1、2018 年湖北省荆州市沙市中学高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 Mx | 2x4，x Z，N3，2，1，0，1，2 ，则MN（ ）A 1，0，1，2，3 B 2，1，0C2，1，0，1，2，3，4 D 2， 1，0，1，22 （5 分）对于一组数据 1，2，3，4，5，如果将它们改变为 11，12，13，14，15，则下列结论正确的是（ ）A平均数不变，方差变B平均数与方差均发生变化C平均数与方差均不变D平均数变，方差保持不变3 （5
2、分）已知 i 是虚数单位，若 i（1+ai）1i ，则|3+ ai|（ ）A4 B C1 D4 （5 分）如图，正方形 ABNH、DEFM 的面积相等， ，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（ ）A B C D5 （5 分）已知双曲线 （a0） ，若 a 是方程 2x25x+20 的根，则双曲线的渐近线方程是（ ）Axy0 Bx2y0Cx 2y0 或 2xy0 Dxy0 或 x4y0第 2 页（共 25 页）6 （5 分）已知变量 x、y 满足约束条件 ，则 z3x+2y 的最大值为（ ）A2 B4 C7 D157
3、（5 分）函数 的大致图象是（ ）A BC D8 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 i 的值为（ ）第 3 页（共 25 页）A4 B5 C6 D79 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S 1010 ，a 5a 3+4，则 S30（ ）A10 B180 C570 D17810 （5 分）图中小方格是边长为 1 的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B24 C36 D9611 （5 分）已知函数 ，f（x 1）2，f（x 2） 0，若|x 1x 2|的最小值为 ，且 ，则 f（x）的单调递增区
4、间为（ 第 4 页（共 25 页）A +2k， +2k，kZ B +2k， +2k，k ZC +2k， +2k，k Z D +2k， +2k，kZ12 （5 分）如图，过抛物线 y24x 的焦点 F 作倾斜角为 的直线 l，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于 A、B、C 点，令 ， ，则当 时， 1+2的值为（ ）A3 B4 C5 D6二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）若向量 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角为 14 （5 分）已知在等比数列a n，a 2，a 6 是函数 f（x） x3+9x2+
5、12x+3 的两个极值点，则a4 15 （5 分）四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上，AB 2，BCCD 1，BCD 60，AB平面 BCD，则球 O 的表面积为 16 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若，且 cos2B+2sinAsinC1，则 a2b+c 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知正项等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 2+a45， （）求数列a n的通项公式 an；（
6、）若 、S 2、S n 成等比数列，求 n 的值第 5 页（共 25 页）18 （12 分）在三棱锥 PABC 中，PAB 和ABC 都是边长为 2 的等边三角形，O、D分别是 AB、PB 的中点， （）求证：OD平面 PAC；（）求三棱锥 DABC 的体积19 （12 分）已知椭圆 的右焦点为 F（1，0） ，离心率为 （）求椭圆 C 的方程；（）A，B 是椭圆 C 在 y 轴右侧部分上的两个动点，若原点 O 到直线 AB 的距离为 ，证明：ABF 的周长为定值20 （12 分）为了解中学生课余观看热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关，某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了 n 人
7、进行问卷调查调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的占女生总人数的 ，男生喜欢看该节目的占男生总人数的 随后，该小组采用分层抽样的方法从这 n 份问卷中继续抽取了 5 份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有 3 人（）现从重点分析的 5 人中随机抽取了 2 人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；（）若有 99%的把握认为“ 爱看该节目与性别有关” ，则参与调查的总人数 n 至少为多少？参考数据：P（K 2k） 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828，其中 na+b+c+d21 （12 分）已知函数 在点（
8、a，f（a） ）处的切线过点（0，4） 第 6 页（共 25 页）（）求实数 a 的值，并求出函数 f（x ）单调区间；（）若整数 k 使得 在 x（1，+）上恒成立，求 k 的最大值请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 （t 是参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C： 4cos （）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（）试判断直线 l 与曲线 C 是否相交，若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由选修
