1、2018-2019 学年内蒙古赤峰二中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.）1 （5 分）已知复数 z 满足（1i）z2+3i ，则复数 z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）已知随机变量 X 服从二项分布 B（n，p） ，若 E（X）30，D（X）20，则n，p 分别等于（ ）An45，p Bn45，p Cn90，p Dn90，p3 （5 分）设随机变量 服从正态分布 N（3，4） ，若 P（2a3）P（a+2） ，则 a的值为（
2、）A B C5 D34 （5 分）如图给出的是计算 + + + 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）Ai9 Bi 10 Ci11 Di125 （5 分）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生如果 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（ ）A24 B36 C48 D606 （5 分）在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌第 2 页（共 26 页）疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案
3、，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ）A甲、乙 B乙、丙 C甲、丁 D丙、丁7 （5 分）若曲线 在（1，f（1） ）处的切线方程为 y2e（x+1） ，则 ab（ ）A1 B3 Ce D3e8 （5 分）已知袋中有 3 个白球，2 个红球，现从中随机取出 3 个球，其中每个白球计 1 分，每个红球计 2 分，记 X 为取出 3 个球的总分值，则 E（X）（ ）A B C4 D9 （5 分）将 4 个不同的小球装入 4 个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（
4、;）A B C D10 （5 分）在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线 AB1 与BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D11 （5 分）已知椭圆 右焦点为 F（3，0）过点 F 的直线交 E于 A，B 两点，若 AB 的中点坐标为 ，则 E 的离心率是（ ）A B C D12 （5 分）已知函数 f（x ）的定义域为（0，+） ，f'（x）为 f（x）的导函数，且满足f（x）xf '（x ） ，则不等式（x1）f （x+1）f（x 21）的解集是（ ）A （1，2） B （1，+） C （1，2） D
5、 （2，+）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13 （5 分）在区间（0，1）内随机地取出两个数，则两数之和小于 的概率为 14 （5 分）命题 p：x 2+2x30，命题 q： 1，若q 且 p 为真，则 x 的取值范围是 第 3 页（共 26 页）15 （5 分）二项式（ + ） 40 的展开式中，其中是有理项的项数共有 16 （5 分）已知函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）e x（x+1）给出下列命题：当 x0 时，f（x ）e x（
6、1x）函数 f（x）有 2 个零点f（x）0 的解集为（1， 0）（1，+）x1， x2R，都有|f（x 1）f （x 2）|2其中正确的命题是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.）17在信息时代的今天，随着手机的发展， “微信”成为人们交流的一种主要方式，某机构通过网络平台对“使用微信交流”的态度进行调查，有数万人参与（全部参与者年龄均在15， 65之间） ，现从参与者中随机选出 200 人，经统计这 200 人中使用微信交流的占将这些使用微信交流的人按年龄分组：第 1 组15，25） ，第 2 组25 ，35） ，第 3 组35，45 ） ，第 4
7、组45，55 ） ，第 5 组55，65 ，得到的频率分布直方图如图所示（1）从第 1，2，3 组中用分层抽样的方法抽取 12 人，再从这 12 人中随机抽取 3 人参加网络春晚活动，求至少有 1 人年龄在35，45）的概率；（2）把年龄在第 1，2，3 组的人称为青少年组，年龄在第 4，5 组的人称为中老年组，若选出的 200 人中不使用微信交流的中老年人有 26 人，问是否有 99%的把握认为“使用微信交流”与年龄有关？附：P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.8
