1、一次方程聚焦考点温习理解1. 等式：性质 1：等式两边都加上或减去同一个数或式 ，其结果仍是等式；性质 2：等式两边都乘以或除以同一个数（式） （除数或除式不为 0） ，其结果仍是等式2. 含有未知数的等式叫方程，如果将一个未知数的值代入方程，左右两边相等时，这个值叫做方程的解3. 解方程实际是就是运用等式的基本性质对方程进行化变形4. 元一次方程一般形式是： )0(abx最简形式是： )0(abx5. 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化 16. 方程的解的情况：当时 ，方程 x的解是 ；当 a=0，b0 时，方程有无数个解；当 a=0 0b时，方程无解7.
2、解一次方程组时，消元的基本方法有代入消元法和加减消元法来8. 名师点睛典例分类考向一:等式的基本性质典题 1:（2017杭州）设 x， y， c 是实数，则以下正确的是（）A若 x y，则 x c y c B若 x y，则 xc ycC若 x y，则 D若 2c 3，则 2x3 y考向二：一次方程（组）相关概念典题 2:如果方程 0)2(1nmyx是关于 x、y 的二元一次方程，那么 m、n 的值分别为（ ）A.1，0 B.0，1 C.2，1 D.1，1考向三：一次方程（组）解法典题 3:（2018怀化）二元一次方程组 2yx的解是（ ）A.20yxB. 20yxC. 0 D. 0yx考向四：
3、一元一次方程的解及解法应用典题 4:（2017荆州）若单项式5 x4y2m n与 2017xm ny2是同类项，则 m7 n 的算术平 方根是_典例 5：若代数式 4x5 与 的值相 等，则 x 的值是（ ）A 1 B C D 2典例 6:（2017巴中）若方程组 213xyk 的解满足 x+y=0，则 k 的值为（ ）A1 B1 C0 D不能确定考向五：一次方程( 组) 的无解 ,错解,漏解典例 7:我们知道：关于 x 的方程 ax=b，当 a0 时，原方程有唯一解；当 a=0 且 b=0 时，原方程有无数个解；当 a=0 且 b0 时，原方程无解.根 据上面规律，解答以下问题：关于 x、y
4、 的方程组 mxyk12有无数个解，求 2019)(mk的立方根典例 8:在解方程组 9 7abc时，甲正确地解得 3 2xy，乙把 c 写错而得到 6 1xy，若两人的运算过程均无错误，求 a，b，c 的值.考向六：实际问题与一元一次方程(组) 典例 4：（2017 新疆乌鲁 木齐第 13 题）一件衣服售价为 200 元，六折销售，仍可获利20，则这件衣服的进价是 元典例 9：（2017台州）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目 里程费 时长费 远途费单价 1.8 元/公里 0.3 元/分钟 0.8 元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分，其中里程费按行车的实际里程
5、计费；时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车 7 公里以内（含 7 公里）不收远途费超过 7 公里的，超出部分每公里收 0.8 元小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为 6 公里和 8.5 公里，如果下车时所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）A. 10 分钟 B. 13 分钟 C. 15 分钟 D. 19 分钟课时作业能力提升一、单选题（共 7 题，每题 4 分；共 28 分）1 （ 2018济南）关于 x 的方程 321m的解为正数，则 m 的取值范围是A 2m B C D 12来源:2 （ 2017 嘉兴）若二元一次方程组 的解为 则 （ ） A. B.
