1、2019 年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知复数 z 满足 zii +m（m R） ，若 z 的虚部为 1，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）已知全集 UR，集合 A x|x（x+2）0，Bx| x|1 ，则如图阴影部分表示的集合是（ ）A （2，1） B 1，0 1，2）C （2，1）0，1 D0，13 （5 分）已知命题 ；命题 q：若 ab，则 ，则下列为真
2、命题的是（ ）Apq Bpq Cpq Dpq4 （5 分）已知向量 ， ，若 ，则实数 m（ ）A2 B2 C D5 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a111 ，a 4+a66，则当 Sn 取最小值时，n 等于（ ）A9 B8 C7 D66 （5 分）函数 yx sinx+ 的部分图象大致为（ ）A B第 2 页（共 31 页）C D7 （5 分）2020 年东京夏季奥运会将设置 4100 米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出 2 男 2 女共计 4 名运动员比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序
3、，每种泳姿 100 米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场现在中国队确定了备战该项目的 4 名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（ ）种布阵的方式A6 B12 C24 D1448 （5 分）20 世纪 70 年代，流行一种游戏角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数 n，按照以下的规律进行变换：如果 n 是个奇数，则下一步变成 3n+1；如果 n 是个偶数，则下一步变成 ，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的 421 循环，而
4、永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的 i 值为 6，则输入的 n 值为（ ）A5 B16 C5 或 32 D4 或 5 或 32第 3 页（共 31 页）9如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 内任取一点 P，用 A 表示事件“点 P 恰好自由曲线 与直线 x1 及 x 轴所围成的曲边梯形内” ，B 表示事件“点 P 恰好取自阴影部分内” ，则 P（B|A）等于（ ）A B C D10 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+） ，其中 0， ，f'（x 1）f'（x 2）0（x 1x 2） ， ， ，将函数
5、f（x）的图象向左平移 个单位长度得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的单调递减区间是（ ）A BC D11 （5 分）已知双曲线 C1： 1（a0，b0）与双曲线 C2： 1，若以 C1，C 2 四个顶点为顶点的四边形的面积为 S1，以 C1，C 2 四个焦点为顶点的四边形的面积为 S2，则 取到最大值时，双曲线 C1 的一条渐近线方程为（ ）Ay x By x Cy x Dy 2x12 （5 分）设函数 f（x ）x 2xlnx+2，若存在区间 ，使 f（x）在a，b 上的值域为 k（a+2 ） ，k（b+2），则 k 的取值范围是（ ）A B
6、C D第 4 页（共 31 页）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知（1+x） （1ax） 2018 的展开式中含 x 项的系数为 2019，则实数 a 14 （5 分）若实数 x，y 满足不等式组 ，则 的取值范围为 15 （5 分）如图，把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD平面 CBD，形成的三棱锥 CABD 的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 16 （5 分）如图平面四边形 ABCD 的对角线的交点位于
7、四边形的内部，AB 1， ，ACCD， ACCD，当ABC 变化时，对角线 BD 的最大值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知数列a n与b n满足： ，且a n为正项等比数列，a 12，b 3b 2+4（1）求数列a n与b n的通项公式；（2）若数列c n满足 ，T n 为数列c n的前 n 项和，证明：T n1第 5 页（共 31 页）18如图，四棱锥 PABCD 中，PA菱形 ABCD 所在的平面，ABC60，E 是 BC中点，F 是 PC 上的点（1）求证：平面 AEF平面 PAD；（2）若
8、M 是 PD 的中点，当 ABAP 时，是否存在点 F，使直线 EM 与平面 AEF 的所成角的正弦值为 ？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由19某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元） ，如图所示：（1）现从去年的消费金额超过 3200 元的消费者中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费者金额在（3200，4000的范围内的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如表：会员等级 消费金额普通会员 2000银卡会员 2700金卡会员 3200预计去年消费金额在（0，1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在（1600，
