1、函数与方程思想、数形结合思想【2019 年高考考纲解读】数 学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习 领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.【高考题型示例】题型一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式
2、恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数 思想构造新函数，建立函数关系求解.例 1.若 0ln x2ln x1B. 21xD.1221 的解集为_ _.gxex例 3.已知 f(t)log 2t， t ，8，对于 f(t)值域内的所有 实数 m，不等式2x2 mx42 m4 x 恒成立，则 x 的取值范围是_.例 4.若 x2，1时，不等式 ax3 x24 x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.题型二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般
3、化归为方程(组)来解决.例 5. 已知 an是等差数列， a1010，其前 10 项和 S1070，则其公差 d 等于( )A. B. C. D.23 13 13 23例 6.已知在数列 an中，前 n 项和为 Sn，且 Sn an，则 的最大值为( )来源:n 23 anan 1A.3 B.1 C.3 D.1例 7.在等差数列 an中，若 a10， b0)的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 A 为圆x2a2 y2b2心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 P， Q 两点，若 PAQ60，且 3 ，则双曲线 COQ OP 的离心率为( )A. B. C. D.2 33 72 396 3例 11
4、.设椭圆中心在坐标原点， A(2，0)， B(0，1)是它的两个顶点，直线 y kx(k0)与 AB相交于点 D，与椭圆相交于 E， F 两点.若 6 ，则 k 的值为_.ED DF 例 12.已知直线 l： y k(x1)与抛物线 C： y24 x 交于不同的两点 A， B，且以 AB 为直径的圆过抛物线 C 的焦点 F，则 k_.题型四、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.例 1.函数 f(x)2 x 的零点个数为( )1xA.0
5、B.1 C.2 D.3例 2.若关于 x 的方程 kx2有四个不同的实数解，则 k 的取值范围为_.|x|x 4例 3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f( x1) f(x1)，当 x1，0时，f(x) x3，则关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的所有实数解之和为_.52， 12例 4.已知函数 f(x)Error!则方程 f(x) ax 恰有两个不同的实根时，实数 a 的取值范围是_.题型五、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018全国 )设函数 f
6、(x)Error!则满足 f(x1) f(2x)的 x 的取值范围是( )A.(，1 B.(0，)C.(1，0) D.(，0)例 6.设 A( x， y)|x2( y1) 21， B( x， y)|x y m0，则使 AB 成立的实数 m的取值范围是_.例 7.若不等式| x2 a| x a1 对 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.12例 8.已知函数 f(x)Error!若存在两个不相等的实数 x1， x2，使得 f(x1) f(x2)，则实数a 的取值范围为_.题型六、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解
7、析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离.来源:Z+xx+k.Com例 9.已知圆 C：( x3) 2( y4) 21 和两点 A( m，0)， B(m，0)( m0).若圆 C 上存在点P，使得 APB90，则 m 的最大值为( )A.7 B.6 C.5 D.4例 10.设双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右顶点分别为 A1， A2，左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 A1A2为
8、 直径的圆与直线 PF2相切，则双曲线 C 的离心率为( )A. B. C.2 D.2 3 5例 11.已知抛物线的方程为 x28 y， F 是其焦点，点 A(2，4)，在此抛物线上求一点 P，使 APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为_.例 12.已知 P 是直线 l：3 x4 y80 上 的动点， PA， PB 是圆 x2 y22 x2 y10 的两条切线， A， B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为_.【2019 年高考考纲解读】数学教学的最终目标，是要让 学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义
