2019年福建省漳州市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

1、2019 年福建省漳州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （  ）A B C D2 （5 分）已知集合 Ax| 1x+13，B x|ylog （x +1） ，则 AB（  ）A （1，+ ） B （2，1） C （1，2） D （2，2）3 （5 分） 九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠，长五尺，在粗的一端截下一尺，重 4 斤；在细的一端截下一尺，重 2 斤问各尺依次重多少？”

2、按这一问题的题设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（  ）A 斤 B 斤 C 斤 D3 斤4 （5 分）已知向量 ， 满足| |1，| | ，且 ， 夹角为 ，则（ + ）（2 ）（  ）A B C D5 （5 分）设 x，y 满足约束条件 的最大值是（  ）A4 B0 C8 D126 （5 分）已知点 M 为双曲线 C：x 2 1 的左支上一点，F 1，F 2 分别为 C 的左、右焦点，则| MF1|+|F1F2|MF 2|（  ）A1 B4 C6 D87 （5 分）某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样

3、测试，先将 600 个零件进行编号，编号分别为 001，002，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04第 2 页（共 23 页）32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77

4、89 23 45若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 6 个样本编号（  ）A522 B324 C535 D5788 （5 分）如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 AB 和 A1D1 的中点分别为 E，F，则直线EF 与平面 AA1D1D 所成角的正弦值为（  ）A B C D9 （5 分）将函数 f（x ）cos（2x ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 yg（x）的图象，则下列判断错误的是（  ）A曲线 yg（x）关于直线 x 对称B曲线 yg（ x）关于点（ ，0）对称C函数 g（x）

5、在（ 0， ）上单调递增D函数 g（x）在（ ）上单调递减10 （5 分）已知边长为 2 的正方形 ABCD 的中心为点 P，在正方形 ABCD 内任取一点Q，则点 Q 满足|PQ|2 的概率为（  ）A B C D11 （5 分）直线 ykx+1 与抛物线 C：x 24y 交于 A，B 两点，直线 lAB，且 l 与 C 相切，切点为 P，记PAB 的面积为 S，则 S|AB| 的最小值为（   ）A B C D12 （5 分）已知 f（x ）e 2x+ex+22e 4，g（x）x 23ae x，Ax|f（x）0，Bx| g（x ）0，若存在 x1A，x 2B，使得|x

6、1x 2|1，则实数 a 的取值范围为（  ）A （ B （ ， C ） D ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上第 3 页（共 23 页）13 （5 分）已知 m0，若（ 1+mx） 5 的展开式中 x2 的系数比 x 的系数大 30，则 m     14 （5 分）已知数列a n满足 a12， 2，若 bn2 ，则数列b n的前 n项和 Sn     15 （5 分）已知正四面体 ABCD 的外接球的体积为 8 ，则这个四面体的表面积为     16 （5 分）已知函

7、yf（x+1）2 是奇函数，g（x） ，且 f（x）与 g（x）的图象的交点为（x 1， y1） ， （x 2，y 2） ， （x n，y n） ，则 x1+x2+x6+y1+y +y6     三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（sin A+sinB）（ab）（sinCsin B）c（1）求 A；（2）已知 a2，ABC 的面积为 的周长18 （

8、12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 ABCD平面PAD，ADBC，ABBCAP AD，ADP30 ， BAD90，E 是 PD 的中点（1）证明：PDPB ；（2）设 AD2，点 M 在线段 PC 上且异面直线 BM 与 CE 所成角的余弦值为 ，求二面角 MAB P 的余弦值第 4 页（共 23 页）19 （12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y21（1a5）上，该椭圆的左顶点 A 到直线 xy+50 的距离为 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若线段 MN 平行于 y 轴，满足（ 2 ） 0，动点 P 在直线 x2 上，满足 2证明：过点 N 且垂直于 O