9、3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在（3200，4800 内的消费者都将会申请办理金卡会员，消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消第 6 页（共 31 页）费金额，该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，
10、有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到红球的总数为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少？并说明理由20已知椭圆 C： 的左右焦点分别为 F1，F 2，左顶点为 A，离心率为 ，点 B 是椭圆上的动点，ABF 1 的面积的最大值为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设经过点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N ，线段 MN
11、 的中垂线为l'若直线 l'与直线 l 相交于点 P，与直线 x2 相交于点 Q，求 的最小值21已知 f（x） exalnxa，其中常数 a0（1）当 ae 时，求函数 f（x）的极值；（2）若函数 yf（x）有两个零点 x1，x 2（0x 1x 2） ，求证： 1x 2a；（3）求证：e 2x2 e x1 lnxx0请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22已知曲线 C1：x + y 和 C2： （ 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位（1）把曲线
12、 C1、C 2 的方程化为极坐标方程第 7 页（共 31 页）（2）设 C1 与 x 轴、y 轴交于 M，N 两点，且线段 MN 的中点为 P若射线 OP 与C1、C 2 交于 P、Q 两点，求 P，Q 两点间的距离选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|2x 1|+2|x+1|a（1）当 a4 时，求不等式 f（x ）0 的定义域；（2）若函数 f（x ）0 无解，求 a 的取值范围第 8 页（共 31 页）2019 年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
13、题目要求的.1 （5 分）已知复数 z 满足 zii +m（m R） ，若 z 的虚部为 1，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 在复平面内对应点的坐标得答案【解答】解：由 zii+ m，得 z ，z 的虚部为 1，m1，则 z1+i，复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（1，1） ，在第一象限故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2 （5 分）已知全集 UR，集合 A x|x（x+2）0，Bx| x|1 ，则如图阴影
14、部分表示的集合是（ ）A （2，1） B 1，0 1，2）C （2，1）0，1 D0，1【分析】根据阴影部分对应的集合为 U（AB）（AB） ，然后根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：Ax|2x0 ，Bx| 1x1 ，由题意可知阴影部分对应的集合为 U（AB）（AB） ，ABx| 1x 0，ABx|2x 1 ，第 9 页（共 31 页）即 U（AB ）x |x1 或 x0 ， U（AB ）（AB）x|0x1 或2x 1 ，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用阴影部分表示出集合关系是解决本题的关键3 （5 分）已知命题 ；命题 q：若 ab，则 ，则下列为真命题的是
15、（ ）Apq Bpq Cpq Dpq【分析】根据题意，分析可得 p 为真命题，而 q 为假命题，结合复合命题的真假关系分析选项，综合即可得答案【解答】解：根据题意，对于 P，x 2x +1（x ） 2+ 0 恒成立，则x 0R，则x02x 0+10 为真命题；对于 q，当 a0 而 b0 时， ，则 不成立，则 q 为假命题；分析选项可得：pq、pq、pq 都是假命题；pq 为真命题；故选：B【点评】本题考查复合命题的真假的判定，关键是掌握复合命题真假的判定方法4 （5 分）已知向量 ， ，若 ，则实数 m（ ）A2 B2 C D【分析】推导出 （m+1，3） ，由 ，
16、得 ，由此能求出 m 的值【解答】解：向量 ， ， （m+1，3） ， ， ，解得 m2故选：A第 10 页（共 31 页）【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与模长公式的应用问题，是基础题5 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a111 ，a 4+a66，则当 Sn 取最小值时，n 等于（ ）A9 B8 C7 D6【分析】设等差数列a n的公差为 d，由等差数列的通项公式解方程可得 d，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值及相应的 n 的值【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a111，a 4+a66，可得11+3d11+5 d
