1、若集合 Ax| x22x 30 ，Bx|2 x1，则 A（ RB）（ ）A （3，0） B （1，0 C0 ，1） D0 ，3）2 （5 分）已知复数 z 满足 z（12i）3+i ，则共轭复数 的模长为（ ）A B1 C D23 （5 分）已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积（ ）A36 B C18 D4 （5 分）已知函数 ，在下列给出结论中：是 f（x）的一个周期；f（x）的图象关于直线 x 对称；f（x）在 上单调递减其中，正确结论的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个5 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关
2、于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a、b 分别为 8、2，则输出的 n（ ）第 2 页（共 24 页）A5 B4 C3 D26 （5 分）设函数 f（x ） +a，若 f（x）为奇函数，则不等式 f（x）1 的解集为（ ）A （0，1） B （，1n3） C （0，ln 3） D （0，2）7 （5 分）若直线 l：y kx+1（k 0）与圆 C：x 2+4x+y22y+30 相切，则直线 l 与圆D：（x 2） 2+y23 的位置关系是（ ）A相交 B相切 C相离 D不确
3、定8 （5 分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 f（x） ，如果 f（x 0）0，那么 xx 0 是函数 f（x ）的极值点，因为函数 f（x）x 3 在 x0 处的导数值 f（0）0，所以，x 0 是函数 f（ x）x 3 的极值点以上推理中（ ）A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D结论正确9 （5 分）在数列a n中，已知 a11，且对于任意的 m，nN*，都有 am+na m+an+mn，则 （ ）A B C D第 3 页（共 24 页）10 （5 分）已知 F 是椭圆 的左焦点，P 为 C 上一点， ，则|PA|+|PF|的最大值为（ &nb
4、sp;）A3 B C D1011 （5 分）在ABC 中，cos 2 ， （a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边） ，则ABC的形状为（ ）A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形12 （5 分）已知函数 f（x ）的导数为 f（x）4x 34x，且 f（x）的图象过点（0，5） ，当函数 f（x ）取得极大值 5 时，x 的值应为（ ）A1 B0 C1 D1二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计 20 分）13 （5 分）已知关于变量 x，y 的线性约束条件为 ，则目标函数 z3x+y 的最小值为 14
5、 （5 分）已知抛物线 x28y 与双曲线 1（a0，b0）的一条渐近线交于点A，若点 A 到抛物线的准线的距离为 4，则双曲线的离心率为 15 （5 分）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 ，两人下成和棋的概率为 ，则乙不输的概率为 16 （5 分）在三角形 ABC 中，A，B，C 是三角形 ABC 的内角，设函数 f（A）2sin sin（ ）+sin 2（ + ）cos 2 ，则 f（ A）的最大值为 三、解答题（本题共计 6 小题，共计 70 分）17 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，
6、圆 C 的参数方程为 为参数） 直线 l 经过点 P（2，2） ，倾斜角 （1）写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程（2）设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，求|PA |PB|的值第 4 页（共 24 页）18 （12 分）已知a n是等比数列，数列满足 a13，a 4 24，数列b n满足b11，b 48，且a n+bn 是等差数列（I ）求数列a n和 bn的通项公式；（II）求数列b n的前 n 项和19 （12 分）近年来，随着网络的普及，数码产品早已走进千家万户的生活，为了节约资源，促进资源循环利用，折旧产品回收行业得到迅猛发展，电脑使用时间越长，回收价值越低，某二手电脑交易市
7、场对 2018 年回收的折旧电脑交易前使用的时间进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，在如图对时间使用的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率（1）若在该市场随机选取 1 个 2018 年成交的二手电脑，求其使用时间在（4，8上的概率；（2）根据电脑交易市场往年的数据，得到如图所示的散点图及一些统计量的值，其中x（单位：年）表示折旧电脑的使用时间，y（单位：百元）表示相应的折旧电脑的平均交易价格由散点图判断，可采用 ye a+bx 作为该交易市场折旧电脑平均交易价格与使用年限 x 的回归方程，若 tlny i， ，选用如下参考数据，求 y 关于 x 的回归方程，并预测在区间（2，4（用时
