1、与圆有关的计算聚焦考点温习理解一、正多边形与圆1. 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。2. 正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。3. 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角=018n。4. 正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。二、弧长和扇形面积1、弧长公式n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 180rnl2、扇形面积公式 lRnS21360扇其中 n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积 rllS21其中 l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。名师
2、点睛典例分类考向一：与弦长相关的计算典例 1：（2016丹东）如图， AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点 D，CE AD，交 AD 的延长线于点 E（1 ）求证：BDC=A ；（2 ）若 CE=4，DE=2，求 AD 的长DECBOA考向二：与弧长和扇形有关的计算典例 2：（2017无锡）如图，已知矩形 ABCD 中，AB 3，AD2，分别以边 AD，BC 为直径在矩形 ABCD 的内部作半圆 1O和半圆 2，一平行于 AB 的直线 EF 与这两个半圆分别交于点 E、点 F，且 EF2（EF 与 AB 在圆心 O1 和 O2 的同侧） ，求由 AE，EF，
3、FB及 AB 所围成图形（图中阴影部分）的面积典例 3：（2016吉林）如图，阴影部分是两个半径为 1 的扇形，若 =120，=60，则大扇形与小扇形的面积之差为（ ）A 3 B 6 C 35 D 65考向三：与圆柱、圆锥有关的计算典例 4：（2018聊城） 用一块圆心角为 216的扇形铁皮，做一个高为 40cm 的圆锥形工件（接缝忽略不计） ，那么这个扇形铁皮的半径是 cm考向四：计算阴影部分的面积 典例 5：如图，ABC 和ABD 都是O 的内接三角形，圆心 O 在边 AB 上，边 AD 分别与BC， OC 交于 E，F 两点，点 C 为 AD 弧的中点（1 ）求证：OFBD； （2 ）若
4、 21D，且O 的半径 R=6cm 求证：点 F 为线段 OC 的中点； 求图中阴影部分（弓形）的面积考向五：正多边形与圆的有关计算 典例 6：（2015成都）如图，正六边形 ABCDEF 内接于圆 O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和弧 BC 的长分别为 （ ）A 2、 3 B 32、 C 3、 2 D 3、 题 7：（2015上海, ）如果一个正多边形的中心角为 72，那么这个正多边形的边数是（ ）A、4 ； B、5； C、6 ； D、7题 8：（2015台州）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，中心为点 O，有一边长大小不定的正六边形 EFGHIJ 绕点 O 可任意旋转，在
5、旋转过程中，这个正六边形始终在正方形 ABCD 内（包括正方形的边） ，当这个六边形的边长最大时，AE 的最小值为_IHEJFGODCBA课时作业能力提升一选择题1 （ 2018襄阳）如图，点 A，B，C，D 都在半径为 2 的O 上，若 OABC，CDA30，则弦 BC 的长为（ ） CDBAOA4 B2 C 3 D2 32 （ 2018德州） 如图， 从一块直径为 2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90的扇形，则此扇形的面积为( )A 2m B 23m C 2m D 2m3 （ 2017绵阳） “赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径 AB8c
6、m ，圆柱体部分的高 BC6cm，圆锥体部分的高 CD3cm，则这个陀螺的表面积是（ ）A68cm 2 B74cm 2 C84cm 2 D100cm 24 （ 2018泰安）如图，BM 与O 相切于点 B，若MBA140 ，则ACB 的度数为（ ）A40 B50 C60 D705 （ 2018深圳）如图，一把直尺， 60的直角三角形和光盘如图摆放，A 为 60角与直尺交点，AB 3，则光盘的直径是（ ） A3 B3 C6 D6 3 36 (2017达州)以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )A 2 B 23 C 2 D 37 （ 20