17、6，解得 d2，则 Snna 1+ n（n1）dn 212n（n6） 236，当 n6 时，S n 取最小值36故选：D【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查二次函数的最值求法，注意运用配方法，考查运算能力，属于中档题6 （5 分）函数 yx sinx+ 的部分图象大致为（ ）A BC D【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用 f（1）的值进行排除即可【解答】解：函数的定义域为x|x0，f（x）xsin（x ）+ x sinx+ f （x） ，则函数 f（x）是偶函数，图象关于 y轴对称，排除 C，Df（1）sin1+1 0，排除 B，第 11 页（共 31
18、 页）故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和特殊值的对应性，利用排除法是解决本题的关键7 （5 分）2020 年东京夏季奥运会将设置 4100 米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出 2 男 2 女共计 4 名运动员比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿 100 米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场现在中国队确定了备战该项目的 4 名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（ ）种布阵的方式A6 B12 C24 D1
19、44【分析】分两类，若甲承担仰泳，若甲运动承担自由泳，根据分类计数原理可得【解答】解：由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有 A222 种安排方法，其他两名运动员有 A222 种安排方法，共计 224 种方法，若甲运动承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有 A222 种安排方法，共计 2 种方法，所以中国队共有 4+26 种不同的安排方法，故选：A【点评】本题考查了排列组合的问题，考查了分类计数原理，考查了运算和推理能力，属于中档题8 （5 分）20 世纪 70 年代，流行一种游戏角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数 n，按照以下的规律进行变换：如果 n 是个奇数，则下一步变成 3
20、n+1；如果 n 是个偶数，则下一步变成 ，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的 421 循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的 i 值为 6，则输入的 n 值为（ ）第 12 页（共 31 页）A5 B16 C5 或 32 D4 或 5 或 32【分析】根据各个选项 n 的值，模拟程序的运行，依次验证程序的输出的 i 的值是否为6 即可得解【解答】解：模拟程序的运行，由题意可得当输入的 n 的值为 5 时，i1，第 1 次循环，n5，n 为奇数，n16i2，第 2 次循环，n 为偶数，
21、n8i3，第 3 次循环，n 为偶数， n4i4，第 4 次循环，n 为偶数， n2i5，第 5 次循环，n 为偶数， n1i6，满足条件 n1，退出循环，输出 i 的值为 6符合题意当输入的 n 的值为 16 时，i1，第 1 次循环，n16， n 为偶数，n8i2，第 2 次循环，n 为偶数， n4i3，第 3 次循环，n 为偶数， n2i4，第 4 次循环，n 为偶数， n1i5，满足条件 n1，退出循环，输出 i 的值为 5不符合题意当输入的 n 的值为 32 时，第 13 页（共 31 页）i1，第 1 次循环，n32， n 为偶数，n16i2，第 2 次循环，n 为偶数， n8i3
22、，第 3 次循环，n 为偶数， n4i4，第 4 次循环，n 为偶数， n2i5，第 5 次循环，n 为偶数， n1i6，满足条件 n1，退出循环，输出 i 的值为 6符合题意当输入的 n 的值为 4 时，i1，第 1 次循环，n4，n 为偶数，n2i2，第 2 次循环，n 为偶数， n1i3，满足条件 n1，退出循环，输出 i 的值为 3不符合题意故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 内任取一点 P，用 A 表示事件“点 P 恰好自由曲线 与直线 x1 及 x 轴所围成的曲边梯形
23、内” ，B 表示事件“点 P 恰好取自阴影部分内” ，则 P（B|A）等于（ ）第 14 页（共 31 页）A B C D【分析】阴影部分由函数 yx 与 y 围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案【解答】解：根据题意，阴影部分由函数 yx 与 y 围成，其面积为（ x）dx （ ） ，A 表示事件“点 P 恰好自由曲线 与直线 x1 及 x 轴所围成的曲边梯形内” ，面积为 ，则 P（B|A）等于 故选：A【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积10 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+
