2019年高考数学（含解析)之数列的求和问题

1、数列的求和问题1已知数列a n， bn满足 a11 ，且 an，a n1 是方程 x2b nx2 n0 的两根，则 b10 等于( )A24 B32 C 48 D64 来源:Zxxk.Com2已知数列a n的前 n 项和为 Sn2 n1 m，且 a1，a 4，a 52 成等差数列，b n，数列b n的前 n 项和为 Tn，则满足 Tn 的最小正整数 n 的值为 ( )anan 1an 1 1 2 0172 018A11 B10 C9 D83设 Sn 为数列a n的前 n 项和，已知 a1 ， 2 n(nN *)，则 S100 等于( )12 n 1an 1 nanA2 B2492100 492

2、99C 2 D2512100 512994已知数列a n的通项公式为122,nnna为 奇 数 ， ， 为 偶 数 ，a 则数列 的前 2n 项和3an n 7的最小值为( )A B514 1854C D 来源:Zxx k.Com252 10585在等比数列a n中，a 2a32a 1，且 a4 与 2a7 的等差中项为 17，设 bn(1) nan，n N *，则数列 bn的前 2 018 项的和为_6若数列a n的通项公式 annsin (nN *)，其前 n 项和为 Sn，则 S2 018_.n37设数列a n的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，对于任意的 nN *，a n，S n，a

3、 成等差数2n列，设数列 bn的前 n 项和为 Tn，且 bn ，若对任意的实数 x (e 是自然对数(ln x)na2n (1， e的底数)和任意正整数 n，总有 Tn0；2b b n1 bnb 0.14 2n 1 2n(1)求数列 an与b n的通项公式； (2)设 cna nbn，求数列c n的前 n 项 和 Tn.13已知数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 Sn2 an1(nN *)，数列b n满足 nbn1 (n 1)bn n(n1) (nN *)，且 b11 ，(1)证明数列 为等差数列，并求数列a n和b n的通项公式 bnn(2)若 cn( 1) n1 ，求数列c n的前

4、2n 项和 T2n；4n 13 2log2an3 2log2an 1(3)若 dna n ，数列 的前 n 项和为 Dn，对任意的 nN *，都有 DnnSna，求 实数 abn dn的取值范围数列的求和问题1已知数列a n， bn满足 a11 ，且 an，a n1 是方程 x2b nx2 n0 的两根，则 b10 等于( )A24 B32 C 48 D64答案 D2已知数列a n的前 n 项和为 Sn2 n1 m，且 a1，a 4，a 52 成等差数列，b n，数列b n的前 n 项和为 Tn，则满足 Tn 的最小正整数 n 的值为( )anan 1an 1 1 2 0172 018A11

5、B10 C9 D8答案 B解析 根据 Sn2 n1 m 可以求得 anError!来源:Z.xx.k.Com所以有 a1m4，a 416，a 532，根据 a1，a 4，a 52 成等差数列，可得 m432 232，从而求得 m2 ，所以 a12 满足 an2 n，从而求得 an2 n(nN *)，所以 bn anan 1an 1 1 2n2n 12n 1 1 ，12n 1 12n 1 1所以 Tn1 1 ，13 13 17 17 115 12n 1 12n 1 1 12n 1 1令 1 ，整理得 2n1 2 019，12n 1 12 0172 018解得 n10.3设 Sn 为数列a n的前

6、 n 项和，已知 a1 ， 2 n(nN *)，则 S100 等于( )12 n 1an 1 nanA2 B2 492100 49299C 2 D2512100 51299答案 D解析 由 2 n，得 2 n，n 1an 1 nan n 1an 1 nan则 2 n1 ， 2 n2 ， 21，nan n 1an 1 n 1an 1 n 2an 2 2a2 1a1将各式相加得 2 12 22 n1 2 n2 ，nan 1a1又 a1 ，所以 ann ，12 12n因此 S1001 2 100 ，12 122 12100则 S1001 2 99 100 ，12 122 123 12100 1210

