ， ，则三棱QABCABC3QABC5锥 外接球的表面积为A B16 20C D30 34【答案】D【解析】将三棱锥 补全为长方体，如图，则外接球的直径为QABC,所以 ，故外接球的表面积为 .2354R342R243R调研 2 已知 是某球面上不共面的四点，且 ，,ABCD1ABCD， ，则此球的体积为BDACA B32 3C D 4【答案】A调研 3 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 内接于球 O,
10、 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 为 AA1的中点，OA平面 BDE，则球 O 的表面积为_【答案】16【解析】取 BD 的中点为 O1，连接 OO1，OE，O 1E，O 1A，则四边形 OO1AE 为矩形，OA平面 BDE，OAEO 1，即四边形 OO1AE 为正方形，则球 O 的半径 ROA2，球 O 的表面积 S42 216.技巧点拨1解决与球有关的“切” “接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系2构造法在定几何体外接球球心中的应用常见 的构造条件及构造方法有：（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、
11、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对 的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；（4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体3性质法在定几何体外接球球心中的应用立体几何问题转化为平面几何问题，体现了等价转化思想与数形结合思想，方法是利用球心 O 与截面圆圆心 O的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心4记住几个常用的结论：（1）正方体的棱长为 a，球的半径为 R.对于正方体的外接球，2R a；3对于
12、正方体的内切球，2Ra；对于球与正方体的各棱相切，2R a2（2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，球的半径为 R，则 2R.a2 b2 c2（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.题组二 与球切、接有关的几何体的最值问题调研 4 一底面为正方形的长方体各棱长之和为 24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为_【答案】 3【解析】设该长方体的底面边长为 ，由题意知其高是 （ ） ，则x2486x03x长方体的体积 （ ） ， ，由26Vx0321V，得 ，且当 时， ， 单调递增；当 时，0xx0xxx， 单调递减，体积函数 在 处取得唯一的极大值，即为最大2值，此
13、时长方体的高为 ，外接球的直径 ，62x3R ，外接球的体积 ，故答案为 .3R34RV4调研 5 表面积为 16 的球内接一个正三棱柱,则此三棱柱体积的最大值为A4 BC8 D【答案】C【解析】由题意,得该球的半径为 2,设正三棱柱的侧棱长为 ,底面边长为 ,则, = ，即 ，则该正三棱柱的体积为3aOA，则 ，当 时，2 2134Vhh 234Vh230；当 时， ，即当 时， 取到极大值,也3 2是最大值，为 8,故所求三棱柱的体积的最大值为 8.故选 C调研 6 已知正四棱柱的底面边长为 ，高为 ，其所有顶点都在球 的球面上，若该正ahO四棱柱的侧面积为 4，则球 的表面积的最小值为_
14、O【答案】 2技巧点拨与球切、接有关的几何体的最值问题多涉及体积最值问题、截面面积最值问题求解此类问题的关键是结合图形分析取得最值的条件转化求解，有时也可建立目标函数转化为函数最值求解1 （湖南省衡阳市第一中学 2018-2019 学年期末考试）下面是属于正六棱锥的侧视图的是A B CD2 （湖北省荆门市 2019 届高三 12 月阶段性复习检测）在正方体 中，某一个三棱锥的三个顶点为此正方体的三个顶点，此三棱锥的第四个顶点为这个正方体一条棱的中点，正视图和俯视图如图所示，则左视图可能为A B CD3 （广东省东莞市 2019 届高三上学期期末调研） 已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线
15、为四分之一圆弧） ，则该几何体的体积为A BC D44 （安徽省合肥市 2019 届高三第一次质检） 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出 的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为A BC D5 （广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试） 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的侧视图可以是A B C D6 （江西省名校学术联盟 2019 届高三质检 12 月联考）如图所示，边长为 1 的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所
16、有棱长组成的集合为A BC D7 （辽宁省沈阳市东北育才学校 2018-2019 学年期中考试）矩形 ABCD 中，AB =4，BC=3，沿 AC 将三角形 ABC 折起，得到的四面体 ABCD 的体积的最大值为A BC D8 （河南省郑州市 2018-2019 学年期末考试）如图是某几何体的三视图,图中方格的单位长度为 1,则该几何体的表面积为A16 B8+4C 8+4 D12+49 （贵州省遵义市 2019 届高三第一次联考） 如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为A BC D10 （山西省祁县中学 2018-2019 学年期末模拟）在底面是边长为 6 的正方
17、形的四棱锥 P-ABCD 中，点 P 在底面的射影 H 为正方形 ABCD 的中心，异面直线 PB 与 AD 所成角的正切值为 ，则四棱锥 P-ABCD 的内切球与外接球的半径之比为A BC D11 （湖北省荆门市 2019 届高三 12 月阶段性复习检测）正四棱锥 P-ABCD 的底面积为 3，外接球的表面积为 ，则正四棱锥 P-ABCD 的体积为A BC 或 D 或12 （河南省洛阳市 2018-2019 学年高三第一次统考）已知球 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） 的外接球， ， ，点 在线段 上，且 ，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是A BC D