9、P 的直线过椭圆 C 的右焦点 F20 （12 分）2018 年 9 月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达 52 亿元某青年志愿者组织调查了某地区的 50 个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：0，2000， （2000，4000，（4000，6000， （6000，8000， （8000，10000（单位：元） ，得到如图所示的频率分布直方图（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这 50 户并且损失超

10、过 4000 元的农户中随机抽取 2 户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000 元的农户数为 X，求 X 的分布列和数学期望21 （12 分）已知函数 f（x ）xlnx（1）若函数 g（x） ，求 g（x）的极值；（2）证明：f（x ）+1e xx 2（参考数据：ln20.69，1n3 1.10，e 4.48，e 27.39）（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）第 5 页（共 23 页）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x

11、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为4sin （1）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（2）求 C1 与 C2 交点的极坐标（0，02） 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 f（x） |x+a|（aR） （1）若 f（x） |2x 1| 的解集为 0，2，求 a 的值；（2）若对任意 xR，不等式 f（x）+|xa| 3a2 恒成立，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 23 页）2019 年福建省漳州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符合题目要求的1 （

12、5 分） （  ）A B C D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2 （5 分）已知集合 Ax| 1x+13，B x|ylog （x +1） ，则 AB（  ）A （1，+ ） B （2，1） C （1，2） D （2，2）【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax| 1x+13 x|2x2，B x|ylog （x+1）x| x1 ，ABx| 1x 2（1，2） 故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3

13、 （5 分） 九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠，长五尺，在粗的一端截下一尺，重 4 斤；在细的一端截下一尺，重 2 斤问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（  ）A 斤 B 斤 C 斤 D3 斤【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项 a14，则 a52，第 7 页（共 23 页）设公差为 d，则：24+4d，解得 d a 24 故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式

14、，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4 （5 分）已知向量 ， 满足| |1，| | ，且 ， 夹角为 ，则（ + ）（2 ）（  ）A B C D【分析】按照多项式乘多项式展开后利用数量积的性质可得【解答】解：（ + ）（2 ）2 2 2+ 23+1 故选：A【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题5 （5 分）设 x，y 满足约束条件 的最大值是（  ）A4 B0 C8 D12【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 zx+y过点 A（4，4）时，z 最大值即可【解答】解：先根据 x，y 满足约束条件画出可行域，然后平移直线

15、 0x+y ，当直线 zx+y 过点 ，解得 A（4，4）时，z 最大值为 8故选：C第 8 页（共 23 页）【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题6 （5 分）已知点 M 为双曲线 C：x 2 1 的左支上一点，F 1，F 2 分别为 C 的左、右焦点，则| MF1|+|F1F2|MF 2|（  ）A1 B4 C6 D8【分析】利用双曲线方程，通过双曲线的定义，转化求解即可【解答】解：双曲线 C：x 2 1，可得 a1，b2 ，c3，则点 M 为双曲线 C：x 2 1 的左支上一点，F 1，F 2 分别为 C 的左、右焦点，则|MF 1|+|F1

16、F2|MF 2|2a+2c4故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力7 （5 分）某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号分别为 001，002，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96

17、08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 6 个样本编号（  ）A522 B324 C535 D578【分析】根据随机抽样的定义进行判断即可第 9 页（共 23 页）【解答】解：第 6 行第 6 列的数开始的数为 808，不合适，436，789 不合适，535，577，348，994 不合适，837 不合适，522，535 重复不合适，578 合适则满足条件的 6 个编号为 436，535，577，3

18、48，522，578，则第 6 个编号为 578，故选：D【点评】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键8 （5 分）如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 AB 和 A1D1 的中点分别为 E，F，则直线EF 与平面 AA1D1D 所成角的正弦值为（  ）A B C D【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线 EF 与平面 AA1D1D 所成角的正弦值【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方