24、） ，其中 0， ，f'（x 1）f'（x 2）0（x 1x 2） ， ， ，将函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的单调递减区间是（ ）A BC D【分析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得 f（x）的解析式，利用函数yAsin（ x+）的图象变换规律求得 G（x ）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则第 15 页（共 31 页）G（x） 的单调递减区间【解答】解：f（x ）sin（x+） ，其中 0，（0， ） ，f'（x 1）f'（x 2）0，|x 2x 1|min ， T ，2 ，f（x）s
25、in（2x +） 又 f（x）f（ x ） ，f（x）的图象的对称轴为 x ，2 +k+ ，kZ ，又 ， ，f（x）sin（2x + ） 将 f（x）的图象向左平移 个单位得 G（x）sin （2x+ + ）cos2x 的图象，令 2k 2x2k+，求得 kx k+ ，则 G（x） cos2x 的单调递减区间是k，k+ ，故选：B【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题11 （5 分）已知双曲线 C1： 1（a0，b0）与双曲线 C2： 1，若以 C1，C 2 四个顶点为顶点的四边形的面积为 S1，
26、以 C1，C 2 四个焦点为顶点的四边形的面积为 S2，则 取到最大值时，双曲线 C1 的一条渐近线方程为（ ）Ay x By x Cy x Dy 2x【分析】根据双曲线的性质分别求出对应的顶点坐标和焦点坐标，结合四边形的面积公式求出对应的面积，利用换元法结合基本不等式的应用进行求解即可【解答】解：双曲线 C1： 1（a0，b0）的两个顶点为 A1（a，0） ，第 16 页（共 31 页）A2（a，0） ，焦点坐标为 F1（c ，0） ，F 2（c ，0） ，双曲线 C2： 1 的两个顶点为 B1（0，2b） ，B 2（0，2b） ，焦点坐标为 F3（ ，0） ，F 4（ ，0）
27、 ，则以 C1，C 2 四个顶点为顶点的四边形的面积为 S12 4ab，以 C1，C 2 四个焦点为顶点的四边形的面积为S22 2c 2c ，则 ，平方得（ ） 2（ ） 2 ，令 t ，则（ ）2 ，当且仅当 t2 ，即 t22，t 即 时，取等号，此时 ，a ，则双曲线 C1 的渐近线方程为 y x，故双曲线 C1 的一条渐近线方程为 y x，故选：B【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线的性质求出相应的顶点和焦点坐标，结合四边形的面积公式进行转化求解是解决本题的关键第 17 页（共 31 页）12 （5 分）设函数 f（x ）x 2xlnx+2，若存在区间 ，使 f（x）在a
28、，b 上的值域为 k（a+2 ） ，k（b+2），则 k 的取值范围是（ ）A BC D【分析】判断 f（x ）的单调性得出 f（x）k （x+2）在 ，+）上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出 k 的范围【解答】解：f（x ）2xlnx+1，f（x ）2 ，当 x 时，f（x）0，f（x）在 ，+ ）上单调递增，f（x）f（ ）2ln 0，f（x）在 ， +）上单调递增，a，b ，+ ） ，f（x）在a， b上单调递增，f（x）在a， b上的值域为k（a+2） ，k（b+2） ， ，方程 f（x） k（x+2）在 ，+ ）上有两解 a，b作出 yf（x）与直线 yk （x
29、 +2）的函数图象，则两图象有两交点第 18 页（共 31 页）若直线 yk（x +2）过点（ ， + ln2） ，则 k ，若直线 yk（x +2）与 yf（x）的图象相切，设切点为（x 0，y 0） ，则 ，解得 k11k ，故选：C【点评】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知（1+x） （1ax） 2018 的展开式中含 x 项的系数为 2019，则实数 a 1 【分析】利用二项式定理求得含 x 项的系数，再根据含 x 项的系数为 2019，求得 a 的值【解答】解：
30、已知（1+x） （1ax） 2018 的展开式中含 x 项的系数为 （a）+2019，则实数 a1，故答案为：1【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题14 （5 分）若实数 x，y 满足不等式组 ，则 的取值范围为 ，2 【分析】约束条件表示的可行域，求出 3 个交点的坐标，求出斜率的范围，然后求解目标函数的范围即可【解答】解：作出实数 x，y 满足不等式组 的可行域如图中的阴影部分，四个顶点的坐标分别为 A（1，1） 、B（3，0） 、C （2，2） ，第 19 页（共 31 页）而 z 表示可行域中的点（x，y）与
31、点 D 连线的斜率，目标函数则 的最小值为： ，最大值为： 2，z ，2故答案为： ，2【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法” ，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证，求出最优解注意转化思想的应用15 （5 分）如图，把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD平面 CBD，形成的三棱锥 CABD 的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 1 【分析】由题意可知，侧视图是直角边长为 的等腰直角三角形，则其面积可求【解答】解：如图，第 20 页（共 31 页）原正方形的边长为 2，对角线长为 ，则侧视图是