18、13 （福建省厦门市 2019 届高三期末质检） 九章算术将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马” 如图所示，网格纸上的小正方形的边长 为 1，粗实线画出的是某一阳马的正视图和侧视图，则该阳马中，最长的棱的长度为_14 （湖南省湘潭市 2019 届高三第一次模拟检测）在三棱锥 中， 底面 ， ， ，则此三棱锥的外接球的表面积为 _15 （江西省新余市 2019 届高三期末考试）正四棱柱 中， ，设四棱柱的外接球的球心为 O，动点 P 在正方形 ABCD 的边长，射线 OP 交球 O 的表面点 M，现点 P 从点 A 出发，沿着 运动一次，则点 M 经过的路径长为_16 （河北省
19、唐山市 2018-2019 学年期末考试 A 卷）某三棱锥的三视图如图所示，此三棱锥的体积为 ，则三棱锥的所有棱中，最长棱的长度为_17 （湖北省十堰市 2019 届高三年级 1 月调研）某四棱锥的三视图如图所示，已知该四棱锥的体积为 40，则其最长侧棱与底面所成角的正切值为_ 18 （河北省唐山市 2018-2019 学年期末考试 A 卷）设 是同一球面上的四点，是边长为 6 的等边三角形，若三棱锥 体积的最大值为 ，则该球的ABC表面积为_19 （河南省商丘市九校 2018-2019 学年期末联考）如图，已知棱长为 1 的正方体（1 ）求证： 面 ;（2 ）求三棱锥 的体积20 （湖南省长
20、沙市 2019 届高三上学期统一检测）如图，已知三棱锥 的平面展开图中，四边形为 边长等于 的正方形， 和 均为正三角形ABE CF（1 ）证明：平面 平面 ；（2 ）求三棱锥 的表面积和体积1 (2018 年高考新课标理科)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则MANB在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为NA B172 52C 3 D22 （ 2018 年高考新课标理科） 设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC， ， ，为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为AB 9
21、3ABCA B123 183C D 4 543 (2017 新课标全国理科 )某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形 .该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A10 B12C 14 D 164 （ 2017 新课标全国理科） 已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A B 34C D25 (2016 新课标全国理科)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A20 B24 C 28 D326 (2015 新课标 全国理科)九章算术
22、是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有A14 斛 B22 斛C 36 斛 D 66 斛7 (2015 新课标全国理科)已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为OCA36 B64C 144
23、 D256空间几何体高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率空间几何体与三视图2018 课标全国7来源2017 课标全国 72016 课标全国 6空间几何体的来源:学_科_ 网表面积与体积来源:Zxxk.Com2017 课标全国 42015 课标全国 6空间几何体与球的切、接问题立体几何问题既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，保持“一小一大”或“两小一大”的格局多以选择题或者填空题的形式考查空间几何体三视图的识别，空间几何体的体积或表面积的计算.来源:2018 课标全国122017 课标全国 8考点 1 空间几何体与三视图题组一 画空间几何体的三视图调研 1 将长
24、方体截去一个四棱锥后得到的几何体如下 图所示，则该几何体的侧视图为A B C D【答案】D【解析】被截去的四棱锥的三条可见棱中，有两条为长方体的两条面对角线，它们在右侧面的投影与右侧面的两边重合，另一条为体对角线，它在右侧面的投影与右侧面的对角线重合，对照各选项，只有 D 符合 .故选 D调研 2 如下左图所示为一个正三棱柱被平面 截得的几何体, 其中,几何体的俯视图如下右图所示,则该几何体的正视图是A BC D【答案】A【解析】由直观图和俯视图可知底面是正三角形,则正视图中点 的射影是 的中点,棱的射影与 平行，即正视图是选项 A题组二 由几何体的三视图还原几何体的形状调研 3 如图,网格纸
25、的各小格都是正方形,粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是A三棱锥 B三棱柱C四棱锥 D四棱柱【答案】A【解析】构造棱长为 4 的正方体,由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥 P-ABC,其中点 P,B 分别为相应棱的中点,故选 A调研 4 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的所有棱中，最大值是A B32C D3 10【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体如图所示，其棱共有 9 条，AB ADBC CF 3，ACDF ，BG 314 ，DG FG ，故该多面体的所210有棱中，最大值为 .技巧点拨1一个物体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视