19、体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 2，则 E（2，1，0） ，F（1，0，2） ， （1，1，2） ，平面 AA1D1D 的法向量 （0，1，0） ，设直线 EF 与平面 AA1D1D 所成角为 ，则 sin 直线 EF 与平面 AA1D1D 所成角的正弦值为 故选：C第 10 页（共 23 页）【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题9 （5 分）将函数 f（x ）cos（2x ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 yg（x）的图象，则下列判断错误的是（  ）A曲线

20、 yg（x）关于直线 x 对称B曲线 yg（ x）关于点（ ，0）对称C函数 g（x）在（ 0， ）上单调递增D函数 g（x）在（ ）上单调递减【分析】利用函数 yA cos（x+）的图象变换规律，求得 g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论【解答】解：将函数 f（x ）cos （2x ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 yg（x ）cos（x ）的图象，令 x ，求得 g（x ）1，故曲线 yg（x）关于直线 x 对称，故 A 正确；令 x ，求得 g（x ）0，故曲线 yg（x）关于点（ ，0）对称，故 B 正确；在（0， ）上，x

21、 （ ，0） ，函数 g（x）单调递增，故 C 正确；在（ ）上，x （ ， ） ，函数 g（x）没有单调性，故 D 错误，故选：D【点评】本题主要考查函数 yAcos（x+）的图象变换规律，余弦函数的单调性以及第 11 页（共 23 页）图象的对称性，属于基础题10 （5 分）已知边长为 2 的正方形 ABCD 的中心为点 P，在正方形 ABCD 内任取一点Q，则点 Q 满足|PQ|2 的概率为（  ）A B C D【分析】由扇形的面积公式得：阴影部分的面积为 S ，由几何概型中的面积型得：所求概率为 P ，得解【解答】解：在 RtPAD 中，由题意可知：| PA|2，|PD| ，

22、则APD ，从而 ，|AB|2，则阴影部分的面积为S ，故所求概率为 P ，故选：A【点评】本题考查了扇形的面积公式及几何概型中的面积型，属中档题11 （5 分）直线 ykx+1 与抛物线 C：x 24y 交于 A，B 两点，直线 lAB，且 l 与 C 相切，切点为 P，记PAB 的面积为 S，则 S|AB| 的最小值为（   ）A B C D【分析】设出 A，B 的坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得 P 到 AB 的距离，得到PAB 的面积为 S，作差后利用导数求最值【解答】解：设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2）

23、，联立 ，得 x24kx40，第 12 页（共 23 页）则 x1+x24k， 则|AB| 由 x24y，得 ， ，设 P（x 0，y 0） ，则 ， x02k， 则点 P 到直线 ykx+1 的距离 d ，从而 S S|AB| （d 1） 令 f（x）2x 34x 2，f（x）6x 28x（x 1） 当 1x 时，f（x）0，当 x 时，f （x）0，故 ，即 S|AB |的最小值为 故选：D【点评】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中档题12 （5 分）已知 f（x ）e 2x+ex+22e 4，g（x）x 23ae x，Ax|f（x）0，Bx| g（x ）0，若

24、存在 x1A，x 2B，使得|x 1x 2|1，则实数 a 的取值范围为（  ）A （ B （ ， C ） D ）【分析】由函数的零点与方程的根的关系得：|x 1x 2|1，则|2 x 2|1，即 1x 23，即 g（x）x 23ae x 在（1，3）上存在零点，由方程有解问题，采用分离变量值域法得：x 23ae x0 在（1，3）上有解，即 3a在（1，3）上有解，利用导数求函数的单调性及最值得：h （x） ，所以 h（x）在（1，2）为增函数，在（2，3）为减函数，又 h（1） ，h（2） ，h（3） h（1） ，所以 ，得解【解答】解：因为 f（x ）e 2x+ex+22e 4