32、直角边长为 的等腰直角三角形，其面积为 S 故答案为：1【点评】本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力与思维能力，是中档题16 （5 分）如图平面四边形 ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，AB 1， ，ACCD， ACCD，当ABC 变化时，对角线 BD 的最大值为 +1 【分析】设ABC，ACB ，由余弦定理求得 AC2，由正弦定理求得 sin，再利用余弦定理求得 BD，利用三角函数的性质求出 BD 的最大值【解答】解：设ABC，ACB ，由余弦定理可得 AC21 2+（ ） 22 cos42 cos，AC CD；由正弦定理可得：sin ，BD 23+ （42 cos）2 co
33、s（90+ ）72 cos+2 sin72 cos+2 72 cos+2 sin7+2 sin（ ） ，第 21 页（共 31 页） 时，BD 取得最大值为 +1故答案为： +1【点评】本题考查了正弦余弦定理、和差公式、三角函数的单调性，也考查了推理能力与计算能力，是中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知数列a n与b n满足： ，且a n为正项等比数列，a 12，b 3b 2+4（1）求数列a n与b n的通项公式；（2）若数列c n满足 ，T n 为数列c n的前 n 项和，证明：T n1【分析】 （1）由等比数列的通项公式和
34、求和公式，解方程可得公比，即可得到所求；（2）求得 cn ，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（1）数列a n与b n满足： ，且a n为正项等比数列，a 12，b 3b 2+4，可得 a12b 12，即 b11，b 3b 2 a34，即 a38，可得公比 q2，即 an2 n；则 2bn ，即 bn2 n1；（2）证明：c n ，即有 Tn1 + + 1 ，由 0，可得 Tn1【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题18如图，四棱锥 PABCD 中，PA菱形 ABCD 所在的平面，ABC
35、60，E 是 BC第 22 页（共 31 页）中点，F 是 PC 上的点（1）求证：平面 AEF平面 PAD；（2）若 M 是 PD 的中点，当 ABAP 时，是否存在点 F，使直线 EM 与平面 AEF 的所成角的正弦值为 ？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由【分析】 （1）连接 AC，证明 AEBC ，AEAD，推出 PAAE，即可证明 AE平面PAD，然后说明平面 AEF平面 PAD（2）以 A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设 ABAP2，则 ，求出相关点的坐标，求出平面 AEF 的一个法向量，设直线 EM 与平面 AEF 所成角为，由 ，利用空间向量的数量积求解
36、，然后推出结果【解答】 （1）证明：连接 AC，因为底面 ABCD 为菱形，ABC60，所以ABC 是正三角形，E 是 BC 的中点，AE BC ，（1 分）又 ADBC，AE AD，（2 分）PA平面 ABCD，AE平面 ABCD，PAAE ，（3 分）又 PAAD A，AE平面 PAD，（4 分）又 AE平面 AEF，所以平面 AEF平面 PAD（5 分）（2）解：以 A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设 ABAP2，则，则，（6 分）设 ，则第 23 页（共 31 页），（7 分）又 ，设 是平面 AEF 的一个法向量，则 ，取 z，得 ，（9 分）设直线 EM 与平面 AE
37、F 所成角为 ，由 ，得：（10 分）化简得：10 213+40，解得 或 ，故存在点 F 满足题意，此时 为 或 （12 分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力19某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元） ，如图所示：第 24 页（共 31 页）（1）现从去年的消费金额超过 3200 元的消费者中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费者金额在（3200，4000的范围内的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如表：会员等级 消费金额普通会员 2000银卡会员 2700金卡
38、会员 3200预计去年消费金额在（0，1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在（1600，3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在（3200，4800 内的消费者都将会申请办理金卡会员，消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额，该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元方案二：每位会员均可参加摸奖游
39、戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到红球的总数为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少？并说明理由第 25 页（共 31 页）【分析】 （1）去年的消费金额超过 3200 元的消费者共有 12 人，其中有 8 人消费在（3200，4000的范围内，由此能求出随