7、18成都）如图，在 ABCD 中，B=60，C 的半径为 3，则图中阴影部分的面积是（ ）A B2 C.3 D6二、填空题8 （ 2018 眉山）如图，ABC 是等腰直角三角形， ACB90，ACBC2，把ABC 绕点C A B M O A 按顺时针方向旋转 45后得到 ABC，则线段 BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 9(2018黄石)在 RtABC 中，C90，CA8，CB 6，则 ABC 内切圆的周长为_.10 （ 2016泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1 ，0） ，B（1 a，0） ，C（ 1+a，0） （a0） ，点 P 在以 D（4 ，4）为圆心，
8、1 为半径的圆上运动，且始终满足BPC=90，则 a 的最大值是 三、解答题11 （ 2017黔南州）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形 ABC（顶点是网格线的交点）（1 ）先将ABC 竖直向上平移 5 个单位，再水平向右平移 4 个单位得到 1CBA，请画出 1CBA；（2 ）将 绕 1点顺时针旋转 90，得 21CBA，请画出 21；（3 ）求线段 变换到 2CB的过程中扫过区域的面积12 （ 2018 十堰 ）如图，扇形 OAB 中，AOB120， OA12，C 是 OB 的中点，CDOA交 于点 D，以 OC 为半径的 交 OB 于点 E，求图中阴影
9、部分的面积AB CE13 （ 2018扬州）如图，在ABC 中，ABAC，AOBC 于点 O，OEAB 于点 E，以点 O 为圆心，OE 为半径作半圆，交 AO 于点 F（1 ）求证：AC 是O 的切线；（2 ）若点 F 是 AO 的中点， OE3 ，求图中阴影部分的面积；（3 ）在（2 ）的条件下，点 P 是 BC 边上的动点，当 PE PF 取最小值时，直接写出 BP 的长14 （ 2018襄阳）如图，AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线，E 为O 上一点，过点 E 作直线 DC 分别交 AM，BN 于点 D，C，且 CBCE（1 ）求证：DA DE；（2 ）若 AB6，C
10、D4 3，求图中阴影部分的面积15 .(2018武汉)如图，PA 是O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接PB、PC，PC 交 AB 于点 E，且 PAPB.（1 ）求证：PB 是O 的切线；（2 ）若APC3BPC，求 CEP的值.16 （ 2018深圳）如图，在O 中，BC2，ABAC，点 D 为 AC上的动点，且 cosB（1 ）求 AB 的长度；（2 ）求 ADAE 的值；（3 ）过点 A 作 AHBD 于 H，求证：BH CDDHEABDCO H与圆有关的计算聚焦考点温习理解一、正多边形与圆1. 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。2. 正多边形的边心距：正多边形内
11、切圆的半径。3. 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角=018n。4. 正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。二、弧长和扇形面积1、弧长公式n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 180rnl2、扇形面积公式 lRnS21360扇其中 n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积 rllS21其中 l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。名师点睛典例分类考向一：与弦长相关的计算典例 1：（2016丹东）如图， AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD
12、 与O 相切于点 D，CE AD，交 AD 的延长线于点 E（1 ）求证：BDC=A ；（2 ）若 CE=4，DE=2，求 AD 的长DECBOA【分析】 （1）利用圆的有关性质，综合运用相似或锐角三角函数导比、勾股定理等方法及知识，解决与圆有关的线段计算问题【解答】解：（1）证明：连接 ODCD 是O 切线， ODC=90即ODB+BDC=90.AB 为 O 的直径，ADB=90. 10 即ODB+ADO=90 BDC= ADO OA=OD， ADO=A BDC= A (2) 易得 E=ADB=90 .DBEC DCE=BDC BDC= A , A=DCE E =E，AEC CED EDC2