6、C. D.3已知密文和明文的对应规则为:明文 a、b 对应的密文为 ma-nb、ma+nb.例如，明文1、2 对应的密文是 0，4.若密文是 1，3 时，则对应的明文是( )A. -1，1 B. -1，5 C. 3，1 D. 1，l4如果 ,2xy是二元一次方程组 ,2axby的解，那么关于 m 的方程 a2m+2 016 b=2 017 的解为( )来源:Zxxk.ComA. -1 B. 1 C. 0 D. -25（ 2018娄底）如图，往竖直放置的在 A 处由 短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度 为 6cm，现将右边细管绕 A 处顺时针方向旋转 60到AB
7、 位置, 则 AB 中水柱的长度约为( )A4cm B6 cm C8cm D12cm36如图，8 块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，其中每一个小长方形的面积为（ ）A 400cm2 B. 500cm2 C. 600cm2 D. 675cm27（ 2018河南） 九章算术中记载：”今有共买羊，人出五，不足四十五;人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱问：合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，根据题意，可列方程组为( )A 3745xyB 3745-xyC 3-745xyD 3-745
8、xy二、填空题（共 3 题，每题 4 分；共 12 分 ）8 （ 2018菏泽，14，3 分）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为 106，要使输出的结果为 127，则输入的最小正整数是 9 （ 2018德州）对于实数 a， b 定义运算“” ：ab2,.ba例如，43，因为 43 ，所以 43 25若 x，y 满足方程组4829xy，则 xy 10 （ 2018泰州）已知 3x-y=3a2-6a+9，x+y=a 2+6a-9.若 xy ，则实数 a 的值为 .三、解答题（共 6 题，每题 10 分；共 60 分） 11 已知方程组： 42)(3018ymx,
9、求 myx)1(的平方根.12：若实数 x,y 符合 y，且 x、y 是方程组 10324x的解，求 xy 的平方根。13:已知关于 x，y 的二元一次方程(a2017)x+(2018-a)y+1+a=0 ，当 a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解14 已知非负数 a，b，c 满足条件 a+b=2018，c a=2017，设 S=a+b+c 的最大值为 m，最小值为 n，求 mn 的值15 为了打赢“精准脱贫”攻坚战，某乡镇积极鼓励外出打工人员返乡创业，对返乡创业人员一次性最高可给予 10 万元的无息贷款（贷款期限为 3 年）帮助农民发家致富农民秭再兴抓住机
10、遇，返乡创业，他去年初利用 10 万元的无息贷款在家乡创办了一家农家乐（经营餐饮与住宿） ，一年时间创收的利润刚好为投 资资金的 80%，其中餐饮利润比住宿利润的2 倍还多 5000 元（1 ）求去年该农家乐创收的餐饮和住宿的利润各为多少万元？（2 ）今年初秭再兴把去年的餐饮利润 全部用于继续投资，增设了土特产的实体店和网店销售项目他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年都会增长20%，土特产销售的利润将不低于住宿利润的 40%. 到今年年底，这两年获得的所有利润除能收回所有投资外，还将结余 4 万元 ”求今年销售土特产获得的实际利润 .16 （ 2018南宁） 某公司在甲、乙
11、仓库共存放某种原料 450 吨，如果运出甲仓库所存原料的 60%，乙仓库所存原料的 40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多 30 吨(1) 求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？(2)现公司需将 300 吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为 120 元/ 吨 和100 元/吨经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠 a 元/吨（10 a30） ，从乙仓库到工厂的运价不变设从甲仓库运 m 吨原料到工厂，请求出总运费 w 关于 m 的函数解析式（不要求写出 m 的取值范围） ；(3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明：随着 m 的增大，w 的变化情况考点五：一次方程聚焦考点温习理解
12、9. 等式：性质 1：等式两边都加上或减去同一个数或式 ，其结果仍是等式；性质 2：等式两边都乘以或除以同一个数（式） （除数或除式不为 0） ，其结果仍是等式10. 含有未知数的等式叫方程，如果将一个未知数的值代入方程，左右两边相等时，这个值叫做方程的解11. 解方程实际是就是运用等式的基本性质对方程进行化变形12. 元一次方程一般形式是： )0(abx最简形式是： )0(abx13. 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化 114. 方程的解的情况：当时 ，方程 x的解是 ；当 a=0，b0 时，方程有无数个解；当 a=0 0b时，方程无解15. 解一次方程组
13、 时，消元的基本方法有 代入消元法和加减消元法名师点睛典例分类考向一:等式的基本性质典题 1:（2017杭州）设 x， y， c 是实数，则以下正确的是（）A若 x y，则 x c y c B若 x y，则 xc yc来源 :Zxxk.ComC若 x y，则 D若 2c 3，则 2x3 y【分析】根据等式的性质，可得答案考向二：一次方程（组）相关概念典题 2:如果方程 0)2(1nmyx是关于 x、y 的二元一次方程，那么 m、n 的值分别为（ ）A.1，0 B.0，1 C.2，1 D.1，1【分析】根据二元一次方程定义即可得答案【解答】解:由题意得 1nm,解得 12或 0nm又 2,所以