8、间组的区间中点值代表该组的值）上折旧电脑的价格5.5 8.5 1.9 301.4 79.75 385附：参考公式：对于一组数据（u i，v i） （i 1，2，n） ，其回归直线 +u 的第 5 页（共 24 页）斜率和截距的最小二乘估计分别为： 参考数据：e3.2526，e 2.6514，e 2.05 7.8，e 1.454.3，e 0.852.320 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面是边长是 1 的正方形，侧棱PA 与底面成 45的角，M ，N 分别是 AB，PC 的中点（1）求证：MN平面 PAD；（2）求四棱锥 PABCD 的体积（3）二面角 PACD 平
9、面角的正切值21 （12 分）双曲线 的左、右焦点分别是 F1，F 2，抛物线y22px （p0）的焦点与点 F2 重合，点 是抛物线与双曲线的一个交点，如下图所示（1）求双曲线及抛物线的标准方程；（2）设直线 l 与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交抛物线于 A，B 两点，交双曲线于点 C，若点 C 是线段 AB 的中点，求直线 l 的方程第 6 页（共 24 页）22 （12 分）已知函数 f（x ）e xax1（a R） （1）讨论 f（x ）的单调性；（2）当 x0 时，f（x）x 2 恒成立，求实数 a 的取值范围第 7 页（共 24 页）2018-2019 学年广西南宁市宾阳中
10、学高二（下）5 月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计 60 分）1 （5 分）若集合 Ax| x22x 30 ，Bx|2 x1，则 A（ RB）（ ）A （3，0） B （1，0 C0 ，1） D0 ，3）【分析】可求出集合 A，B，然后进行交集、补集的运算即可【解答】解：Ax| 1x 3，Bx|x0； RBx| x0；A（ RB）0，3） 故选：D【点评】考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集、补集的运算2 （5 分）已知复数 z 满足 z（12i）3+i ，则共轭复数 的模长为（ &nbs
11、p;）A B1 C D2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：由 z（12i） 3+i，得 z ，| | |z| 故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积（ ）第 8 页（共 24 页）A36 B C18 D【分析】关键是根据三视图明确原图为四分之一球体和半圆锥的组合体，求解容易【解答】解：由三视图可知，该组合体由四分之一球体和半圆锥组成，故其体积为： ，故选：D【点评】本题考查了由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题4
12、 （5 分）已知函数 ，在下列给出结论中：是 f（x）的一个周期；f（x）的图象关于直线 x 对称；f（x）在 上单调递减其中，正确结论的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】 将 x 换为 x+，计算得到结果看与 f（x）相等与否即可做出判断；验证 f（x）是否等于 f（ x） ，即可做出判断；设 t sinx+cosx，可得 sinxcosx ，由 x 的范围求出 t 的范围，得出函数增减性，判断即可【解答】解：f（x +） f（x） ， 不是f（x）的一个周期，本选项错误；f（ x） f （x ） ，f （x）图象关于直线 x 对称，本选项正确，设 t s
13、inx+cosx sin（x + ） ，可得 sinxcosx ，f（x） ， x0，第 9 页（共 24 页） x+ ，即1t 1，在（1，1）上任取两实数 x1，x 2，且 x1x 2，则 f（x 1）f（x 2） ，因为1x 1x 21，所以1x 1x21，x 1x2+10，x2x 10，x 1+10，x 110，x 2+10，x 210，所以 f（x 1） f（x 2）0，即 f（x 1）f （x 2） ，所以 在（1，1）上单调递减，本选项正确，则正确结论的个数为 2 个，故选：C【点评】此题考查了三角函数的化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，熟练掌握公式及法则是解
14、本题的关键5 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a、b 分别为 8、2，则输出的 n（ ）A5 B4 C3 D2【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的第 10 页（共 24 页）值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：输入的 a、b 分别为 8、2，n1第一次执行循环体后 a12，b4，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后 n2，a18，b8，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后 n3，a27，b16，不满