13、16=2(2+AD),AD =6 DECBOA考向二：与弧长和扇形有关的计算典例 2：（2017无锡）如图，已知矩形 ABCD 中，AB 3，AD2，分别以边 AD，BC 为直径在矩形 ABCD 的内部作半圆 1O和半圆 2，一平行于 AB 的直线 EF 与这两个半圆分别交于点 E、点 F，且 EF2（EF 与 AB 在圆心 O1 和 O2 的同侧） ，求由 AE，EF， FB及 AB 所围成图形（图中阴影部分）的面积【分析】考查扇形面积的计算，矩形的性质，梯形的性质，连接 1O2， 1E，O2F，过 E作 EG 1O2，过 F 12，得到四边形 EGHF 是矩形，根据矩形的性质得到GHEF2
14、，求得 G ，得到 1OEG30，根据三角形、梯形、扇形的面积公式即可得到结论【解答】解：连接 12， 1E， 2F，则四边形 1O2FE 是等腰梯形，过 E 作 EG 1O2O，过 FH ，四边形 EGHF 是矩形，GHEF2， 1G 2， 1OE1，GE 23， 21COG； 1EG30，A 1E30，同理B F30，阴影部分的面积12112 OEAOOSS梯 形扇 形知 形 6345)3(3602 典例 3：（2016吉林）如图，阴影部分是两个半径为 1 的扇形，若 =120，=60，则大扇形与小扇形的面积之差为（ ）A 3 B 6 C 35 D 65【分析】利用扇形的面积公式分别求出两
15、个扇形的面积，再用较大面积减去较小的面积即可【解答】解： 636012360122 ，故答案：B考向三：与圆柱、圆锥有关的计算典例 4：（2018聊城） 用一块圆心角为 216的扇形铁皮，做一个高为 40cm 的圆锥形工件（接缝忽略不计） ，那么这个扇形铁皮的半径是 cm【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形,其底面周长正好是展开图中扇形的弧长,母线长正好是扇形的半径,利用这一关系和勾股定理列方程组即可求得【解答】解：设扇形铁皮的半径为 Rcm，圆锥工件的底面半径为 rcm，根据题意得2216804Rr，解方程组，得 503Rr，所以扇形铁皮的半径为 50cm.故答案：50考向四：计算阴影部分的面
16、积 典例 5：如图，ABC 和ABD 都是O 的内接三角形，圆心 O 在边 AB 上，边 AD 分别与BC， OC 交于 E，F 两点，点 C 为 AD 弧的中点（1 ）求证：OFBD； （2 ）若 21EDF，且O 的半径 R=6cm 求证：点 F 为线段 OC 的中点； 求图中阴影部分（弓形）的面积【分析】考查圆的有关性质及利用扇形和三角形面积，计算弓形面积【解答】解：（1）证明： OC 为半径，点 C 为 CD 的中点，OCAD。AB 为直径，BDA=90 , BDADOF BD（2 ） 证明：点 O 为 AB 的中点，点 F 为 AD 的中点，OF= 1BD。FCBD ，FCE=DBE
17、 FEC=DEB，ECFEBD， 2EDFBC，FC= 1BD。FC=FO，即点 F 为线段 OC 的中点。解：FC=FO，OCAD，AC=AO，又AO=CO，AOC 为等边三角形根据锐角三角函数定义得AOC 的高为 362 2291360cmS阴 答：图中阴影部分（弓形）的面积为 236 考向五：正多边形与圆的有关计算 典例 6：（2015成都）如图，正六边形 ABCDEF 内接于圆 O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和弧 BC 的长分别为 （ ）A 2、 3 B 32、 C 3、 2 D 3、 【分析】考查正多边形的边长、边心距、半径、中心角及面积等的计算【解答】解：在正六边形
18、中，我们连接 OB、OC 可以得到OBC 为等边三角形，边长等于半径 4。OM 为边心距，所以 OMBC ，在边长为 4 的等边三角形中，边上的高32OM。弧 BC 所对的圆心角为 60，由弧长计算公式： 342360 故答案：D题 7：（2015上海, ）如果一个正多边形的中心角为 72，那么这个正多边形的边数是（ ）A、4 ； B、5； C、6 ； D、7【分析】考查正多边形中心角的计算.【解答】解：边数为 572360n故答案：B题 8：（2015台州）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，中心为点 O，有一边长大小不定的正六边形 EFGHIJ 绕点 O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正