9、的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.【高考题型示例】题型一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.例 1.若 0ln x2ln x1B. 21xD.122g(x2)， e，故选 C.例 2.已知定义在 R 上的函数 g
10、(x)的导函数为 g( x)，满足 g( x) g(x)1 的解集为_.gxex答案 (，0)例 3.已知 f(t)log 2t， t ，8，对于 f(t)值域内的所有实数 m，不等式2x2 mx42 m4 x 恒成立，则 x 的取值范围是_.答案 (，1)(2，)解析 t ，8， f(t) .2 12， 3问题转化为 m(x2)( x2) 20 恒成立，当 x2 时，不等式不成立， x2.令 g(m) m(x2)( x2) 2， m .12， 3问题转化为 g(m)在 上恒大于 0，12， 3则Error!即Error!解得 x2 或 x0， 设 Sn f(n)，则 f(n)为二次函数，又由
11、 f(7) f(17)知， f(n)的图象开口向上，关于直线 n12 对称，故 Sn取最小值时 n 的值为 12.例 8.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S42， S63，则 nSn的最小 值为_.答案 9解析 由Error!解得 a12， d1，所以 Sn ，故 nSn .n2 5n2 n3 5n22令 f(x) ，则 f( x) x25 x，x3 5x22 32令 f( x)0，得 x0 或 x ，103 f(x)在 上单调递减，在 上单调递增.(0，103) (103， )又 n 是正整数，故当 n3 时， nSn取得最小值9.题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何
12、中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决 ；求变量的取值范围和最值问 题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.例 9.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 D， E 两点.已知|AB|4 ，| DE|2 ，则 C 的焦点到准线的距离为( )2 5A.2 B.4 C.6 D.8答案 B解析 不妨设抛物线 C： y22 px(p0)，圆的方程设为 x2 y2 r2(r0)，如图，又可设 A(x0，2 )， D ，2 (p2， 5)点 A(x
13、0，2 )在抛物线 y22 px 上，82 px0，2点 A(x0，2 )在圆 x2 y2 r2上， x 8 r2，2 20点 D 在圆 x2 y2 r2上，5 2 r2，(p2， 5) (p2)联立，解得 p4(负值舍去)，即 C 的焦点到准线的距离为 p4，故选 B.例 10.如图，已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 A 为圆x2a2 y2b2心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 P， Q 两点，若 PAQ60 ，且 3 ，则双曲线OQ OP C 的离心率为( )A. B. C. D.2 33 72 396 3答案 B解析 因为 PAQ60，| AP
14、| AQ|，所以| AP| AQ| PQ|，设| AQ|2 R，又 3 ，则| OP| |PQ| R.OQ OP 12双曲线 C 的渐近线方程是 y x， A(a，0)，ba所以点 A 到直线 y x 的距离 d ，ba|baa 0|(ba)2 12 aba2 b2所以 2(2 R)2 R23 R2，(aba2 b2)即 a2b23 R2(a2 b2)，在 OQA 中，由余弦定理得， |OA|2| OQ|2| QA|22| OQ|QA|cos 60(3 R)2(2 R)223 R2R 7 R2 a2.12由Error!得Error!所以双曲线 C 的离心率为 e .ca c2a2 a2 b2a
15、2 1 b2a2 1 214R27R2 72例 11.设椭圆中心在坐标原点， A(2，0)， B(0，1)是它的两个顶点，直线 y kx(k0)与 AB相交于点 D，与椭圆相交于 E， F 两点.若 6 ，则 k 的值为_.ED DF 答案 或23 38解析 依题意得椭圆的方程为 y21，直线 AB， EF 的方程分别为x24x2 y2， y kx(k0).如图，设 D(x0， kx0)， E(x1， kx1)， F(x2， kx2)，其中 x1 .1k 14所以 k 的取值范围为 .(14， )例 3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f( x1) f(x1)，当 x1，0时，
16、f(x) x3，则关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的所有实数解之和为_.52， 12答案 7解析 因为函数 f(x)为偶函数，所以 f( x1) f(x1) f(x1)，所以函数 f(x)的周期为 2.又当 x1，0时， f(x) x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数 y1 f(x)与y2|cos x|的图象如图所示.由图象知关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的实数解有 7 个.52， 12不妨设 x1 时，只需求出当直线x4 14 14y ax 和曲线 yln x 相切时的斜率即可.由于相切时交点只有 1 个，故结合 图象知，实数a 的取值范围是 .14， 1e