25、（e xe 2） （e x+2e2） ，第 13 页（共 23 页）令 f（x）0，解得 x12，又|x 1x 2|1，则|2x 2|1，即 1x 23，即 g（x）x 23ae x 在（1，3）上存在零点，即 x23ae x0 在（1，3）上有解，得 3a 在（1，3）上有解，设 h（x）   x（1，3） ，由 h （x） ，所以 h（x）在（1，2）为增函数，在（2，3）为减函数，又 h（1） ，h（2） ，h（3） h（1） ，所以 ，所以只需 ，即 ，故选：B【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系、方程有解问题及利用导数求函数的单调性及最值，属中档题二、填空题：本大题

26、共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分）已知 m0，若（ 1+mx） 5 的展开式中 x2 的系数比 x 的系数大 30，则 m 2 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得 m 的值【解答】解：m0，若（ 1+mx） 5 的展开式中 x2 的系数比 x 的系数大 30， m2 m30，求得 m （舍去） ，或 m2，故答案为：2【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14 （5 分）已知数列a n满足 a12， 2，若 bn2 ，则数列b n的前 n第 14 页（共 23 页）项

27、和 Sn    【分析】首先利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用等比数列的前 n 项和公式的应用求出结果【解答】解：数列a n满足 a12， 2，则：数列 是以 为首项，2 为公差的等差数列故：a n2+2（n1）2n由于首项符合通项，故：a n2n，所以：bn2 2 2n4 n，所以： 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前 n 项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型15 （5 分）已知正四面体 ABCD 的外接球的体积为 8 ，则这个四面体的表面积为 16   【分析】先计算出正四面体 A

28、BCD 的外接球的半径 R，将该正四面体放入一个正方体内，且使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积【解答】解：将正四面体 ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为 a，如下图所示，设正四面体 ABCD 的外接球的半径为 R，则 ，得 第 15 页（共 23 页）正四面体 ABCD 的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有 ，而正四面体 ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体 ABCD 的棱长为 ，因此，这个正四面体的表面积为 故答案为： 【点评】本题考查球的内接多面体

29、，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中等题16 （5 分）已知函 yf（x+1）2 是奇函数，g（x） ，且 f（x）与 g（x）的图象的交点为（x 1， y1） ， （x 2，y 2） ， （x n，y n） ，则 x1+x2+x6+y1+y +y6 18 【分析】由题意首先确定所给函数的对称性，然后结合函数的对称性整理计算即可求得最终结果【解答】解：因为函数 yf（x+1）2 为奇函数，所以函数 f（x）的图象关于点（1，2）对称，关于点（1，2）对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，则 （x 1+x2+x6）+（y 1

30、+y2+y6）23+4318故答案为：18【点评】本题主要考查函数的对称性，整体对称的数学思想等知识，属于中等题三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（sin A+sinB）（ab）（sinCsin B）c（1）求 A；（2）已知 a2，ABC 的面积为 的周长【分析】 （1）由已知结合正弦定理可得，b 2+c2a 2bc，然后结合余弦定理可求cosA，进而可求 A第 1

31、6 页（共 23 页）（2）由（1）及三角形的面积公式可求 bc，进而可求 b+c，即可求解【解答】解：（1）（sinA +sinB） （ab）（sinC sin B）c由正弦定理可得， （a+b） （ab（cb）c化简可得，b 2+c2a 2bc由余弦定理可得，cosA 0A ，（2）b 2+c2a 2bc ，a2（b+c） 243bc ，S ，bc2，则 b+cABC 的周长为 2+ 【点评】本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 ABCD平面PAD，ADBC，ABBCAP AD，ADP30 ，

32、 BAD90，E 是 PD 的中点（1）证明：PDPB ；（2）设 AD2，点 M 在线段 PC 上且异面直线 BM 与 CE 所成角的余弦值为 ，求二面角 MAB P 的余弦值【分析】 （1）推导出 BAAD，从而 BA平面 PAD，进而 BAPD，再求出 APPD，从则 PD平面 PAB，由此能证明 PDPB第 17 页（共 23 页）（2）以 P 为坐标原点，过点 P 垂直于平面 PAD 的射线为 z 轴，射线 PD 为 x 轴，射线PA 为 y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 MABP 的余弦值【解答】证明：（1）BAD90，BAAD，平面 ABCD平面 PAD，交线为

