1、模块综合检测(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“ xR,2x 31 ”的否定是 ( )AxR,2 x31 B xR,2x 31CxR,2x 31 D xR,2 x31答案：C2已知椭圆 E： 1 的两个焦点分别为 F1，F 2，M 是平面内任一点则x24 y23“|MF1| MF2|4”是“点 M 在椭圆 E 上”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：由题意知，椭圆的长轴长 2a4，根据椭圆的定义知，C 选项正确答案：
2、C3双曲线的渐近线为 y x，且过点 M(2， )，则双曲线的方程为( )22 3Ax 2 1 B. y 21y22 x22C. x 21 Dy 2 1y22 x22解析：依题意可设双曲线方程为 y 2 (0) ，将 M(2， )代入双曲线方程，得x22 31.故所求双曲线方程为 y2 1.x22答案：D4已知命题 p：若 xy，则x y，则 x2y2.在命题pq；pq；p(綈 q)；(綈 p)q 中，真命题是( )A BC D解析：由不等式的性质可知，命题 p 是真命题，命题 q 为假命题，故pq 为假命题，p q 为真命题，綈 q 为真命题，则 p(綈 q)为真命题，綈 p 为假命题，则(
3、綈 p)q 为假命题，所以选 C.答案：C5已知空间向量 a(1，n,2)，b(2,1,2) ，若 2ab 与 b 垂直，则|a|等于( )A. B.5 32 212C. D.372 3 52解析：由已知可得 2ab(2,2n,4) (2,1,2) (4，2n1,2)又 (2ab) b， 82n140.2n5，n .|a| .52 1 4 254 3 52答案：D6一动圆 P 与圆 O：x 2y 21 外切，而与圆 C：x 2y 26x 80 内切，那么动圆的圆心 P 的轨迹是( )A双曲线的一支 B椭圆C抛物线 D圆解析：圆 C 的方程即(x3) 2y 21，圆 C 与圆 O 相离，设动圆
4、P 的半径为 R.圆 P 与圆 O 外切而与圆 C 内切，R1，且 |PO|R1，|PC|R1，又|OC|3，|PO|PC|20，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与x2a2 y2b2双曲线交于点 P ，求抛物线的方程和双曲线的方程(32，6)解：依题意，设抛物线的方程为 y22px(p0)，点 P 在抛物线上， 62p .p2，(32，6) 32所求抛物线的方程为 y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线 x1 上，c 1，即 a2 b21，又点 P 在双曲线上， 1，(32，6) 94a2 6b2解方程组Error!得Error!或Error!(舍去)所求双曲线
5、的方程为 4x2 y21.4318(本小题满分 12 分)已知条件 p：Ax|2ax a 21，条件 q：Bx |x23( a1)x2(3a 1)0，若条件綈 q 是条件綈 p 的充分条件，求实数 a 的取值范围解：当 a 时，集合 B 可化为 B2,3a1 ，13由题意知 p 是 q 的充分条件，要满足上述条件，需有Error!解得 1a3.当 a 时，显然不满足题意13当 a 时，集合 B 可化为 B3a1,2 ，13要满足 p 是 q 的充分条件，需有Error!解得 a1.综上，实数 a 的取值范围是1,31 19(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，PD底面ABCD
6、，底面 ABCD 为正方形，PDDC，E，F 分别是 AB，PB 的中点(1)求证：EFCD；(2)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值解：(1)证明：以 D 为坐标原点， DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图设 ADa，则 D(0,0,0)，A(a, 0,0)，B(a，a,0) ，C (0，a,0)，E，P(0,0，a)，F .(a，a2，0) (a2，a2，a2) (0，a,0) 0.EF DC ( a2，0，a2) ，EFCD.EF DC (2)设平面 DEF 的法向量为 n(x，y，z)，则 即Error!即Error!取 x1，则 y2，
7、z1， n(1 ，2,1)，cos ，n .BD a2a 6 36故 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值为 .3620(本小题满分 12 分)已知抛物线：y 24x 的焦点为 F，直线 l 过点 M(4,0)(1)若点 F 到直线 l 的距离为 ，求直线 l 的斜率；3(2)设 A， B 为抛物线上两点，且 AB 不与 x 轴垂直，若线段 AB 的垂直平分线恰过点M，求证：线段 AB 中点的横坐标为定值解：(1)由已知，直线 l 的方程为 x4 时不合题意设直线 l 的方程为 yk( x4)，由已知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点 F 到直线 l 的距离为 ，所以 ，3|3k|1 k2