9、 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 2|x|+m（mR） （）若 m0，解不等式 f（x）x1；（）若方程 f（x ）x 有三个不同的解，求实数 m 的取值范围第 7 页（共 25 页）2018 年湖北省荆州市沙市中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 Mx | 2x4，x Z，N3，2，1，0，1，2 ，则MN（ ）A 1，0，1，2，3 B 2，1，0C2，1，0，1，2，3，4 D 2， 1，0，1，2【分析】直接
10、根据交集的定义即可求出【解答】解：集合 Mx | 2x4，x Z，N3，2，1，0，1，2 ，则MN 2， 1，0，1，2，故选：D【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2 （5 分）对于一组数据 1，2，3，4，5，如果将它们改变为 11，12，13，14，15，则下列结论正确的是（ ）A平均数不变，方差变B平均数与方差均发生变化C平均数与方差均不变D平均数变，方差保持不变【分析】对于一组数据 1，2，3，4，5，平均数 3，方差 S22，将它们改变为11，12，13，14，15，平均数变为：10+ 13，方差没变，还是 2【解答】解：对于
11、一组数据 1，2，3，4，5，平均数 （1+2+3+4+5）3，方差 S2 （13） 2+（23） 2+（33） 2+（43） 2+（53） 22，将它们改变为 11，12，13，14，15，平均数变为：10+ 13，方差没变，还是 2第 8 页（共 25 页）故选：D【点评】本题考查平均数、方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3 （5 分）已知 i 是虚数单位，若 i（1+ai）1i ，则|3+ ai|（ ）A4 B C1 D【分析】利用复数相等，求出 a，然后求解复数的模【解答】解：i（1+ai）1i，ia1i，a1，|3
12、+ai|3i | ，故选：B【点评】本题考查复数的基本概念的应用，复数的模的求法，考查计算能力4 （5 分）如图，正方形 ABNH、DEFM 的面积相等， ，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（ ）A B C D【分析】由正方形 ABNH、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为 3，由 ，可得正方形 MCNG 的边长为 2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案【解答】解：如图，由正方形 ABNH、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为 3，由 ，可得正方形 MCNG 的边长为 2，则
13、阴影部分的面积为 224，多边形 ABCDEFGH 的面积为 2332214则向多边形 ABCDEFGH 内投一点，第 9 页（共 25 页）则该点落在阴影部分内的概率为 故选：C【点评】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出多边形 ABCDEFGH 的面积，是基础题5 （5 分）已知双曲线 （a0） ，若 a 是方程 2x25x+20 的根，则双曲线的渐近线方程是（ ）Axy0 Bx2y0Cx 2y0 或 2xy0 Dxy0 或 x4y0【分析】求出方程的根，然后利用双曲线方程求解渐近线方程即可【解答】解：（a0） ，a 是方程 2x25x+20 的根，可得 a2 或 a ，当
14、a2 时，双曲线 ，所求的双曲线的渐近线方程为：y xa ，双曲线 4x2y 21，所求的双曲线的渐近线方程为：y2x故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力6 （5 分）已知变量 x、y 满足约束条件 ，则 z3x+2y 的最大值为（ ）A2 B4 C7 D15【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，第 10 页（共 25 页）联立 ，解得 A（3，3） ，化目标函数 z3x+2y 为 y ，由图可知，当直线 y 过 A（3，3）时，直线在 y 轴上的
15、截距最大，z 有最大值 15故选：D【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题7 （5 分）函数 的大致图象是（ ）A BC D【分析】利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可【解答】解：函数 是偶函数，排除选项 B，当 x2 时，f（2）第 11 页（共 25 页） 0，对应点在第四象限，排除 A，C；故选：D【点评】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力8 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 i 的值为（ ）A4 B5 C6 D7【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 S，i
16、并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，i2，slg 2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，i3， slg 6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，i4， slg 24，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，i5， slg 1202，满足退出循环的条件；故输出 i 值为 5，故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题第 12 页（共 25 页）9 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S 1010 ，a 5a 3+4，则 S30