14、12nm应舍去,得 10n故选：B考向三：一次方程（组）解法典题 3:（2018怀化）二元一次方程组 2yx的解是（ ）A.20yxB. 20yxC. 0 D. 0【分析】考查代入消元法和加减消元法解二元一次方程组【解答】解：可用加减法解，得 2x0，x0；，得 2y4 ，y 2 .20yx.故选:B考向四：一 元一次方程的解及解法应用典题 4:（2017荆州）若单项式5 x4y2m n与 2017xm ny2是同类项，则 m7 n 的算术平方根是_【分析】考查算术平方根；同类项；解二元一次方程组根据同类项定义可以得到关于m、 n 的二元一次方程，即可求得 m、 n 的值即可解题典例 5：若代
15、数式 4x5 与 的值相等，则 x 的值是（ ）A 1 B C D 2【分析】 根据题意列出方程，求出方程的解再解一元一次方程即可【解答】解：根据题意得：4x 5= ，去分母得：8x10=2x 1，解得：x= ，故选 B典例 6:（2017巴中）若方程组 213xyk 的解满足 x+y=0，则 k 的值为（ ）A1 B1 C0 D不能确定【分析】根据等式的性 质，可得答案【解答】解：+，得 3（ x+y）=3 3k，由 x+y=0，得 3 3k=0，解得 k=1，故选 B考向五：一次方程( 组) 的无解 ,错解,漏解典例 7:我们知道：关于 x 的方程 ax=b，当 a0 时，原方程有唯一解；
16、当 a=0 且 b=0 时，原方程有无数个解；当 a=0 且 b0 时，原方程无解.根据上面规律，解答以下问题：关于 x、y 的方程组 mxyk12有无数个解，求 2019)(mk的立方根【分析】考查对一次方程(组)解的情况的理解与运用来源:典例 8:在解方程组 9 7axbyc时，甲正确地解得 3 2xy，乙把 c 写错而得到 6 1xy，若两人的运算过程均无错误，求 a，b，c 的值.【分析】考查对一次方程 (组)错解的情况的理解与运用,方程组解的定义把甲的解代入方程组，把乙的解代入原方程组的（1） ，解关于 a、b 的方程组即可【解答】解：把甲的解代入方程组得 3291 7c，由（2）得
17、 c=5，把乙的解代入原方程组的（1）得 6a+3b=9 （3） ，由（1） （3）得到 1 3ab，a=1，b=3，c=5考向六：实际问题与一元一次方程(组) 典例 4：（2017 新疆乌鲁木齐第 13 题）一件衣服售价为 200 元，六折销售，仍可获利20，则这件衣服的进价是 元【答案】100.考点：一元一次方程的应用典例 9：（2017台州）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目 里程费 时长费 远途费单价 1.8 元/公里 0.3 元/分钟 0.8 元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分，其中里程费按行车的实际里程计费；时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方
18、式为：行车 7 公里以内（含 7 公里）不收远途费超过 7 公里的，超出部分每公里收 0.8 元小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为 6 公里和 8.5 公里，如果下车时所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ） A. 10 分钟 B. 13 分钟 C. 15 分钟 D. 19 分钟【分析】设小王的行车时间为 x 分钟，小张的行车时间为 y 分钟，根据题意列出小王和小张车费的代数式，两者相等，计算可得出时间差。课时作业能力提升一、单选题（共 7 题，每题 4 分；共 28 分）1 （ 2018济南）关于 x 的方程 321m的解为正数，则 m 的取值范围是A 12m B C 2
19、 D 12【分析】 解的定义就是使方程左右两边相等的数，先求出方程的解, 再列出不等式即【解答】解：解方程 31x得 3x方程的解为正数， 03，解得 12故答案为：B2 （ 2017嘉兴）若二元一次方程组 的解为 则 （ ） A. B. C. D.3已知密文和明文的对应规则为:明文 a、b 对应的密文为 ma-nb、ma+nb.例如，明文1、2 对应的密文是 0，4.若密文是 1，3 时，则对应的明文是( )A. -1，1 B. -1，5 C. 3，1 D. 1，l【分析】由方程组解的意义可把解代入即得【解答】解：由题意得 420nm解之得 12n,则明文 a、b 对应的密文为 2a-b、2
20、a+b,则当 a=1,b=3 时有 2a-b=-1、2a+b=5故选 B4如果 1,2xy是二元一次方程组 1,2axby的解，那么关于 m 的方程 a2m+2 016 b=2 017 的解为( )A. -1 B. 1 C. 0 D. -2【分析】根据二元一次方程组的解，可直接代入可得【解答】解： 2ab，解得 0a，代入可得 m+2016+0=2017，解得 m=1.故选：B.5（ 2018娄底）如图，往竖直放置的在 A 处由短软管连接的粗细均匀细管组成的 “U”形装置中注入一定量的水，水面高度为 6cm，现将右边细管绕 A 处顺时针方向旋转 60到AB 位置, 则 AB 中水柱的长度约为(
21、 )A4cm B6 cm C8cm D12cm3【分析】考查一元一次方程应用【解答】解：如图，构造 RtACD，设 ADxcm，因为ACD30,AC2AD2xcm则x2x12，解得 x4，所以 AC2x8答案：C，6如图，8 块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，其中每一个小长方形的面积为（ ）A 400cm2 B. 500cm2 C. 600cm2 D. 675cm2【分析】考查一元一次方程应用7（ 2018河南） 九章算术中记载：”今有共买羊，人出五，不足四十五;人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱问：