8、79 10.828参考公式：K 2 ，其中 na+ b+c+d第 4 页（共 26 页）18为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数 x 与每棵作物的产量 y 之间的关系进行研究，收集了 11 块实验田的数据，得到下表：实验田编号n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x（棵/米2）3.5 4 5.1 5.7 6.1 6.9 7.5 8 9.1 10 11.2y （斤/棵） 0.33 0.32 0.3 0.28 0.27 0.25 0.25 0.24 0.22 0.25 0.15技术人员选择模型 y 作为 y 与 x 的回归方程类型，令 ui ，v i ，相关统计量的值如表：ui v
9、i uivi600 44 2721 45642由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示：（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号（给出判断即可，不必说第 5 页（共 26 页）明理由） ；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到 v 关于 u 的线性回归方程 u 中的0.03，求 y 关于 x 的回归方程；（3）利用（2）得到的结果，计算当单位面积播种数 x 为何值时，单位面积的总产量wxy 的预报值最大？（计算结果精确到 0.01）附：对于一组数据（u 1，v 1） ， （u 2，v 2） ， （u n，v n） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘法估计分别
10、为 ， ， 5.4819已知平面上动点 M 到直线 y2 的距离比它到点 F（0，1）的距离多 1（）求动点 M 的轨迹方程；（）设动点 M 形成的曲线为 E，过点 P（0，1）的直线 l 交曲线 E 于 A，B 两点，若直线 OA 和直线 OB 的斜率之和为 2（其中 O 为坐标原点） ，求直线 l 的方程20如图，在以 P 为顶点，母线长为 的圆锥中，底面圆 O 的直径 AB 长为 2，C 是圆 O所在平面内一点，且 AC 是圆 O 的切线，连接 BC 交圆 O 于点 D，连接 PD，PC （1）求证：平面 PAC平面 PBC；（2）若 E 是 PC 的中点，连接 OE，ED，当二面角 B
11、POD 的大小为 120时，求平面 PAC 与平面 DOE 所成锐二面角的余弦值21已知函数 f（x ） x2+mx+lnx（1）若函数 f（x ）不存在单调递减区间，求实数 m 的取值范围；（2）若 yf（ x）的两个极值点为 x1，x 2（x 1x 2） ，m ，求 f（x 1）f （x 2）的最小值请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分第 6 页（共 26 页）22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的倾斜角为 （0） ，且过点 M（0，1） 以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin24
12、cos（1）求直线 l 的参数方程（设 t 为参数）与曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 经过点（1，0 ） ，且与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 + 的值23已知函数 f（x ）|x +m|+2|x1| （m0） （1）当 m2 时，求不等式 f（x）8 的解集；（2）若不等式 f（x +1）3 的解集为，求实数 m 的取值范围第 7 页（共 26 页）2018-2019 学年内蒙古赤峰二中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.）1 （5 分）已知复数 z 满足（1i）z2+3i ，则复数 z 在复平
13、面内对应的点所在的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】由题意首先求得复数 z 的值，然后结合复数对应的点即可确定其所在的象限【解答】解：由复数的运算法则可得：z ，故复数 z 在复平面内对应的点为（ ， ） ，所在的象限是第二象限故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2 （5 分）已知随机变量 X 服从二项分布 B（n，p） ，若 E（X）30，D（X）20，则n，p 分别等于（ ）An45，p Bn45，p Cn90，p Dn90，p【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可【