15、足退出循环的条件，第四次执行循环体后 n4，a ，b32，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后 n5，a ，b64，满足退出循环的条件，故输出的 n5，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答6 （5 分）设函数 f（x ） +a，若 f（x）为奇函数，则不等式 f（x）1 的解集为（ ）A （0，1） B （，1n3） C （0，ln 3） D （0，2）【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（x ）+f（x）0，即（ +a）+ （+a）1+2 a0，解可得 a ，即可得 f（x） + ，据此分析函数f（x）的单调性
16、以及值域，结合解析式可得 f（ln 3）1，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ） +a，其定义域为x|x0若 f（x）为奇函数，则 f（x）+f （x）0，即（ +a）+ （ +a）1+2a0，解可得 a ，则 f（x） +又由 ye x1 在（0，+）为增函数其 y0，则 f（x） + 在（0，1）上为减函数且 f（x） 0，则 f（x）在（ ，0）上减函数且 f（x）0，又由 f（ln3） + 1，则 f（x）1f（x）f（ln3） ，第 11 页（共 24 页）则有 0xln3 ，即不等式的解集为（0，ln 3） ；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及
17、应用，关键是利用奇函数的性质求出 a 的值，属于基础题7 （5 分）若直线 l：y kx+1（k 0）与圆 C：x 2+4x+y22y+30 相切，则直线 l 与圆D：（x 2） 2+y23 的位置关系是（ ）A相交 B相切 C相离 D不确定【分析】利用直线 l：y kx+1（k 0）与圆 C：x 2+4x+y22y+30 相切，求出 k，再判断则直线 l 与圆 D：（x2） 2+y23 的位置关系【解答】解：圆 C：x 2+4x+y22y+30，可化为：（x+2） 2+（y1） 22，直线 l：ykx+1（k 0）与圆 C：x 2+4x+y22y +30 相切， （k0） ，k
18、1，圆心 D（2，0）到直线的距离 d ，直线 l 与圆 D：（x2） 2+y23 相交，故选：A【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题8 （5 分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 f（x） ，如果 f（x 0）0，那么 xx 0 是函数 f（x ）的极值点，因为函数 f（x）x 3 在 x0 处的导数值 f（0）0，所以，x 0 是函数 f（ x）x 3 的极值点以上推理中（ ）A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D结论正确【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可
19、能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数 f（x） ，如果 f'（x 0） 0，那么 xx 0 是函数 f（ x）的极值点” ，不难得到结论【解答】解：大前提是：“对于可导函数 f（x ） ，如果 f'（x 0）0，那么 xx 0 是函数f（x）的极值点 ”，不是真命题，第 12 页（共 24 页）因为对于可导函数 f（x ） ，如果 f'（x 0）0，且满足当 xx 0 附近的导函数值异号时，那么 xx 0 是函数 f（x）的极值点，大前提错误，故选：A【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有
20、蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论9 （5 分）在数列a n中，已知 a11，且对于任意的 m，nN*，都有 am+na m+an+mn，则 （ ）A B C D【分析】首先利用赋值法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和【解答】解：数列a n中，已知 a11，且对于任意的 m，nN*，都有 am+na m+an+mn，则：a 2a 1+a1+1131+2，a3a 1+a2+1261+2+3 ，an1+2+3+n ，所以： ，所以： ，2（ ） ， ， 故选：C【点评】本题考查的知识要点：数列的通项