33、 AD，BA平面 PAD，BAPD，在PAD 中， ，sin APD1，APD90，APPD ，BAAPA，PD平面 PAB，PB 平面 PAB，PDPB解：（2）如图，以 P 为坐标原点，过点 P 垂直于平面 PAD 的射线为 z 轴，射线 PD 为x 轴，射线 PA 为 y 轴，建立空间直角坐标系，AD2，AB BC+ AP1，PD ，P（0，0，0） ，A（0，1，0） ，B（0，1，1） ，C （ ，1） ，E（ ，0，0） ，设 ，则 （ ， ，1） ，M （ ， ，） ， （ ， ，1） ，又 （0， ，1） ，点 M 在线段 PC 上且异面直线 BM 与 CE 所成角的余弦值为，

34、|cos | ，整理，得 9236+200，解得 或 （舍） ，M（ ， ， ） ，设平面 MAB 的法向量 （x ，y，z） ，则 ，取 x2，得 （2， ，0） ，由（1）知 PD平面 PAB，平面 PAD 的一个法向量为 （1，0，0） ，cos 第 18 页（共 23 页）二面角 MAB P 的余弦值为 【点评】该题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y21（1a5）上，该椭圆的左顶点 A 到直线 xy+50 的距离为 （1）求椭

35、圆 C 的标准方程；（2）若线段 MN 平行于 y 轴，满足（ 2 ） 0，动点 P 在直线 x2 上，满足 2证明：过点 N 且垂直于 OP 的直线过椭圆 C 的右焦点 F【分析】 （1）根据点到直线的距离公式即可求出 a 的值，可得椭圆方程，（2）由题意 M（x 0，y 0） ，N（x 0，y 1） ，P（2 ，t ） ，根据（ 2 ） 0，可得y12y 0，由 2，可得 2 x0+2y0t6，再根据向量的运算可得 0，即可证明【解答】解：（1）左顶点 A 的坐标为（a，0） ， ，|a 5|3，解得 a2 或 a8（舍去） ，椭圆 C 的标准方程为 +y21，证明：（2）由题意 M（x

36、0，y 0） ，N（x 0，y 1） ，P（2 ， t） ，则依题意可知 y1y 0，由（ 2 ） 0 可得（x 0，y 12y 0） （0，y 1y 0） ，整理可得 y12y 0，由 2，可得（x 0，2y 0） （2 x 0，t2y 0）2，整理可得 2 x0+2y0tx 02+4y02+26，第 19 页（共 23 页）由（1）可得 F（ ，0） ， （ x 0，2y 0） ， （ x 0，2y 0） （2 ，t ）62 x02y 0t0，NFOP，故过点 N 且垂直于 OP 的直线过椭圆 C 的右焦点 F【点评】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能

37、力和转化与化归能力，属于中档题20 （12 分）2018 年 9 月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达 52 亿元某青年志愿者组织调查了某地区的 50 个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：0，2000， （2000，4000，（4000，6000， （6000，8000， （8000，10000（单位：元） ，得到如图所示的频率分布直方图（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这 50 户并且损失超过

38、4000 元的农户中随机抽取 2 户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000 元的农户数为 X，求 X 的分布列和数学期望【分析】 （1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失多少元；（2）根据频率分布直方图计算随机变量 X 的可能取值，再求 X 的分布列和数学期望值【解答】解：（1）记每个农户的平均损失为 元，则（10000.00015+30000.00025+50000.00008+70000.00001+90000.00001）20002920；（2）由频率分布直方图，可得损失超过 4000 元的农户共有第 20 页（共 23 页）（0.00008+0.00001+0.00001）2000