14、解答】解：随机变量 X 服从二项分布 B（n，p） ，若 E（X）30，D（X）20，可得 np30，npq20，q ，则 p ，n90，故选：C【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力3 （5 分）设随机变量 服从正态分布 N（3，4） ，若 P（2a3）P（a+2） ，则 a的值为（ ）A B C5 D3【分析】根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于 x3 对称，得到两个概率相等的区间关于 x3 对称，得到关于 a 的方程，解方程即可【解答】解：随机变量 服从正态分布 N（3，4） ，第 8 页（共 26 页）P（2a3）P（a+2） ，2a
15、3 与 a+2 关于 x3 对称，2a3+a+26，3a7，a ，故选：A【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x3 对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目4 （5 分）如图给出的是计算 + + + 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）Ai9 Bi 10 Ci11 Di12【分析】由题意可知，首先是判断框中的条件不满足，所以框图依次执行循环，框图执行第一次循环后，S 的值为 ，执行第二次循环后，S 的值为前 2 项的和，满足 S + + ，框图应执行 10 次循环，此时 i 的值为 10，判断框中
16、的条件应该满足，算法结束，由此得到判断框中的条件【解答】解：框图首先给累加变量 S 赋值为 0，n 赋值 2，给循环变量 i 赋值 1此时判断框中的条件满足，执行 S0+ ，n2+24，i1+1 2；此时判断框中的条件满足，执行 S0+ + ，n4+2 6，i 2+13；第 9 页（共 26 页）此时判断框中的条件满足，执行 S0+ + + ，n6+2 8，i 3+14；此时判断框中的条件满足，执行 S + + + ，n18+220，i 9+110；此时判断框中的条件不满足，故判断框内应填入的一个条件为 i10故选：B【点评】本题考查了循环结构，是直到型循环，区别当型和直到型的关键在于是满足条
17、件执行循环还是不满足条件执行循环，满足条件执行循环的是当型结构，不满足条件执行循环的是直到型结构，是基础题5 （5 分）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生如果 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（ ）A24 B36 C48 D60【分析】若第一个出场的是男生，方法有 36 种若第一个出场的是女生（不是女生甲） ，用插空法求得方法有 24 种，把这两种情况的方法数相加，即得所求【解答】解：若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有 36 种若第一个出场的是女生（不是女生甲）
18、 ，则将剩余的 2 个女生排列好，2 个男生插空，方法有 24 种故所有的出场顺序的排法种数为 36+2460，故选：D【点评】本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，注意特殊位置优先排，不相邻问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题6 （5 分）在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ）第 10 页（共 26 页）A甲、乙 B乙、丙 C甲、丁 D丙
19、、丁【分析】假设参与此案的两名嫌疑人是甲、乙或乙、丙或甲、丁或丙、丁，依次分析题设条件，能求出结果【解答】解：假设参与此案的两名嫌疑人是甲、乙，则由乙参与此案，得丁一定参与，不合题意，故 A 错误；假设参与此案的两名嫌疑人是乙、丙，则由乙参与此案，得丁一定参与，不合题意，故 B 错误；假设参与此案的两名嫌疑人是甲、丁，则由甲参与此案，则丙一定没参与，丙没参与此案，则丁也一定没参与，不合题意，故 C 错误；假设参与此案的两名嫌疑人是丙、丁，符合题意，故 D 正确故选：D【点评】本题考查参与此案的两名嫌疑人的判断，考查简单的合情推等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7 （5 分）若曲线 在（1，
20、f（1） ）处的切线方程为 y2e（x+1） ，则 ab（ ）A1 B3 Ce D3e【分析】求出 f（x ）的导数，由已知切线方程，可得 f（ 1）2，f （1）0，解方程可得 a，b 的值；【解答】解：函数 的导数为 f（x ） ，曲线 yf（x）在点（1，f（ 1） ）处的切线方程为 y2e（x+1） ，可得 f（1）ae +b4e，f （1）ae b2e，解得 a3，be；则 ab3e故选：D【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查运算能力，属于中档题8 （5 分）已知袋中有 3 个白球，2 个红球，现从中随机取出 3 个球，其中每个白球计 1 分，每个红球