40、机抽取 2 人，至少有 1 位消费者，其去年的消费者金额在（3200，4000的范围内的概率（2）按分层抽样求出“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为7，15，3，从而求出根据方案一的奖励的金额为 14900 元，方案二：设 表示参加一次摸奖游戏所获的奖励金，则 的可能取值分别为 0，200，300，分别求出相应的概率，从而求出数学期望，进而求出按照方案二奖励金的金额，从而预计方案二的投资较小【解答】解：（1）去年的消费金额超过 3200 元的消费者有 12 人，其中去年的消费金额在（3200，4000的消费者有 8 人，去年的消费金额在（4000，4800的消费者有 4 人
41、，现从去年的消费金额超过 3200 元的消费者中随机抽取 2 人，基本事件总数 n 66，至少有 1 位消费者，其去年的消费者金额在（3200，4000的范围内包含的基本事件个数：m 38，至少有 1 位消费者，其去年的消费者金额在（3200，4000的范围内的概率为：p （2）方案一：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励，则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为：， ， ，根据方案一的奖励的金额为：17500+15600+3 80014900 元，方案二：设 表示参加一次摸奖游戏所获的奖励金，则 的可能取值分别为 0，200 ，3
42、00，摸到红球的概率为 P ，P（ 0） + ，第 26 页（共 31 页）P（ 200） ，P（ 300） ， 的分布列为： 0 200 300P E 76.8 元，按照方案二奖励金的金额为：2（28+260+312）76.814131.2 元，方案一奖励的总金额 1方案二的奖励金额 2，预计方案二的投资较小【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20已知椭圆 C： 的左右焦点分别为 F1，F 2，左顶点为 A，离心
43、率为 ，点 B 是椭圆上的动点，ABF 1 的面积的最大值为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设经过点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N ，线段 MN 的中垂线为l'若直线 l'与直线 l 相交于点 P，与直线 x2 相交于点 Q，求 的最小值【分析】 （1） ，根据题意，由椭圆的离心率公式可得 e ，即 a22c 2，设 B 点的纵坐标为 y0（y 00） ，分析ABF 1 的面积可得 ，解可得 a、b 的值，将 a、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；（2） ，根据题意，设直线的方程为 xmy1，联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系以及弦长公式分析可
44、得|MN| 的值，同理可得|PQ|的值，进而可得 的表达式，由基本不等式的性质分析可得答案【解答】解：（1）由已知，椭圆 C： 的离心率为 ，则 e第 27 页（共 31 页），即 a22c 2a 2b 2+c2，bc 设 B 点的纵坐标为 y0（y 00 ） 则 ，即 b1， 椭圆 C 的方程为 （2）由题意知直线 l 的斜率不为 0，故设直线的方程为 xmy1，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，P（x P，y P） ，Q （2，y Q） 联立 ，消去 x，得（m 2+2）y 22my10此时8（m 2+1）0 ， 由弦长公式，得 整理，得 又 ，x Pmy P1 ，当且仅
45、当 ，即 m1 时等号成立当 m1，即直线 l 的斜率为1 时， 取得最小值 2【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，注意由椭圆的几何性质求出椭圆的方程第 28 页（共 31 页）21已知 f（x） exalnxa，其中常数 a0（1）当 ae 时，求函数 f（x）的极值；（2）若函数 yf（x）有两个零点 x1，x 2（0x 1x 2） ，求证： 1x 2a；（3）求证：e 2x2 e x1 lnxx0【分析】 （1）求出 ae 的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；（2）先证明：当 f（x ）0 恒成立时，有 0ae 成立若 ，则 f（x）e xa（lnx +1）0
46、显然成立；若 ，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得证；（3）讨论当 ae 时，显然成立，设 ，求出导数，求出单调区间可得最大值，运用不等式的性质，即可得证【解答】解：函数 f（x ）的定义域为（0，+） ，（1）当 ae 时，f（x）e xelnxe ， ，而 在（0，+）上单调递增，又 f（1）0，当 0x1 时，f（x）f'（ 1）0，则 f（x）在（0，1）上单调递减；当 x1 时，f （x）f'（1） 0，则 f（x）在（1，+ ）上单调递增，则 f（x）有极小值 f（1）0，没有极大值； （2）先证明：当 f（x ）0 恒成立时，有 0ae 成立若 ，则 f（x ）e xa（lnx+1）0 显然成立；若 ，由 f（x ）0 得 ，令 ，则 ，令 ，由 得 g
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