8、 3解得 k ，所以直线 l 的斜率为 .22 22(2)证明：设线段 AB 的中点坐标为 N(x0，y 0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为 AB 不垂直于 x 轴，则直线 MN 的斜率为 ，y0x0 4直线 AB 的斜率为 ，4 x0y0直线 AB 的方程为 yy 0 (xx 0)，4 x0y0联立方程Error!消去 x 得 y2y 0yy x 0(x04)0，(1 x04) 20所以 y1y 2 ，4y04 x0因为 N 为 AB 的中点，所以 y 0，y1 y22即 y 0，2y04 x0所以 x02，即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.21(本小题满分 12 分
9、)如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC ，BAD ，ABBC 1，AD 2，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点将2ABE 沿 BE 折起到A 1BE 的位置，如图.(1)证明：CD 平面 A1OC；(2)若平面 A1BE平面 BCDE，求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值解：(1)证明：在题图中，因为 ABBC1，AD2，E 是 AD 的中点， BAD ，所以 BEAC.2即在题图中，BEOA 1，BEOC，从而 BE平面 A1OC.又 CDBE, 所以 CD平面 A1OC.(2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE，又由(1)知，BEOA 1，BE OC，所
10、以A 1OC 为二面角 A1BEC 的平面角，所以A 1OC .2如图，以 O 为原点， ， ， 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，OB OC OA1 因为 A1BA 1EBCED1，BCED，所以 B ，E ，(22，0，0) ( 22，0，0)A1 ，C ，(0，0，22) (0，22，0)得 ， ，BC ( 22，22，0) A1C (0，22， 22) ( ，0,0)CD BE 2设平面 A1BC 的法向量 n1(x 1，y 1，z 1)，平面 A1CD 的法向量 n2(x 2，y 2，z 2)，平面A1BC 与平面 A1CD 的夹角为 ，则 得Error!取 n1(
11、1,1,1)；得Error!取 n2(0,1,1)，从而 cos |cosn 1，n 2| ，232 63即平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值为 .6322(本小题满分 12 分)已知定点 C(1,0)及椭圆 x23y 25，过点 C 的动直线与椭圆相交于 A，B 两点(1)若线段 AB 中点的横坐标是 ，求直线 AB 的方程；12(2)在 x 轴上是否存在点 M，使 为常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存MA MB 在，请说明理由解：(1)依题意，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 yk (x1) ，将 yk(x1)代入椭圆方程 x23y 25，消去 y 整理得(
12、3k 21)x 26k 2x3k 250.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则Error!由线段 AB 中点的横坐标是 ，12得 ，x1 x22 3k23k2 1 12解得 k ，适合 .33所以直线 AB 的方程为 x y10 或 x y10.3 3(2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0)，使 为常数MA MB 当直线 AB 与 x 轴不垂直时，由(1)知 x1x 2 ，x 1x2 .6k23k2 1 3k2 53k2 1所以 (x 1m)( x2m )y 1y2MA MB (x 1 m)(x2 m)k 2(x11)(x 21)(k 2 1)x1x2(k 2m)(x 1x 2)k 2m 2.将代入，整理得 m 2MA MB 6m 1k2 53k2 1 m 2(2m 13)3k2 1 2m 1433k2 1m 22m .13 6m 1433k2 1注意到 是与 k 无关的常数，MA MB 从而有 6m140，m ，此时 .73 MA MB 49当直线 AB 与 x 轴垂直时，此时点 A，B 的坐标分别为 ， ，( 1，233) ( 1， 233)当 m 时，亦有 .73 MA MB 49综上，在 x 轴上存在定点 M ，使 为常数( 73，0) MA MB
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