7、1两式相减得 S100 100 ，12 12 122 123 12100 12101所以 S1002 991 00 1002 . (12) (12) 512994已知数列a n的通项公式为122,nnna为 奇 数 ， ， 为 偶 数 ，a 则数列 的前 2n 项和3an n 7的最小值为( )A B514 1854C D252 1058答案 D解析 设 bn3a nn7，则 S2nb 1b 2b 3b 2n3 (123 2n) 14n9 2n 213n，1 (12)n1 12121 (12)n1 12 1 (12)n又 2n2 13n2 2 ，(n 134) 1698当 n4 时，f(n)2

8、 2 是关于 n 的增函数，(n 134) 1698又 g(n)9 也是关于 n 的增函数，1 (12)nS 80，3n所以 ln an1 3ln an，数列 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，ln an所以 ln an3 n1 ，a ne3 n1 (nN *)(2)由(1)得 bn(2 n1)ln an (2n1)3 n1Tn13 033 153 2(2n1)3 n1 ，3Tn13 133 2(2 n3)3 n1 (2n1)3 n，得2T n12(3 13 23 33 n1 )(2n1)3 n1 2 (2n1)3 n2(n1)3 n2.3 3n1 3所以 Tn(n 1)3 n1(nN

9、*)10在等比数列a n中，首项 a18，数列b n满足 bnlog 2an(nN *)，且 b1b 2b 315.(1)求数列 an的通项公式；(2)记数列 bn的前 n 项和为 Sn，又设数列 的前 n 项和为 Tn，求证：T n0；2b b n1 bnb 0.14 2n 1 2n(1)求数列 an与b n的通项公式；(2)设 cna nbn，求数列c n的前 n 项和 Tn.押题依据 错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用 an，S n 的关系求 an，也是高考出题的常见形式解 (1)当 n1 时，a 1S 11，当 n2 时，a nS nS n1 2n1( nN *)，又 a11

10、 满足 an2n1，a n2n1( nN *)2 b b n 1bnb 0 ，2n 1 2n且 bn0，2b n1 b n，q ，b 3b 1q2 ，12 14b 11，b n n1 (nN *)(12)(2)由(1)得 cn(2n1) n1 ，(12)Tn1 3 5 2(2 n1) n1 ，12 (12) (12)Tn1 3 2(2 n3) n1 (2n1) n，12 12 (12) (12) (12)两式相减，得 Tn12 2 22 n1 (2n1) n12 12 (12) (12) (12)1 2 (2n1) n1 (12)n 1 (12)3 n1 .(12) (32 n)T n6 n1

11、 (2n3)(nN *)(12)13已知数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 Sn2 an1(nN *)，数列b n满足 nbn1 (n1)bn n(n1)(nN *)，且 b11，(1)证明数列 为等差数列，并求数列a n和b n的通项公式；bnn(2)若 cn( 1) n1 ，求数列c n的前 2n 项和 T2n；4n 13 2log2an3 2log2an 1(3)若 dna n ，数列 的前 n 项和为 Dn，对任意的 nN *，都有 DnnSna，求实数 abn dn的取值范围解 (1)由 nbn1 (n1)b nn( n1)两边同除以 n(n1)，得 1，bn 1n 1 bnn从

12、而数列 为首项 1 ，公差 d1 的等差数列，bnn b11所以 n( nN *)，bnn数列b n的通项公式为 bnn 2.当 n1 时，S 12a 11a 1，所以 a11.当 n2 时，S n2 an1 ，S n1 2a n1 1，两式相减得 an2a n1 ，又 a110，所以 2，anan 1从而数列 an为首项 a11，公比 q2 的等比数列，从而数列 an的通项公式为 an2 n1 (nN *)(3)由(1)得 dna n n 2n1 ，bnDn112232 2( n1)2 n2 n 2n1 ，2Dn1222 232 3 (n1)2 n1 n2 n.两式相减得D n12 2 22 n1 n 2n n2 n，1 2n1 2所以 Dn( n1)2 n1，由(1)得 Sn2 an12 n1，因为对nN *，都有 DnnSna ，即(n1)2 n1n a 恒成立，(2n 1)所以 a2nn 1 恒成立，记 en2 nn1，所以 a min，(en)因为 en1 e n 2 n10 ，从而数列 为递增数列，2n 1 n 1 1 (2n n 1) en所以当 n1 时，e n 取最小值 e10，于是 a0.