21、计 2 分，记 X 为取出 3 个球的总分值，则 E（X）（ ）第 11 页（共 26 页）A B C4 D【分析】X 的所有可能取值为 3，4，5，根据古典概型求出概率，根据期望公式求出期望即可【解答】解：X 的所有可能取值为 3，4，5，P（X3） ，P（X4） ，P（X5） ，E（X）3 +4 +5 故选：B【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题9 （5 分）将 4 个不同的小球装入 4 个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（ ）A B C D【分析】根据题意，由分步计数原理计算可得“将 4 个不同的小球装入 4
22、个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒” 、 “有 1 个空盒的放法” 、 “有 3个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案【解答】解：根据题意，将 4 个不同的小球装入 4 个不同的盒子，有 44256 种不同的放法，若没有空盒，有 A4424 种放法，有 1 个空盒的放法有 C41C42A33144 种，有 3 个空盒的放法有 C414 种，则至少一个盒子为空的放法有 25624232 种，故“至少一个盒子为空”的概率 P1，恰好有两个盒子为空的放法有 25624144484
23、 种，故“恰好有两个盒子为空”的概率 P2 ，第 12 页（共 26 页）则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率 p ；故选：A【点评】本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率10 （5 分）在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线 AB1 与BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D【分析】以 A 为原点，在平面 ABC 中，过 A 作 AC 的垂线为 x 轴，AC 为 y 轴，AA 1 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AB1 与 BC1
24、 所成角的余弦值【解答】解：在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，设底面边长和侧棱长都为 2，以 A 为原点，在平面 ABC 中，过 A 作 AC 的垂线为 x 轴，AC 为 y 轴，AA 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0） ，B 1（ ，1，2） ，B（ ） ，C 1（0，2，2） ，（ ） ， （ ，1，2） ，设异面直线 AB1 与 BC1 所成角为 ，则 cos ，异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的第 13 页（共 26 页）位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形
25、结合思想，是中档题11 （5 分）已知椭圆 右焦点为 F（3，0）过点 F 的直线交 E于 A，B 两点，若 AB 的中点坐标为 ，则 E 的离心率是（ ）A B C D【分析】设 A（x 1，y 1） ，B（ x2，y 2） 可得： + 1， + 1相减可得：+ 0又 x1+x22，y 1+y21， 代入化简利用 e ，即可得出【解答】解：设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） 可得： + 1， + 1相减可得： + 0又 x1+x22，y 1+y21， 0 ，e 故选：C【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属
26、于中档题12 （5 分）已知函数 f（x ）的定义域为（0，+） ，f'（x）为 f（x）的导函数，且满足f（x）xf '（x ） ，则不等式（x1）f （x+1）f（x 21）的解集是（ ）A （1，2） B （1，+） C （1，2） D （2，+）第 14 页（共 26 页）【分析】函数 f（x ）的定义域为（0，+） ，对于不等式（x1）f（x+1）f （x 21）满足： ，解得 x1不等式（x1）f （x+1）f（x 21） ，令 g（x） ， （x1） 又 f（x）xf'（x） ，g（x）0，利用单调性即可得出不等式的解集【解答】解：函数 f（x