17、（ ）A10 B180 C570 D178【分析】先求出公差，再根据前 n 项和公式出 a1 和 S30【解答】解：设公差为 d，由 a5a 3+4，则 2da 5a 34，d2，S 1010，10a 1+ 210，解得 a110，S 3030（10）+ 2570，故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题10 （5 分）图中小方格是边长为 1 的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B24 C36 D96【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为 1 的正方体中的三棱锥，画出该三棱锥的直观图，求出它的体积【解答】
18、解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为 6 的正方体中一三棱锥 ABCD，如图所示该三棱锥的体积为 62636故选：C第 13 页（共 25 页）【点评】本题考查了几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出该几何体的结构特征，是基础题目11 （5 分）已知函数 ，f（x 1）2，f（x 2） 0，若|x 1x 2|的最小值为 ，且 ，则 f（x）的单调递增区间为（ ）A +2k， +2k，kZ B +2k， +2k，k ZC +2k， +2k，k Z D +2k， +2k，kZ【分析】求出函数的周期与初相，然后求解函数的单调区间【解答】解：由 f（x 1）2，f（x
19、 2）0，且| x1x 2|的最小值为 可知：，T2 ，又 ，则 ， ， ，f（x ）2sin（ x+ ） ，2k x+ 2k ，kZ，故可求得 f（x）的单调递增区间为： +2k， +2k，k Z，故选：B【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，正弦函数的单调增区间的求法，考查计算能力12 （5 分）如图，过抛物线 y24x 的焦点 F 作倾斜角为 的直线 l，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于 A、B、C 点，令 ， ，则当 时， 1+2的值为（ ）第 14 页（共 25 页）A3 B4 C5 D6【分析】联立方程组求出 A，B 坐标，计算 AF、BF 、BC 的长即可得出
20、1， 2 的值【解答】解：F（1，0） ，直线 l 的方程为 y x ，准线方程为：x1联立方程组 ，解得 x1 ，x 23，AF3+14，BF ，又 CF4，BCCFBF 13， 22， 1+25故选：C【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）若向量 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角为 【分析】根据向量的数量积公式即可求出【解答】解：设 与 的夹角为 ， ， ， ， 故答案为： 【点评】本题考查了向量的数量积的运算，属于基础题第 15 页（共 25 页）14 （5 分）已知在等比数列a n，a 2，a 6 是函数
21、 f（x） x3+9x2+12x+3 的两个极值点，则a4 2 【分析】求出函数的极值，利用等比数列的性质求解即可【解答】解：函数 f（x ）x 3+9x2+12x+3，可得 f（x） 3x2+18x+12，令 3x2+18x+120，可得 a2a64，a 2+a66，所以 a2，a 6 都小于 0，所以 a40在等比数列a n，a 4 2故答案为：2【点评】本题考查等比数列的性质，函数的极值的求法，考查计算能力15 （5 分）四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上，AB 2，BCCD 1，BCD 60，AB平面 BCD，则球 O 的表面积为 【分析】推导出
22、底面BCD 为等边三角形，取 CD 中点为 E，连接 BE，则BCD 的外心 G 在 BE 上，设为 G，取 BC 中点 F，连接 GF，过 G 作 AB 的平行线与 AB 的中垂线HO 交于 O，O 为四面体 ABCD 的外接球的球心，ROB，由此能求出球 O 的表面积【解答】解：如图，BC CD1，BCD60，底面BCD 为等边三角形，取 CD 中点为 E，连接 BE，BCD 的外心 G 在 BE 上，设为 G，取 BC 中点 F，连接 GF，在 Rt BCE 中，由 CE ，CBE30，得 BF BC ，又在 RtBFG 中，得 BG ，过 G 作 AB 的平行线与 AB 的中垂线 HO
23、 交于 O，则 O 为四面体 ABCD 的外接球的球心，即 ROB ，AB平面 BCD，OGBG，在 Rt BGO 中，求得 OB ，球 O 的表面积为 S4 第 16 页（共 25 页）故答案为： 【点评】本题考查球的表面积的求法，考查四面体及外接球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题16 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若，且 cos2B+2sinAsinC1，则 a2b+c 0 【分析】先根据 ，求得 B 再根据cos2B+2sinAsinC1，利用正弦定理求得 b2ac，故 a、 b、c 成等比数列，从而得到abc，可得 a