19、六边形始终在正方形 ABCD 内（包括正方形的边） ，当这个六边形的边长最大时，AE 的最小值为_ IHEJFGODCBA【分析】当正六边形 EFGHIJ 的边长最大时，要使 AE 最小，以点 H(H 与 O 重合) 为圆心，对角线 EH 为半径的圆应与正方形 ABCD 相切，且点 E 在线段 OA 上，此时只需求出 OE,OA 的值，即可得解【解答】解：当这个正六边形的边长最大时，作正方形 ABCD 的内切圆O，当正六边形EFGHIJ 的顶点 H 与 O 重合，且点 E 在线段 OA 上时，AE 最小，如图所示：正方形 ABCD的边长为 1,O 的半径 OE 为 21，AO= AC= 212
20、，则 AE 的最小值为2 EJIFGO(H)DCBA故答案： 21课时作业能力提升一选择题1 （ 2018襄阳）如图，点 A，B，C，D 都在半径为 2 的O 上，若 OABC，CDA30，则弦 BC 的长为（ ） CDBAOA4 B2 C 3 D2 3【分析】连接 OC，根据垂径定理及圆周角定理即可计算【解答】解：连接 OC，根据垂径定理及圆周角定理，可得BC 2CE，COE 2CDA 60，所以 CEOCsinCOE 2 3 ，BC2 3EOA BDC故答案:D2 （ 2018德州） 如图， 从一块直径为 2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90的扇形，则此扇形的面积为( )A 2m B
21、23m C 2m D 2m【分析】连接 AC 利用圆周角定理及扇形面积计算公式可得【解答】解：连接 AC， B90 ，AC 是O 的直径，ABBC，ABBC 2AC，此扇形的面积为 2211()4A故答案：A，3 （ 2017绵阳） “赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径 AB8cm ，圆柱体部分的高 BC6cm，圆锥体部分的高 CD3cm，则这个陀螺的表面积是（ ）A68cm 2 B74cm 2 C84cm 2 D100cm 2【分析】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积【解答】解：底面圆的直径为 8cm，高为 3cm，母线长为 5cm，
22、其表面积45428684cm 2，故答案：C4 （ 2018泰安）如图，BM 与O 相切于点 B，若MBA140 ，则ACB 的度数为（ ）A40 B50 C60 D70【分析】连接 OA，OB，由切线性质定理得 OBBM, 从而可得 BAO=ABO=50 ，则AOB=80，利用圆周角定理得ACB= 21AOB=40【解答】解：如图，连接 OA，OB，则 OBBM，BAO=ABO=MBAOBM=14090=50， AOB=180502=80，ACB= AOB=40故答案:A5 （ 2018深圳）如图，一把直尺， 60的直角三角形和光盘如图摆放，A 为 60角与直尺交点，AB 3，则光盘的直径是
23、（ ） A3 B3 C6 D6 3 3【分析】根据题意求出OAB60，由直角三角形的性质和勾股定理求得 OB，从而得出光盘的直径【解答】解： CAD 60 ，CAB120 ，AB 和 AC 与O 相切，OABOAC，OAB CAB 60，AB3cm，OA6cm ，由勾股定理得12OB3 cm，光盘的直径 6 cm3 3C A B M O C A B M O 故答案：D6 (2017达州)以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )A 2 B 23 C 2 D 3【分析】本题主要考查多边形与圆中多边形的半径、边心距、中心角等概念；由于内接正三
24、角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积【解答】解：如图 1，OC=2，OD=2sin30=1 ；如图 2，OB=2，OE=2sin45= 2；如图 3，OA=2，OD=2cos30= 3，则该三角形的三边分别为：1， ， ， 2221 ，该三角形是直角三角形， 该三角形的面积是：27 （ 2018成都）如图，在 ABCD 中，B=60，C 的半径为 3，则图中阴影部分的面积是（ ）xyOA B2 C.3 D6【分析】由平行四边形性质及扇形面积计算公式可得【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，A
25、BCD.B+C=180.C=180 60=120. 36012阴 影S=3.故答案：C 二、填空题8 （ 2018 眉山）如图，ABC 是等腰直角三角形， ACB90，ACBC2，把ABC 绕点A 按顺时针方向旋转 45后得到 ABC，则线段 BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 【分析】由图形旋转组合可得 S 阴 S 扇 ABBS ACB S 扇 ACCS ABC S 扇 ABBS 扇 ACC,【解答】解：S 阴 S 扇 ABBS ACB S 扇 ACCS ABC S 扇 ABBS 扇 ACC 2245451()360360故答案: 219(2018黄石)在 RtABC 中，