27、 ）的定义域为（0，+） ，对于不等式（x1）f（x+1）f（x 21）满足： ，解得 x1x1 时，不等式（x 1）f（x+1）f （x 21） ，令 g（x） ， （x 1） 又 f（x）xf'（x ） ，g（x） 0，函数 g（x）在（1，+）上单调递增 x+1x 211，x1解得：1x2不等式（x1）f（x+1）f（x 21）的解集是（1，2） 故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13 （5 分）在区间（0，1）内随机地取出两个数，则
28、两数之和小于 的概率为 【分析】设取出的两个数分别为 x、y，可得满足“x 、y（0，1） ”的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的正方形内部，而事件“两数之和小于 ”对应的区域为正方形的内部且在直线 x+y 下方的部分，根据题中数据分别计算两部分的面积，由几何概型的计第 15 页（共 26 页）算公式可得答案【解答】解：设取出的两个数分别为 x、y，可得 0x 1 且 0y1，满足条件的点（x，y ）所在的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的正方形内部，即如图的正方形 OABC 的内部，其面积为 S111，若两数之和小于 ，即 x+y ，对应的区域为直线 x+y 下方，
29、且在正方形 OABC 内部，即如图的阴影部分直线 x+y 分别交 BC、AB 于点 D（ ，1） 、E （1， ） ，S BDE 因此，阴影部分面积为 S'S ABCDS BDE 1 由此可得：两数之和小于 的概率为 P 故答案为： 【点评】本题给出在区间（0，1）内随机地取出两个数，求两数之和小于 的概率着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、正方形和三角形的面积公式、几何概型计算公式等知识点，属于中档题14 （5 分）命题 p：x 2+2x30，命题 q： 1，若q 且 p 为真，则 x 的取值范围是 （，3）（1，23，+） 【分析】求出命题 p，命题 q，通过q 且 p 为真
30、，求出 x 的范围即可【解答】解：命题 p：x 2+2x30，所以 x3 或 x1；命题 q： 1，所以 10， ，所以 2x3q 为 x2 或 x3因为q 且 p 为真，所以 x3 或 x1 与 x2 或 x3 同时成立的 x 的范围是（，3）（1，23，+） 第 16 页（共 26 页）故答案为：（，3）（1，23 ，+） 【点评】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，复合命题的真假的应用，考查计算能力15 （5 分）二项式（ + ） 40 的展开式中，其中是有理项的项数共有 7 【分析】由二项式定理即展开式通项公式得：T r+1 （ ） 40r （ ） r x，令 Z，0r40，r
31、Z ，所以 r0，6 ，12，18，24，30，36，即有理项的项数共有 7 项，得解【解答】解：由二项式（ + ） 40 的展开式的通项为 Tr+1 （ ）40r （ ） r x ，令 Z，0r40，rZ ，所以 r0，6，12，18，24，30，36，即有理项的项数共有 7 项，故答案为：7【点评】本题考查了二项式定理即展开式通项公式，属中档题16 （5 分）已知函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）e x（x+1）给出下列命题：当 x0 时，f（x ）e x（1x）函数 f（x）有 2 个零点f（x）0 的解集为（1， 0）（1，+）x1， x2R，都有|f（x
32、 1）f （x 2）|2其中正确的命题是 【分析】通过函数的奇偶性的定义求出函数的解析式，判断的正误；通过分析出函数的零点的个数判断的正误；直接求解不等式的解集判断的正误；求出函数的最值判断 的正误第 17 页（共 26 页）【解答】解：设 x0，则x0，故 f（x）e x （x+1）f（x） ，f（x）e x （x1） ，故错；f（x）定义在 R 上的奇函数，f（0）0，又 x0 时，f（1）0，x0 时，f（1） 0，故 f（x）有 3 个零点，错；当 x0 时，令 f（x）e x（x+1）0，解得1x0，当 x0 时，令 f（x）e x （x1）0解得 x1，综上 f（x）
33、0 的解集为（1，0）（1，+） ，正确；当 x0 时，f （x）e x（x+2） ，f（x ）在 x2 处取最小值为 ，当 x0 时，f （x）e x （x+2） ，f（x ）在 x2 处取最大值为 ，由此可知函数 f（x ）在定义域上的最小值为 ，最大值为 ，而 2，x 1，x 2R，都有|f（x 1）f（x 2）|2，正确故答案为： 【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数的零点的求法函数的导数求解函数的最值，不等式的解法，考查基本知识的综合应用三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.）17在信息时代的今天，随着手机的发展， “微信”成为人们交流的一种主要方式，某机构通过网络平台对