21、公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型第 13 页（共 24 页）10 （5 分）已知 F 是椭圆 的左焦点，P 为 C 上一点， ，则|PA|+|PF|的最大值为（ ）A3 B C D10【分析】涉及|PF|时，一般可以想到椭圆的定义，设该椭圆的右焦点为 F，则：|PF|+|PF|2 ，通过数形结合以及椭圆的定义，转化求出| PA|+|PF|的最大值【解答】解：F 是椭圆 的左焦点，如图，设椭圆的右焦点为 F，则|PF|+|PF|2 ；F（1，0） ，由图形知，当 P 在直线 AF上时，|PA|+|PF|取得最大值|AF|
22、|PA|+|PF|2 +|PF|+|PF|2 + ，|PA|+|PF|的最大值为 2 + ，故选：B【点评】考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及椭圆的定义，以及三角形两边之差小于第三边，及数形结合求最值11 （5 分）在ABC 中，cos 2 ， （a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边） ，则ABC的形状为（ ）A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形第 14 页（共 24 页）【分析】利用二倍角公式代入 cos2 求得 cosB ，进而利用余弦定理化简整理求得 a2+b2c 2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形【解答】解：cos 2 ， ，cosB
23、， ，a 2+c2b 22a 2，即 a2+b2c 2，ABC 为直角三角形故选：B【点评】本题主要考查了三角形的形状判断考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用12 （5 分）已知函数 f（x ）的导数为 f（x）4x 34x，且 f（x）的图象过点（0，5） ，当函数 f（x ）取得极大值 5 时，x 的值应为（ ）A1 B0 C1 D1【分析】因为 f（x ）4x 34x，由求导法则可推出 f（x）x 42x 2+c，又因为f（x）的图象过点（ 0，5） ，故可求出 c 的值；令 f（x）0 可求得 f（x）的极值点为 x0 或 x1，然后分别代入检验即可【解答】解：f（x
24、）4x 34x，f（x）x 42x 2+c，其中 c 为常数f（x）过（0 ，5） ，c5，f（x）x 42x 25，由 f（x）0 ，即 4x34x0，解得 x0 或 x1，f（x）的极值点为 x0 或 x1，x0 时，f（ x）5x1 时，f（x）6x1 时，f（ x）6当 x0 时，函数 f（x）取得极大值5故选：B第 15 页（共 24 页）【点评】本题考查了导数的运算法则和利用导数求函数极值的方法，难度一般二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计 20 分）13 （5 分）已知关于变量 x，y 的线性约束条件为 ，则目标函数 z3x+y 的最小值为 5 【分析】作出题中不等
25、式组表示的平面区域，得如图的四边形 ABCD 及其内部，再将目标函数 z3x+y 对应的直线进行平移，可得当 x2，y1 时，z2x+y 取得最小值【解答】解：作出不等式组 表示的平面区域，得到如图的四边形 ABCD 及其内部，其中 A（2，1） ，B（0，1） ，C （1，0） ，D（1，2）设 zF（x，y）3x +y，将直线 l：z3x+y 进行平移，当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值z 最小值 F（2，1）5故答案为：5【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z3x+y 的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题14 （5
26、分）已知抛物线 x28y 与双曲线 1（a0，b0）的一条渐近线交于点A，若点 A 到抛物线的准线的距离为 4，则双曲线的离心率为 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，代入抛物线方程，求得交点 A 的坐标，求出抛物线的准线方程，由点到直线的距离公式，计算结合离心率公式即可得到所求值【解答】解：双曲线 1（a0，b0）的一条渐近线方程设为 y x，代入抛物线 x28y ，可得 x ，y ，第 16 页（共 24 页）抛物线 x28y 的准线为 y 2，由题意可得 +24，即有 b2a，c a，即有离心率 e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近
27、线方程和抛物线的性质，考查运算能力，属于中档题15 （5 分）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 ，两人下成和棋的概率为 ，则乙不输的概率为 【分析】设 A 表示“甲胜” ，B 表示“和棋” ，C 表示“乙胜” ，则 P（A） ，P（B） ，P（C）1 ，由此能求出乙不输的概率【解答】解：设 A 表示“甲胜” ，B 表示“和棋” ，C 表示“乙胜” ，则 P（A） ，P （B） ，P（C）1 ，乙不输的概率为：PP（BC） P（B）+ P（C） 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用16 （5 分）在三角形