26、图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”2要熟悉各种基本几何体的三视图同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线题组三 由几何体的部分视图画出剩余部分的视图调研 5 一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为【答案】D【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，三棱锥的顶点在底面内的射影在底面棱上，则原几何体如图所示，从而侧视图为 D故选 D考点 2 空间几何体的表面积与体积题组一 柱体、锥体、台体的表面积与体积调研 1 一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积是A B24 845C D+65
27、12【答案】B【解析】易知原几何体为四棱柱，则几何体的表面积为 ，(5)845S故选 B.调研 2 在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ，侧棱PABCDAB60BAD底面 ， ， 为 的中点，则四面体 的体积为PA2EPEC_【答案】 3【解析】 侧棱 底面 ， 是四面体 的高， 底面 是边PABCDPABCEABCD长为 的菱形， ， ， 为 的中点，260BAD2,10BCEEAB三角形 的面积 ， 四面1,BECE13sin22S体 的体积等于四面体 的体积，为 ，故PPB113BCESPA答案为 .3调研 3 如图，三棱柱 中，侧面 侧面 ，1AB1A1BA， 1160BAC1
28、4,C（1 ）求证： ；11ABC（2 ）求三棱柱 的侧面积【答案】 （1）见解析；（2） 03251在 中， ， ， ，OAB 16AB12OA ，解得 ，214cos13 ， ，2111又 ， 平面 ， 平面 ，1OBCBOC1OBC 平面 ，A1 平面 ， 111A（2）依题意， ，1112sin6023ABSA四 边 形 如图，在平行四边形 中，过点 作 于点 ，BE过点 作 于点 ，连接 ，O1F1CF则 为矩形， ，1BE由（1）知 平面 ， 平面 ， ，C1AB11AB1OC ， ， 平面 ， 平面 ，FOCF1F 平面 ，1B1 平面 ， ， ，C11FB13sin602EA在
29、 中，1RtO， ， ，23132E221351()(C ，又 ，115BCSF四 边 形 148ACS四 边 形三棱柱 的侧面积 A 382503251技巧点拨求解几何体的表面积或体积的方法：（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解.对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解（3）求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用题组二 球的表面积和体积调研4 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆里面内切一个小圆,若该几何体的表面积为 ,则正视图中的 值为A1 B2C3 D4【答案】B【解析
30、】由三视图可知，该几何体是：上面是一个直径为 a 的球，下面是一个底面半径为2、高为 4 的圆柱的一半，则 ，所以 a=2.调研 5 若球的体积为 4 ，平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，则球心 O 到平面3 的距离为A1 B 2C D3 6【答案】B【解析】依题意，设该球的半径为 R，则有 R34 ，由此解得 R ，3因此球心 O 到平面 的距离 d .选 B.21技巧点拨有关球的截面问题，常画出截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离 与球的半径 及截面圆的半径 之间满足关系式： .dRr2dRr考点 3 空间几何体与球的切、接问题题组一 与球切、接求表
31、面积与体积问题调研 1 中国古代第一部数学名著九章算术中，将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形，其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑， 平面 ， ， ， ，则三棱QABCABC3QABC5锥 外接球的表面积为A B16 20C D30 34【答案】D【解析】将三棱锥 补全为长方体，如图，则外接球的直径为QABC,所以 ，故外接球的表面积为 .2354R342R243R调研 2 已知 是某球面上不共面的四点，且 ，,ABCD1ABCD， ，则此球的体积为BDACA B32 3C D 4【答案】A调研 3 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 内接于球 O, 底
32、面 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 为 AA1的中点，OA平面 BDE，则球 O 的表面积为_【答案】16【解析】取 BD 的中点为 O1，连接 OO1，OE，O 1E，O 1A，则四边形 OO1AE 为矩形，OA平面 BDE，OAEO 1，即四边形 OO1AE 为正方形，则球 O 的半径 ROA2，球 O 的表面积 S42 216 .技巧点拨1解决与球有关的“切” “接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系2构造法在定几何体外接球球心中的应用常见的构造条件及构造方法有：（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个
33、面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（ 2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；（4）若三 棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体3性质法在定几何体外接球球心中的应用立体几何问题转化为平面几何问题，体现了等价转化思想与数形结合思想，方法是利用球心 O 与截面圆圆心 O的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心4记住几个常用的结论：（1）正方体的棱长为 a，球的半径为 R.对于正方体的外接球，2R a；3对于正方体的内切球，2Ra；对于球与正方体的各棱相切，2R a2（2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，球的半径为 R，则 2R.a2 b2 c2（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.
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