17、)题型五、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018全国 )设函数 f(x)Error!则满足 f(x1) f(2x)的 x 的取值范围是( )A.(，1 B.(0，)C.(1，0) D.(，0)答案 D解析 方法一 当Error!即 x1 时，f(x1) f(2x)即为 2( x1) 2 2 x，即( x1)2 x，解得 x1.因此不等式的解集为(，1.当Error!时，不等式组无解.当Error!即1 x0 时， f(x1) f(2x)即 12 2 x，解得 x0.因此不等式的
18、解集为(1，0).当Error!即 x0 时， f(x1)1， f(2x)1，不合题意.综上，不等式 f(x1) f(2x)的解集为(，0).故选 D.此时1 x0.综上，不等式 f(x1) f(2x)的解集为(，1(1，0)(，0).故选 D.例 6.设 A( x， y)|x2( y1) 21， B( x， y)|x y m0，则使 AB 成立的实数 m的取值范围是_.答案 1，)2解析 集合 A 是圆 x2( y1) 21 上的点的集合，集合 B 是不等式 x y m0 表示的平面区域内的点的集合，要使 AB，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x y m 0 应与圆相切或相离(在圆的
19、左下方)，而当直线与圆相切时，有 1，又|m 1|2m0，所以 m 1，故 m 的取值范围是 1，).2 2来例 7.若不等式| x2 a| x a1 对 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.12答案 ( ，12解析 作出 y1| x2 a|和 y2 x a1 的简图，如图所示.12依题意得Error!故 a .12例 8.已知函数 f(x)Error!若存在两个不相等的实数 x1， x2，使得 f(x1) f(x2)，则实数a 的取值范围为_.答案 0，)解析 根据题意知 f(x)是一个分段函数，当 x1 时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为 x a；当 x1 时，如图(1)所示
20、，符合题意；当0 a1 时，如图(2)所示，符合题意；当 a0).若圆 C 上存在点P，使得 APB90，则 m 的最大值为( )A.7 B.6 C.5 D.4答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3，4)，半径 r1，且|AB|2 m，因为 APB90，连接 OP，可知| OP| |AB| m.12要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离.因为| OC|5，所以|OP|max| OC| r6，即 m 的最大值为 6.例 10.设双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右顶点分别为 A1， A2，左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1，
21、F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 A1A2为直径的圆与直线 PF2相切，则双曲线 C 的离心率为( )A. B. C.2 D.2 3 5答案 D解析 如图所示，设以 A1A2为直径的圆与直线 PF2的切点为 Q，连接 OQ，则 OQ PF2.又 PF1 PF2， O 为 F1F2的中点，所以| PF1|2| OQ|2 a.又| PF2| PF1|2 a，所以| PF2|4 a.在 Rt F1PF2中，由| PF1|2| PF2|2| F1F2|2，得 4a216 a220 a24 c2，即 e .ca 5例 11.已知抛物线的方程为 x28 y， F 是其焦点，点
22、 A(2，4)，在此抛物线上求一点 P，使 APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为_. 答案 ( 2，12)解析 因为(2) 284，所以点 A(2，4)在抛物线 x28 y 的内部，如图，设抛物线的准线为 l，过点 P 作 PQ l 于点 Q，过点 A 作 AB l 于点 B，连接 AQ，由抛物线的定义可知， APF 的周长为|PF| PA| AF| PQ| PA| AF| AQ| AF| AB| AF|，当且仅当 P， B， A 三点共线时， APF 的周长取得最小值，即| AB| AF|.因为 A(2，4)，所以不妨设 APF 的周长最小时，点 P 的坐标为(2， y0)，代入 x28
23、 y，得 y0 .12故使 APF 的周长最小的点 P 的坐标为 .来( 2， 12)例 12.已知 P 是直线 l：3 x4 y80 上的动点， PA， PB 是圆 x2 y22 x2 y10 的两条切线， A， B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为_.来答案 2 2解析 连接 PC，由题意知圆的圆心 C(1，1)，半径为 1，从运动的观点看问题，当动点 P沿直线 3x4 y80 向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt PAC 的面积 SPAC |PA|AC| |PA|越来越大，从而 S 四边形 PACB也越来越大；12 12当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时， S 四边形 PACB变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的 位置，即 CP 垂直于直线 l 时， S 四边形 PACB有唯一的最小值，此时| PC|3，从而| PA| 2 ，所以( S 四边形 PACB)|31 41 8|32 42 |PC|2 |AC|2 2min2 |PA|AC|2 .12 2
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