28、ABC 中，A，B，C 是三角形 ABC 的内角，设函数 f（A）2sin sin（ ）+sin 2（ + ）cos 2 ，则 f（ A）的最大值为 【分析】首先把三角函数关系式进行恒等变换，变换成正弦型函数，进一步利用三角形的内角的范围求出三角函数的最值【解答】解：函数 f（A）2sin sin（ ）+sin 2（ + ）cos 2第 17 页（共 24 页） +sinAcosA由于：A 是三角形的内角，所以：0A故当 时，即 A 时，函数 f（A）的最大值为 故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系时的恒等变形，利用三角形的内角求函数的最值问
29、题，属于基础题型三、解答题（本题共计 6 小题，共计 70 分）17 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 为参数） 直线 l 经过点 P（2，2） ，倾斜角 （1）写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程（2）设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，求|PA |PB|的值【分析】 （1）利用 sin2+cos21，消去参数 ，求得 C 的普通方程；再根据直线经过点 P（2，2） ，倾斜角，求出直线 l 的参数方程（2）把 l 的参数方程代入圆的方程，利用根与系数的关系求得 t1t28，再由直线参数方程中参数的几何意义求得|PA| PB|的值【解答】解：（1）C 的参数
30、方程为 为参数） ，利用 sin2+cos21，消去参数可得 x2+y216由于 l 经过点 P（2，2） ，倾斜角 ，可得直线 l 的参数方程 第 18 页（共 24 页）（2）把 l 的参数方程 代入圆的方程 x2+y216 可得t2+2（ +1）t80，t 1t28，|PA| PB|8【点评】本题主要考查参数方程与普通方程之间的转化，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题18 （12 分）已知a n是等比数列，数列满足 a13，a 4 24，数列b n满足b11，b 48，且a n+bn 是等差数列（I ）求数列a n和 bn的通项公式；（II）求数列b n的前 n
31、 项和【分析】 （）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求解数列的和【解答】解：（）设等比数列a n的公比为 q，由题意得 a4a 1q3，q 38，解得 q2，a n32 n1 ，设等差数列a n+bn 的公差为 d，由题意得：a 4+b4（a 1+b1 ）+3d，248（1+3）+3 d，解得 d4，a n+bn4+4（n1）4n，b n4n32 n1 ，（）数列a n的前 n 项和为 3+32 n，数列a n+bn的前 n 项和为 n（2n+2）2n 2+2n，故b n的前
32、n 项和为 2n2+2n+332 n【点评】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，考查了利用分组求和的方法求解数列的前 n 项和，是中档题19 （12 分）近年来，随着网络的普及，数码产品早已走进千家万户的生活，为了节约资第 19 页（共 24 页）源，促进资源循环利用，折旧产品回收行业得到迅猛发展，电脑使用时间越长，回收价值越低，某二手电脑交易市场对 2018 年回收的折旧电脑交易前使用的时间进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，在如图对时间使用的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率（1）若在该市场随机选取 1 个 2018 年成交的二手电脑，求其使用时间在（4，8上的概率；（2）
33、根据电脑交易市场往年的数据，得到如图所示的散点图及一些统计量的值，其中x（单位：年）表示折旧电脑的使用时间，y（单位：百元）表示相应的折旧电脑的平均交易价格由散点图判断，可采用 ye a+bx 作为该交易市场折旧电脑平均交易价格与使用年限 x 的回归方程，若 tlny i， ，选用如下参考数据，求 y 关于 x 的回归方程，并预测在区间（2，4（用时间组的区间中点值代表该组的值）上折旧电脑的价格5.5 8.5 1.9 301.4 79.75 385附：参考公式：对于一组数据（u i，v i） （i 1，2，n） ，其回归直线 +u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 参考数据：e3.2526，
34、e 2.6514，e 2.05 7.8，e 1.454.3，e 0.852.3【分析】 （1）频率分布直方图的面积表示相应的概率值，进而得到结果；（2）由 ye a+bx 得 lnya+ bx，即 ta+bx，根据公式计算得到相应的参数值，进而得第 20 页（共 24 页）到在区间（2，4上折旧电脑价格的预测值【解答】解：（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在（4，8上的概率为：P（0.14+0.06）20.4；（2）由 ye a+bx 得 lnya+ bx，即 ta+bx， ，即 t0.3x +3.55， 根据（1）中的回归方程，在区间（2，4上折旧电脑价格的预测值为e3.550.33