26、C90，CA8，CB 6，则 ABC 内切圆的周长为_.【分析】由ABC 内切圆的半径及圆周长公式可得【解答】解:ABC 内切圆的半径为： 12(6810) 2，故该圆的周长为 4.故答案：410 （ 2016泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1 ，0） ，B（1 a，0） ，C（ 1+a，0） （a0） ，点 P 在以 D（4 ，4）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足BPC=90，则 a 的最大值是 【分析】考查三角形的外接圆与外心相关计算首先证明 AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出D 上到点 A 的最大距离即可解决问题【解答】解：A（1 ，0） ，B （
27、1a，0 ） ，C（1+a ，0 ） （a 0） ，AB=1（1 a）=a， CA=a+11=a，AB=AC ，BPC=90，PA=AB=AC=a，如图延长 AD 交D 于 P，此时 AP最大，A（1，0 ） ，D（4 ，4） ，AD=5，AP=5+1=6，a 的最大值为 6故答案：6三、解答题11 （ 2017黔南州）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形 ABC（顶点是网格线的交点）（1 ）先将ABC 竖直向上平移 5 个单位，再水平向右平移 4 个单位得到 1CBA，请画出 1CBA；（2 ）将 绕 1点顺时针旋转 90，得 21CBA，请画出 21；（3
28、 ）求线段 1CB变换到 21的过程中扫过区域的面积【分析】考查动手操作能力及作图旋转变换；扇形面积的计算；作图平移变换（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质进而得出对应点位置，进而得出答案；（3）首先得出圆心角以及半径，再利用扇形面积公式直接计算得出答案【解答】解：（1）如图所示： 1CBA，即为所求；（2 ）如图所示： 21，即为所求；（3 ）线段 B1C1 变换到 B1C2 的过程中扫过区域的面积为： 49360212 （ 2018 十堰 ）如图，扇形 OAB 中，AOB120， OA12，C 是 OB 的中点，CDOA交 于点 D，以 OC 为半径
29、的 交 OB 于点 E，求图中阴影部分的面积AB CE【分析】 ，连接 OD，AD ，易得 ADO 为等边三角形,再由图形组合得 S 阴影 S 扇形 AOBS 扇形COE（S 扇形 AODS COD）进行计算【解答】解：如图，连接 OD，AD，点 C 为 OA 的中点，OC OA OD，CD OA， CDO30 ，DOC60， ADO 为等边三角形，12 12OD OA12，OCCA 6，CD 6 ，S 扇形(OD)2 (OC)2 (12)2 6 3AOD 24 ，60(12)2 360S 阴影 S 扇形 AOBS 扇形 COE（S 扇形 AODS COD） （24 66 ）12+18 120
30、(12)2 360 1206360 12 3 313 （ 2018扬州）如图，在ABC 中，ABAC，AOBC 于点 O，OEAB 于点 E，以点 O 为圆心，OE 为半径作半圆，交 AO 于点 F（1 ）求证：AC 是O 的切线；（2 ）若点 F 是 AO 的中点， OE3 ，求图中阴影部分的面积；（3 ）在（2 ）的条件下，点 P 是 BC 边上的动点，当 PE PF 取最小值时，直接写出 BP 的长【分析】 （1）过点 O 作 AC 的垂线，交 AC 于点 D，证明 ODOE，根据“圆心到直线的距离等于该圆的半径，则这条直线与该圆相切”即可证明 AC 是O 的切线；（2 ）阴影部分面积等
31、于AEO 的面积扇形 OEF 的面积，要求扇形的面积必须求出圆心角EOA 的度数，由点 F 是 AO 的中点可知 AO2OF2OE，由三角函数的知识可以得出EOA60；（3 ）作点 E 关于 OB 的对称点 G，当点 F、P、G 共线时，PEPF 才取最小值【解答】解：（1）过点 O 作 AC 的垂线 OD，垂足为 DABAC，AO BC 于点OOB OC，BAOCAOOEAB，ODACOE OD OE 为O 的半径AC 是O的切线（2 ） 点 F 是 AO 的中点 AO2OF OFOE 3 AO 6，在 RtAOE 中，cos AOE316OEAAOE60AEOE tanAOE 3 tan6