24、2b+c 的值【解答】解：在ABC 中，若 ，则 sinB cosB，故tanB ， B cos2B+2sinAsinC1，即 12sin 2B+2sinAsinC1，sinAsinC sin 2B 再根据 cos（A+C）cos cosA cosCsin AsinCcos AcosC ，cosAcos C ，由可得 sinAsin C ，cos AcosC ，AB ，故 abc，则 a2b+c0，故答案为：0【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知正项等差数
25、列a n的前 n 项和为 Sn，a 2+a45， （）求数列a n的通项公式 an；（）若 、S 2、S n 成等比数列，求 n 的值第 17 页（共 25 页）【分析】 （）设正项等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由已知列关于首项与公差的方程组，求出首项和公差，则数列a n的通项公式 an 可求；（）由 、S 2、S n 成等比数列列出关于 n 的方程求解【解答】解：（）设正项等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由 a2+a45， ，得，解得 或 （舍） ；（）由（）得， ， ， 、S 2、S n 成等比数列， ，即 ，整理得：n 2+5n1040，解得 n8 或 n13（舍）
26、 n8【点评】本题考查等差数列的通项公式及前 n 项和，考查等比数列的性质，是中档题18 （12 分）在三棱锥 PABC 中，PAB 和ABC 都是边长为 2 的等边三角形，O、D分别是 AB、PB 的中点， （）求证：OD平面 PAC；（）求三棱锥 DABC 的体积【分析】 （）推导出 ODPA，由此能证明 OD平面 PAC（）连结 OP，推导出 OPAB，取 AC 中点 E，连结 PE、OE，推导出 POOE ，从而 OP面 ABC，由此能求出三棱锥 DABC 的体积第 18 页（共 25 页）【解答】证明：（）三棱锥 PABC 中，O、D 分别是 AB、PB 的中点，ODPA，OD 平面
27、 PAC，PA 平面 PAC，OD平面 PAC解：（）连结 OP，PAB 和ABC 都是边长为 2 的等边三角形，O、D 分别是 AB、PB 的中点， OPAB，取 AC 中点 E，连结 PE、OE ，cosPAC ，PE 2，PO ，AE 1，PO 2+AE2AE 2，POOE，ABOE O ，OP面 ABC，三棱锥 DABC 的体积：VDABC 【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）已知椭圆 的右焦点为 F（1，0） ，离心率为 （）求椭圆 C 的方程；（）A
28、，B 是椭圆 C 在 y 轴右侧部分上的两个动点，若原点 O 到直线 AB 的距离为 ，证明：ABF 的周长为定值第 19 页（共 25 页）【分析】 （）由题意得 ，解得即可得到椭圆的方程，（） 当 AB 垂直于 x 轴时，易求出|AF |+|BF|+|AB|4当 AB 不垂直于 x 轴时，设 AB 程为 ykx +m，根据原点 O 到直线 AB 的距离为 ，得到 m 与 k 的关系式，再根据韦达定理和弦长公式可得|AB|，再求出| AF|，|BF|，即可得到ABF 的周长为 4，即可证明【解答】解：（）由题意得解得所以椭圆 C 的方程为 + 1，证明：（）当 AB 垂直于 x 轴时，AB
29、方程为 ， ，F（1，0） ，|AF| BF| 2因为 ，所以|AF|+|BF|+|AB |4当 AB 不垂直于 x 轴时，设 AB 程为 ykx +m，原点 O 到直线 AB 的距离为 ，所以 ，即 m23 （1+ k2） 由 得（3+4k 2）x 2+8kmx+4m2120，即（3+4k 2）x 2+8kmx+12k20设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2 ，x 1x2 第 20 页（共 25 页）所以|AB| 因为 A，B 在 y 轴右侧，所以 mk0，所以| AB| 所以|AF| 2（x 11） 2+y12（x 11） 2+3（1 ）（ x12） 2，所以
30、|AF|2 x1，同理|BF|2 x2所以|AF|+|BF|4 （x 1+x2）4+ 所以|AF|+|BF|+|AB |4+ 4综上，ABF 的周长为 4【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，弦长公式、韦达定理，属于难题20 （12 分）为了解中学生课余观看热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关，某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了 n 人进行问卷调查调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的占女生总人数的 ，男生喜欢看该节目的占男生总人数的 随后，该小组采用分层抽样的方法从这 n 份问卷中继续抽取了 5 份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目
31、的有 3 人（）现从重点分析的 5 人中随机抽取了 2 人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；（）若有 99%的把握认为“ 爱看该节目与性别有关” ，则参与调查的总人数 n 至少为多少？参考数据：P（K 2k） 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828，其中 na+b+c+d【分析】 （）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值求出 n 的值【解答】解：（）记重点分析的 5 人中喜爱看该节目的为 a，b，c，不爱看的为第 21 页（共 25 页）d，e；从 5