34、“使用微信交流”的态度进行调查，有数万人参与（全部参与者年龄均在15， 65之间） ，现从参与者中随机选出 200 人，经统计这 200 人中使用微信交流的占将这些使用微信交流的人按年龄分组：第 1 组15，25） ，第 2 组25 ，35） ，第 3 组35，45 ） ，第 4 组45，55 ） ，第 5 组55，65 ，得到的频率分布直方图如图所示（1）从第 1，2，3 组中用分层抽样的方法抽取 12 人，再从这 12 人中随机抽取 3 人参加网络春晚活动，求至少有 1 人年龄在35，45）的概率；（2）把年龄在第 1，2，3 组的人称为青少年组，年龄在第 4，5 组的人称为中老年组，若选
35、出的 200 人中不使用微信交流的中老年人有 26 人，问是否有 99%的把握认为“使用微信交流”与年龄有关？第 18 页（共 26 页）附：P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：K 2 ，其中 na+ b+c+d【分析】 （1）根据对立事件的概率公式可得；（2）计算出观测值，根据临界值表可得【解答】解（1）10（0.01+a+0.015+0.03+0.01）1 得 a0.035，（2 分）所以第 1，2，3 组人数分别为 16，24，5
36、6，从第 1，2，3 组中用分层抽样的方法抽取12 人，则第 1，2，3 组抽取人数分别为 2，3，7，（4 分）设从 12 人中随机抽取 3 人至少有 1 人年龄在35，45）为事件 A，则 （6 分）（2）由题意得 22 列联表不使用微信交流 使用微信交流 合计青少年（人） 14 96 110中老年（人） 26 64 90合计（人） 40 160 200（8 分），（10 分）所以有 99%的把握认为春节期间打算燃放烟花爆竹与年龄有关（12第 19 页（共 26 页）分）【点评】本题考查了独立性检验，属中档题18为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数 x 与每棵作物的产量 y 之间的关
37、系进行研究，收集了 11 块实验田的数据，得到下表：实验田编号n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x（棵/米2）3.5 4 5.1 5.7 6.1 6.9 7.5 8 9.1 10 11.2y （斤/棵） 0.33 0.32 0.3 0.28 0.27 0.25 0.25 0.24 0.22 0.25 0.15技术人员选择模型 y 作为 y 与 x 的回归方程类型，令 ui ，v i ，相关统计量的值如表：ui vi uivi600 44 2721 45642由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示：（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号（给出判断即可，
38、不必说明理由） ；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到 v 关于 u 的线性回归方程 u 中的0.03，求 y 关于 x 的回归方程；（3）利用（2）得到的结果，计算当单位面积播种数 x 为何值时，单位面积的总产量第 20 页（共 26 页）wxy 的预报值最大？（计算结果精确到 0.01）附：对于一组数据（u 1，v 1） ， （u 2，v 2） ， （u n，v n） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 ， ， 5.48【分析】 （1）根据残差图去掉偏离平均值较远的一个可疑数据即可；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到 v 关于 u 的线性回归方程，再写出 y 关
39、于 x的回归方程；（3）利用（2）得到的结果，利用基本不等式计算单位面积播种数 x 为何值时，单位面积的总产量 wxy 的预报值最大【解答】解：（1）根据残差图发现一个可疑数据是第 10 组；（2）剔除可疑数据（10，0.25） ，在剩余的 10 组数据中，计算 50， 4， 0.03，4500.032.5，v 关于 u 的回归方程是 0.03u+2.5；则 y 关于 x 的回归方程是 ；（3）利用（2）得到的结果，结合条件知单位面积的总产量 w 的预报值为 1.83，当且仅当 0.03x 时，此时 x 9.13，即 x9.13 时，单位面积的总产量 wxy 的预报值最大，最大值是 1.83【
40、点评】本题考查了回归分析与函数最值的应用问题，也考查了数据处理能力与运算求第 21 页（共 26 页）解能力，是中档题19已知平面上动点 M 到直线 y2 的距离比它到点 F（0，1）的距离多 1（）求动点 M 的轨迹方程；（）设动点 M 形成的曲线为 E，过点 P（0，1）的直线 l 交曲线 E 于 A，B 两点，若直线 OA 和直线 OB 的斜率之和为 2（其中 O 为坐标原点） ，求直线 l 的方程【分析】 （）由动点 M 到直线 y2 的距离比它到点 F（0，1）的距离多 1，可得动点到点 F 的距离与它到直线 y1 的距离相等，由抛物线的定义可知动点的轨迹是以F 为焦点，以 y1 为