39、5010（户） ，损失超过 8000 元的农户共有 0.000012000501（户） ，随机抽取 2 户，则 X 的可能取值为 0，1；计算 P（X 0） ，P（X1） ，所以 X 的分布列为； X 0 1P数学期望为 E（X）0 +1 【点评】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）xlnx（1）若函数 g（x） ，求 g（x）的极值；（2）证明：f（x ）+1e xx 2（参考数据：ln20.69，1n3 1.10，e 4.48，e 27.39）【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区

40、间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为证 exx 2xlnx 10，根据 xlnxx（ x1） ，问题转化为只需证明当x0 时，e x2x 2+x10 恒成立，令 k（x）e x2x 2+x1， （x0） ，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）g（x） （x0） ，故 g（x） ，令 g（x）0，解得：0xe 2，令 g（x）0，解得：x e 2，故 g（x）在（0，e 2）递增，在（e 2，+）递减，第 21 页（共 23 页）故 g（x）极大值g（e 2） ；（2）证明：要证 f（x ）+1e xx 2即证 exx 2xlnx10，先证明 lnxx1，取 h（x ） lnxx+

41、1，则 h（x） ，易知 h（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，故 h（x）h（1）0，即 lnxx 1，当且仅当 x1 时取 “” ，故 xlnxx（x1） ，e xx 2xlnxe x2x 2+x1，故只需证明当 x0 时，e x2x 2+x10 恒成立，令 k（x）e x2x 2+x1， （ x0） ，则 k（x）e x4x+1，令 F（x ）k（x） ，则 F（x）e x4，令 F（x）0，解得：x2ln2，F（x）递增，故 x（0，2ln2 时，F（x）0，F （ x）递减，即 k（x）递减，x（2ln2，+）时，F（x）0，F（x ）递增，即 k（x）递增，且 k（2ln2）

42、 58ln20，k（0）20，k （2）e 28+10，由零点存在定理，可知x 1（ 0，2ln 2） ， x2（2ln2，2） ，使得 k（x 1）k（x 2）0，故 0xx 1 或 xx 2 时，k（x）0，k （x）递增，当 x1xx 2 时， k（x）0，k（x ）递减，故 k（x）的最小值是 k（0） 0 或 k（x 2） ，由 k（x 2）0，得 4x 21，k（x 2） 2 +x21 （x 22） （2x 21） ，x 2（2ln2，2） ，k （x 2）0，故 x0 时，k（x ）0，原不等式成立【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化

43、思想，是一道综合题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为第 22 页（共 23 页）4sin（1）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（2）求 C1 与 C2 交点的极坐标（0，02） 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）利用方程组求出交点的坐标，进一步转换为极坐标【解答】解：（1）曲

44、线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为：（x2） 2+（y4） 24，转换为极坐标方程为： 24cos 8 sin+160（2）曲线 C2 的极坐标方程为 4sin 转换为直角坐标方程为：x 2+y24y 0，所以： ，整理出公共弦的直线方程为：x+y40，故： ，解得： 或转换为极坐标为：（2 ）或（4， ） 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程组的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 f（x） |x+a|（aR） （1）若 f（x） |2x 1| 的解集

45、为 0，2，求 a 的值；（2）若对任意 xR，不等式 f（x）+|xa| 3a2 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出 a 的值；（2）利用绝对值不等式求出 f（x ）+|xa|的最小值，把不等式 f（x）+|xa| 3a2 化为只含有 a 的不等式，求出不等式解集即可【解答】解：（1）不等式 f（ x）|2x1| ，即|x+a|2 x1|，第 23 页（共 23 页）两边平方整理得 3x2（2a+4）x+1a 20，由题意知 0 和 2 是方程 3x2（2a+4）x+1a 20 的两个实数根，即 ，解得 a1；（2）因为 f（x ）+| xa|x+a|+|x a|（x+a）（xa）| 2|a|，所以要使不等式 f（x ）+| xa|3a2 恒成立，只需 2|a| 3a2，当 a0 时，2a3a2，解得 a2，即 0a2；当 a0 时，2a3a2，解得 a ，即 a0；综上所述，a 的取值范围是（，2【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题