32、 人中随机抽取 2 人，所有可能的结果有（a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （a，e） ，（b，c） ， （b，d） ， （b，e ） ， （c ，d） ， （c，e） ， （d，e） ，共 10 种，则这两人都喜欢看该节目的有 3 种，P ，即这两人都喜欢看该节目的概率为 ；（）进行重点分析的 5 份中，喜欢看该节目的有 3 人，喜爱看该节目的总人数为 n，不喜爱看该节目的总人数为 n；设这次调查问卷中女生总人数为 a，男生总人数为 b，且 a，bN*，由题意填写 22 列联表如下：喜欢看该节目的人数 不喜欢看该节目的人数 合计女生 a a a男生 b b b合计 n n n解得
33、 a n，b n；正整数 n 是 25 的倍数，设 n25k，kN*，则 a12k， a4k ， b3k ， b6k，则 K2 k；由题意得 k6.635，解得 k1.59，又kN*，k2，则 n50【点评】本题考查了列举法求古典概率的应用问题，也考查了列联表与独立性检验问题，第 22 页（共 25 页）是中档题21 （12 分）已知函数 在点（a，f（a） ）处的切线过点（0，4） （）求实数 a 的值，并求出函数 f（x ）单调区间；（）若整数 k 使得 在 x（1，+）上恒成立，求 k 的最大值【分析】 （I）f（x ）的定义域为（0，+） ，f '（x） ，xa 处的切线斜率为
34、f'（a） ，因此切线方程为 yf（a） （xa） ，即 y（lna+1+2 ） （xa） ，又切线过（0，4） ，代入上式解得 a1，可得 f'（x） ，即可得出单调性（II）x（1，+） ，可得 0，由 化为：k ，令 g（x） ，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出【解答】解：（I）f（x ）的定义域为（0，+） ，f'（x） ，xa 处的切线斜率为 f'（a） ，因此切线方程为 yf（a） （xa） ，即 y（lna+1+2 ） （x a） ，又切线过（0，4） ，代入上式：4（lna +3）1，解得 a1，f'（x） ，可得 f（x）在（ 0
35、，2）单调递减，在（2，+）单调递增；（II）x（1，+） ， 0， 化为：k ，令 g（x） ，则 g（x） 令 u（x）xlnx4，则 u （x）1 0， u（x ）在 x（1，+）上单调递增，第 23 页（共 25 页）u（5.5）5.5ln5.54 ln ，e 33 327 ， ，可得：e 3 ， ，u（5.5）0，u（6）2ln 6lne 2ln 60由零点存在定理可知，存在 x0（5.5，6） ，使得 u（x 0）x 0lnx 040 ，且 x（1，x 0）时，g（x 0）0，此时函数 g（x）单调递减x（x 0，+）时，g' （x）0，此时函数 g（x）单调递
36、增g（x） ming（x 0） ，由可得： lnx0x 04g（x） ming（x 0） 2（x 0 2）（7，8） ，故 k 的最大值为 7【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线斜率、方程与不等式的解法、等价转化问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 （t 是参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C： 4cos （）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标
37、方程；（）试判断直线 l 与曲线 C 是否相交，若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由【分析】 （）直线 l 的参数方程消去参数，能求出直线 l 的普通方程；曲线 C 的极坐标方程转化为 24 cos，由此能求出曲线 C 的直角坐标方程（）曲线 C 是以 C（2，0）为圆心，以 r2 为半径的圆，由圆心到直线的距离公式得圆心 C（2，0）到直线：x2y30 的距离 d 2r，从而直线 l 与曲线 C 相交，弦长|AB|2 ，由此能求出结果第 24 页（共 25 页）【解答】解：（）直线 （t 是参数） ，直线 l 的普通方程为 x2y30曲线 C：4cos ，曲线 C： 24cos曲线 C
38、的直角坐标方程为 x2+y24x，即（x2） 2+y24（）曲线 C 的直角坐标方程为（ x2） 2+y24曲线 C 是以 C（2，0）为圆心，以 r2 为半径的圆，由圆心到直线的距离公式得圆心 C（2，0）到直线：x 2y30 的距离：d 2r，直线 l 与曲线 C 相交，设交点为 A，B，则|AB| 2 ，直线 l 与曲线 C 相交，弦长为 【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线与曲线是否相交的判断与求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 2|x|+m（mR
39、） （）若 m0，解不等式 f（x）x1；（）若方程 f（x ）x 有三个不同的解，求实数 m 的取值范围【分析】 （）分 x0，0x2，x 2 三种情况求解；（）由方程 f（x ）x 可变形为xm |x2| |x| 作出函数 yxm 与g（x）|x2|x |的图象如图所示根据图象求解【解答】解：（）函数 f（x ）|x2| |x|+m，m0 时，f（x）|x 2|x|x1当 x0 时，不等式化为：2x+x x1；解得 x0当 0x2 时，不等式化为：2xx x1，解得 0x1；当 x2 时，不等式化为：x 2x x1，解得 x，所以不等式 f（x ）x1 的解集为：（，1（）由函数 f（x ）|x 2|x|+m（mR） 方程 f（x）x 有三个不同的解，第 25 页（共 25 页）等价于 g（x）|x2| |x |的图象与直线 yx m 有 3 个不相同的交点，如图：直线 yxm 经过 A（0，2）时，m2；当直线经过 B（2，2）时，m0，于是由题意可得2m0实数 m 的取值范围：（2， 0） 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，函数与方程的思想，属于中档题
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