32、03阴影部分的面积 2AEEO260 133 260 93；（3 ） BP 3 14 （ 2018襄阳）如图，AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线，E 为O 上一点，过点 E 作直线 DC 分别交 AM，BN 于点 D，C，且 CBCE（1 ）求证：DA DE；（2 ）若 AB6，CD4 3，求图中阴影部分的面积G【分析】 （1）连接 OE，OC，通过证明OECOBC ，得到 OECOBC90，先证得 CD是 O 的切线，再根据切线长定理，可得 DADE （2）过点 D 作 DFBC 于点 F，得DFAB，在 RtDFC 中，先运用勾股定理求出 FC2 3，再根据CDBCAD4
33、 3，FC BCAD2 求出 BC 长，然后利用特殊锐角三角函数求出BOC 的度数，最后根据 S 阴影部分 S 四边形 BCEOS 扇形 OBE 2SOBCS 扇形 OBE 计算求解【解答】解：（1）证明：连接 OE，OCBN 切O 于点B，OBN90 OEOB，OCOC ，CECB，OECOBCOECOBC90CD 是O 的切线AD 切O 于点 A，DADE（2 ）过点 D 作 DFBC 于点 F，则四边形 ABFD 是矩形ADBF，DFAB6DCBCAD4 3FC 2DC2 3，BCAD 2 3BC3 在 Rt OBC 中， tanBOC BO 3，BOC 60 OEC OBC，BOE2B
34、OC120S 阴影部分 S 四边形 BCEO S 扇形OBE21BCOB 036OB29 3315 .(2018武汉)如图，PA 是O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接PB、PC，PC 交 AB 于点 E，且 PAPB.（1 ）求证：PB 是O 的切线；（2 ）若APC3BPC，求 CEP的值.【分析】 （1）由切线的性质得到 OAP90，再通过OAPOBP 得到OBP OAP，从而判断出 PB 是O 的切线.；（2 ）根据切线长定理得到 OPBC，再根据条件APC 3BPC 得到 CBBP.由PBFPOB ，判断出 PF 与 OF 的关系，再由PFE CBE 将 PF 与
35、OF 的关系转移到 PE与 CE 的关系 .【解答】解：（1）证明：分别连接 OB，OP，在OAP 和 OBP 中，OABP，OAPOBP(SSS)，OBP OAP ，PA 是O 的切线，OBPOAP90，PB是O 的切线.连接 BC，设 AB 与 OP 交于点 F，AC 是O 的直径，ABC90，PA，PB 是O的切线，PO 垂直平分 AB， PO 平分APB .OP BC， OPCPCB.APC3BPC ， OPCCPB， PCB CPB.CBBP 设OFt，则 CB BP2t ，由PBF POB ，得 PB2PFPO.即(2t) 2 PF(PFt).解得 PF172t.(取正值)PFE
36、CBE， PEFCB， PFBC 174.16 （ 2018深圳）如图，在O 中，BC2，ABAC，点 D 为 AC上的动点，且 cosB（1 ）求 AB 的长度；（2 ）求 ADAE 的值；（3 ）过点 A 作 AHBD 于 H，求证：BH CDDH【分析】 （1）作 AMBC，由等腰三角形三线合一的性质得 BMCM BC1，在 Rt12AMB 中，根据余弦定义得 cosB ，由此求出 ABBMAB（2 ）连接 CD，根据等腰三角形性质等边对等角得ACBABC，再由圆内接四边形性质和等角的补角相等得ADCACE；由相似三角形的判定得EACCAD，根据相似三角形的性质得 ； 从而得 ADAEA
37、C 2AB 2ACAD AEAC（3 ）在 BD 上取一点 N，使得 BNCD，根据 SAS 得ABNACD，再由全等三角形的性质得 ANAD，根据等腰三角形三线合一的性质得 NHDH，从而得BHBN+NHCD+DH【解答】解：（1）作 AMBC 于点 MABAC，AMBC，BC2,BMCM 12BC 1,cosB ，在 RtAMB 中，BM1, AB BMcosB 1 BMAB 10（2）连接 DC,ABACACBABC,四边形 ABCD 内接于圆O，ADCABC180 ,ACEACB 180,ADCACE,CAE 为公共角,EABDCO HEAC CAD, ,ADAEAC 2（ ） 210ACAD AEAC 10(3) 证明：在 BD 上取一点 N，使得 BNCD， 在ABN 和ACD 中 AB ACABN ACDBN CD )ABN ACD（SAS） ，ANAD，AH BD，ANAD，NHDH ，又BNCD ，NHDH ，BHBN+NHCD+DH EABDCO HMEBDCO HMN
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