35、 e 2.6514【点评】本题考查回归分析回归方程的计算，频率分布直方图的应用，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映 x 与 y之间的关系，这条直线过样本中心点线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的，线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值20 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面是边长是 1 的正方形，侧棱PA 与底面成 45的角，M ，N 分别是 AB，PC 的中点（1）求证：MN平面 PAD；（2）求四棱锥 PABCD 的体积（3）二面角 PACD 平面角的正切
36、值【分析】 （1）设 PD 的中点为 E，连 NE，AE，证明 MNAE，即可证明 MN平面PAD；第 21 页（共 24 页）（2）求解四棱锥 PABCD 的高为 1，然后求解四棱锥 PABCD 的体积；（3）连接 AC，BD，相交于点 O，连接 PO，二面角为 POD，通过求解三角形得到二面角的正切函数值的大小【解答】解：（1）证明：设 PD 的中点为 E，连 NE，AE根据三角形的中位线可知 NECD，且 ，AMCD ，且 ，NEAM，且 NEAM ，MNAE，又AE 平面 PAD，MN 平面 PAD，MN平面 PAD；（2）解：四棱锥 PABCD 的底面积为 1，因为 PD平面 ABC
37、D，侧棱 PA 与底面成 45的角，所以四棱锥 PABCD 的高为 1，所以四棱锥 PABCD 的体积为：V ；（3）解：连接 AC，BD，相交于点 O，连接 PO，则二面角为POD，记为 . ， ， 故二面角 PACD 平面角的正切值为 第 22 页（共 24 页）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法21 （12 分）双曲线 的左、右焦点分别是 F1，F 2，抛物线y22px （p0）的焦点与点 F2 重合，点 是抛物线与双曲线的一个交点，如下图所示（1）求双曲线及抛物线的标准方程；（2）设直线 l 与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交
38、抛物线于 A，B 两点，交双曲线于点 C，若点 C 是线段 AB 的中点，求直线 l 的方程【分析】 （1）利用 y22px 代入 ，得 p，求出焦点为（3，0） ，得到 c3，然后利用双曲线方程，求解 a 即可（2）渐近线 ，设直线 l， ，代入抛物线方程，转化求解 C的坐标，然后求解即可【解答】解：（1）y 22px 代入 得解得 p6因为焦点为（3，0）所以 c3，双曲线的焦点在 x 轴上将 代入所以 a21 或 a236（舍去）第 23 页（共 24 页）所以 c29，b 28所以她物线的标准方程为 y212x，双曲线的标准方程为 ；（2）双曲线的渐近线 ， ，设直线 l， ，联立分别
39、消去 x，y 得 ，将 8x2y 28 代入 得 ，解得 或 ，经验证， 不合题意，故舍去所以 【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力22 （12 分）已知函数 f（x ）e xax1（a R） （1）讨论 f（x ）的单调性；（2）当 x0 时，f（x）x 2 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）分离参数，构造函数 h（x） x （x 0） ，根据函数的单调性求出第 24 页（共 24 页）h（x）的最小值，从而求出 a 的范围【解答】解：（1）
40、f'（x ）e xa，当 a 0，f' （x ）0，f（x）在（，+）上单调递增，若当 a0，当 x（， lna）时，f'（x）0，f （x）在（，lna）上单调递减，当 x（lna，+）时，f'（x ） 0，f（x）在（lna，+）上单调递增，综上所述：当 a0，f'（x ）0，f（x）在（，+）上单调递增，当 a0，f（x）在（ ，lna）上单调递减，在（lna ，+）上单调递增，（2）当 x0 时，f（x）g（x）恒成立，即 exax1x 2，即 a x 恒成立令 h（x） x （x 0） ，则 h（x） 令 （x ）e xx1（x0） ，则 '（x ）e x10 在（0，+）恒成立，（x ）在（ 0，+）单调递增，（x ） （0）0，令 h（x）0，解得 x1，当 x（0，1 ）时，即 h'（x）0，则 h（x）单调递减；当 x（1，+）时，即 h'（ x）0，即 h'（x）0，则 h（x）单调递增，h（x） minh（1）e 2，a（，e 2 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题
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