22、合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，根据题意，可列方程组为( )A 3745xyB 3745-xyC 3-745xyD 3-745xy【分析】考查一元一次方程应用【解答】解：根据“若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱”由此可得方程组 3745xy答案：A二、填空题（共 3 题，每题 4 分；共 12 分）8 （ 2018菏泽 ，14 ，3 分）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为 106，要使输出的结果为 127，则输入的最小正整数是 【分析】考查 一元一次方程解的意义及运用9.（2018德州）对于实数 a
23、，b 定义运算“” ：ab2,.ba例如，43，因为 43，所以 43 25若 x，y 满足方程组4829xy，则 xy 【分析】考查二元一次方程组解的意义及运用【解答】解：解方程组得：x=5y12，5 12，xy51260答案：60 10 （ 2018泰州）已知 3x-y=3a2-6a+9，x+y=a 2+6a-9.若 xy ，则实数 a 的值为 .【分析】考查二元一次方程组解的意义及运用【解答】解：将已知的两个等式相减可得 2x-2y=2a2-12a+18，x-y=(a-3) 20 ，(a-3)20， (a-3)2=0，a=3.答案:3三、解答题（共 6 题，每题 10 分；共 60 分）
24、 11 已知方程组： 42)(3018ymx,求 myx)12(的平方根.【分析】考查二元一次方程组解法及平方根12：若实数 x,y 符合 1xy，且 x、y 是方程组 10324xyx的解，求 xy 的平方根。【分析】考查用整体思想求二元一次方程组解【解答】解：设|x+y|=a，|x|=b，则原方程组可化为：a 十 b=4（3）；十 3b=10（4）（ 3）2（4 ）得：b= 2，解得 b=2，把 b=2 代入得：a+2=4，解得 a=2，即|x+y|=2，|x|=2， 由|x|=2 得：x=2，因 x-1=0，则 x=1，所以 x=2当 x=2 时，|2+y|=2，2+y=2，y=0 或
25、y=4；当 x=2，y=0 时 xy=0，则 xy 的平方根为 0；当 x=2，y=一 4 时 xy=一 80，此时 xy 没有平方根；综上 x=2，y=0，xy 的平方根为 013:已知关于 x，y 的二元一次方程(a2017)x+(2018-a)y+1+a=0 ，当 a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解【分析】考查二元一次方程解及解的情况探讨【解答】解：将方程化为关于 a 的方程：（x 一 y 十 1）a=2017x2018y1，由于 x，y 的值与 a 的取值无关，即这个关于 a 的方程有无数多个解，则 x 一 y+1=0 且2017x 一 2018y
26、 一 1=0；则：2017（y 一 1）-2018y-1=0；得 y=-2018;解之得：x=一 2019;y=一 201814 已知非负数 a，b，c 满足条件 a+b=2018，c a=2017，设 S=a+b+c 的最大值为 m，最小值为 n，求 mn 的值【分析】考查消元化归思想及方程组解法的综合运用【解答】解：a ，b，c 为非负 数；S=a+b+c0；又ca=2017；c=a+2017；而 a 大于等于0c2017；a+b=2018；S=a+b+c=2018+c ；又c2017; c=2017 时 S 最小，即 S 最小=4035，即 n=4035；又a+b=2018；而 a、b
27、均为非负数， 0a2018 且c=a+2017S=a+b+c=2018+c=2018+a+2017= 4035+a； a=2018 时 S 最大，即 S 最大=4035 十2018，即 m=4035 十 2018；mn=4035 十 20184035=201815 为了打赢“精准脱贫”攻坚战，某乡镇积极鼓励外出打工人员返乡创业，对返乡创业人员一次性最高可给予 10 万元的无息贷款（贷款期限为 3 年）帮助农民发家致富农民秭再兴抓住机遇，返乡创业，他去年初利用 10 万元的无息贷款在家乡创办了一家农家乐（经营餐饮与住宿） ，一年时间创收的利润刚好为投资资金的 80%，其中餐饮利润比住宿利润的 2
28、倍还多 5000 元（1 ）求去年该农家乐创收的餐饮和住宿的利润各为多少万元？（2 ）今年初秭再兴把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店和网店销售项目 他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年都会增长 20%，土特产销售的利润将不低于住宿利润的 40%. 到今年年底，这两年获得的所有利润除能收回所有投资外，还将结余 4 万元 ”求今年销售土特产获得的实际利润 .【分析】考查一次方程组解法与实际问题16 （ 2018南宁） 某公司在甲、乙仓库共存放某种原料 450 吨，如果运出甲仓库所存原料的 60%，乙仓库所存原料的 40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多 30 吨(1) 求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？(2)现公司需将 300 吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为 120 元/ 吨和100 元/吨经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠 a 元/吨（10 a30） ，从乙仓库到工厂的运价不变设从甲仓库运 m 吨原料到工厂，请求出总运费 w 关 于 m 的函数解析式（不要求写出 m 的取值范围） ；(3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明：随着 m 的增大，w 的变化情况【分析】考查一次方程组解法与实际问题
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