41、准线的抛物线，即可求抛物线 C 的方程；（）由题意可得设直线 l 的方程为 ykx1，联立直线与抛物线的方程可得：x24kx+40，根据韦达定理可得答案【解答】解：（）由动点 M 到直线 y2 的距离比它到点 F（0，1）的距离多 1，可得动点到点 F 的距离与它到直线 y1 的距离相等，由抛物线的定义可知动点的轨迹是以 F 为焦点，以 y1 为准线的抛物线所以方程为 x24y （4 分）（）显然，直线 l 垂直于 x 轴不合题意，故可设所求的直线方程为 ykx1，代入抛物线方程化简，得：x 24kx+40，（6 分）其中4k 2+80，x 1+x24k ，x 1x24（8 分）设点 A（x
42、1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则有 2，因为 y1kx 11，y 2kx 21，代入，整理可得 k2，（11 分）所以直线 l 的方程为 y2x1（12 分）【点评】本题主要考查抛物线的简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于中档题20如图，在以 P 为顶点，母线长为 的圆锥中，底面圆 O 的直径 AB 长为 2，C 是圆 O所在平面内一点，且 AC 是圆 O 的切线，连接 BC 交圆 O 于点 D，连接 PD，PC （1）求证：平面 PAC平面 PBC；（2）若 E 是 PC 的中点，连接 OE，ED，当二面角 BPOD 的大小为 120时，求平面 P
43、AC 与平面 DOE 所成锐二面角的余弦值第 22 页（共 26 页）【分析】 （1）由 AB 是圆 O 的直径， AC 与圆 O 切于点 A，可得 ACAB，由 PO底面圆 O，可得 POAC，利用线面垂直的判定定理可知， AC平面 PAB，即可推出ACPB又在 PAB 中，PAPB AB，可推出 PAPB，利用线面垂直的判定定理可证 PB平面 PAC，从而利用面面垂直的判定定理可证出平面 PAC平面 PBC（2）由 OBPO，可知BOD 为二面角 BPOD 的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 PAC 与平面 DOE 所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）AB 是圆 O 的
44、直径，AC 与圆 O 切于点 A，ACAB，PO底面圆 O，POAC，POABO， AC平面 PAB，ACPB又在PAB 中，PAPB AB，PA PB，PAACA，PB平面 PAC，从而平面 PAC平面 PBC解：（2）OBPO，ODPO，BOD 为二面角 BPOD 的平面角，BOD 120 ，如图建立空间直角坐标系，由题意得 OB1，则 A（0，1，0） ，B（0，1，0） ，D （ ， ，0） ，C（ ，1，0） ，P（0，0，1） ，E（ ， ） ，由（1）知 （0，1，1）为平面 PAC 的一个法向量，设平面 ODE 的法向量为 （ x，y，z） ，（ ， ） ， （ ， ） ， ，
45、 ，取 z1，得 （ ） ，第 23 页（共 26 页）cos 平面 PAC 与平面 DOE 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查了通过线面垂直证明面面垂直重点考查了利用空间向量法求二面角的问题，是中档题21已知函数 f（x ） x2+mx+lnx（1）若函数 f（x ）不存在单调递减区间，求实数 m 的取值范围；（2）若 yf（ x）的两个极值点为 x1，x 2（x 1x 2） ，m ，求 f（x 1）f （x 2）的最小值【分析】 （1）先求出导数，再利用导数性质对 m 分情况讨论来求解；（2）可先对 f（x 1）f（x 2）进行变形，再将问题转化为单变量函数问题来解决【解答】解：（1
46、）依题意，x0，且 f'（x）x+m+ ，记 g（x）x 2+mx+1，若 m 240，即2m 2，则 g（x）0 恒成立， f'（x）0 恒成立，符合题意；若 m 240，即 m 2 或 m2，当 m2 时，x 2+mx+10 有两个不等的负根，符合题意，当 m2 时，x 2+mx+10 有两个不等的正根，则在两根之间函数 f（x ）单调递减，不符合题意综上可得 m2（2）由题意得 x1，x 2 为 g（x ）x 2+mx+1 的两个零点，由（1）得x1+x2m，x 1x21，第 24 页（共 26 页）则 f（x 1）f（x 2） +mx1+ln x1（ +mx2+ln x2） （ ）+m（x 1 x2）+ln x 1ln x 2 （ ）（x 1+x2） （x 1x 2）+ln x 1ln x 2ln （ ）ln ln （ ） 记 t，由 x1x 2 且 m ，知 0t 1，且 f（x 1）f（x 2）ln t （t ） ，记 （t ）ln t （t ） ，则 '（t） 0，故 （t ）在（0，1）上单调递
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