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    2019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(文科)含答案解析

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    2019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(文科)含答案解析

    1、2019 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 Mx |x|3 ,N x|1og3x1,则 MN 等于( )A Bx|0x3 C x|x3 D x|3x32 (5 分)已知 i 为虚部单位,若( 1+i)z1i,则 ( )Ai Bi C1+i D1i3 (5 分)若 cos( +) ,且 ( ,) ,则 sin(2 )( )A B C D4 (5 分)已知抛物线 C:y 28x 的焦点为 F,直线 y (x2)与 C 交于 A,B(A 在x 轴上方)两

    2、点,若 m ,则实数 m 的值为( )A B3 C2 D5 (5 分)下列四个命题:样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度;某校高三一级部和二级部的人数分别是 m,n,本次期末考试两级部数学平均分分别是 a,b,则这两个级部的数学平均分为 ;某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查,现将 800 名学生从 001 到 800进行编号,已知从 497512 这 16 个数中取得的学生编号是 503,则初始在第 1 小组001016 中随机抽到的学生编号是 007其中命题正确的个数是( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个6 (5

    3、分)正四面体 ABCD 中,E,F 分别为棱 AD,BC 的中点,则异面直线 EF 与 CD 所成的角为( )A B C D7 (5 分)函数 f(x )A sin(x+) 的部分图象如图所示,若 ,且 f(x 1)f(x 2) (x 1x 2) ,则 f(x 1+x2)( )A1 B C D8 (5 分)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则( + )的最小值是( )A2 B C D19 (5 分)设函数 f(x )xcosxsinx 的图象上的点(x 0,y 0)处的切线的斜率为 k,若kg(x 0) ,则函数 g(x)的大致图象为( )ABCD10 (5

    4、分)已知 F1、F 2 分别是双曲线 C: 1 的左、右焦点,若 F2 关于渐近线的对称点恰落在以 F1 为圆心,|OF 1|为半径的圆上,则双曲线 C 的离心率为( )A2 B C3 D11 (5 分)数列a n满足 a11,对任意 nN*的都有 an+11+a n+n,则 +( )A B2 C D12 (5 分)设 f(x )是定义在 R 上的函数,其导函数为 f(x) ,若 f(x)+f (x )1,f(0)2018,则不等式 exf(x)e x+2017(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( )A (,0)(0,+) B (,0)(2017,+)C (2017,+) D (0,+ )

    5、二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.13 (5 分)已知函数 f(x ) ,则不等式 f(f (1) ) 14 (5 分)已知实数 x,y 满足 ,则 的取值范围为 15 (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,俯视图是一个等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为 16 (5 分)在ABC 中,已知 c2,若 sin2A+sin2BsinAsinBsin 2C,则 a+b 的取值范围 三、解答题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 17 题21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据

    6、要求作答17 (12 分)已知数列a n的前 n 项和 Snn 2+2n,等比数列 bn满足 b2a 1,b 3a 4(1)求数列a n和b n的通项公式;(2)求数列a nbn的前 n 项和 Tn18 (12 分)如图,直三棱柱 ABCA 1B1C1 中,ABACAA 12, ,D,E 分别是 BC,CC 1 的中点(1)证明:平面 ADB1平面 ADE;(2)求三棱锥 DAB 1E 的高19 (12 分)某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在50,100 内,发布成绩使用等级制,各等级划分标准见下表百分制 85 分及以上 70 分到

    7、84 分 60 分到 69 分 60 分以下等级 A B C D规定:A,B ,C 三级为合格等级,D 为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况,从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50,60)60,70) ,70,80) ,80 ,90)90,00的分组作出频率分布直方图如图1 所示,样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示(1)求 n 和频率分布直方图中的 x,y 的值,并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率;(2)根据频率分布直方图,求成绩的中位数(精确到 0.1) ;(3)在选取的样本中,从 A,D 两个等级的学生中随机抽取 2 名学生进行

    8、调研,求至少有一名学生是 A 等级的概率20 (12 分)已知椭圆 C: 的离心率为 ,右焦点 F2 到直线l1:3x +4y0 的距离为 ()求椭圆 C 的方程;()过椭圆右焦点 F2 斜率为 k(k 0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 E、F 两点,A 为椭圆的右顶点,直线 AE,AF 分别交直线 x3 于点 M,N ,线段 MN 的中点为 P,记直线PF2 的斜率为 k,求证:k k为定值21 (12 分)设函数 f(x ) alnxa R(1)求函数 yf(x)的单调区间和极值(2)若函数 f(x )在区间(1,e 2内恰有两个零点,求 a 的取值范围选修 4-4:坐标系与参数方程22

    9、 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) 在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 2 sin(1)求圆 C 的直角坐标方程;(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(1, ) ,求| PA|+|PB|的值选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|x 1|+|x+1|+2(1)求不等式 f(x )6 的解集;(2)若关于 x 的不等式 f(x)a 2a2 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围2019 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(文科)参

    10、考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 Mx |x|3 ,N x|1og3x1,则 MN 等于( )A Bx|0x3 C x|x3 D x|3x3【分析】化简集合 M、N,根据交集的定义写出 MN 【解答】解:集合 Mx |x|3 x|3x 3 ,Nx|1og 3x1x|0x 3,则 MN x|0x 3故选:B【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题2 (5 分)已知 i 为虚部单位,若( 1+i)z1i,则 ( )Ai Bi C1+i D1i【分析】求出 z,从而求出其共

    11、轭复数即可【解答】解:若(1+i)z 1i ,则 z i,则 i,故选:A【点评】本题考查了复数的运算,考查共轭复数,是一道常规题3 (5 分)若 cos( +) ,且 ( ,) ,则 sin(2 )( )A B C D【分析】由题意利用诱导公式求得 sin,再利用同角三角函数的基本关系求得 cos,再利用二倍角的正弦公式求得要求式子的值【解答】解:cos( +)sin ,且 ( ,) ,即 sin ,cos ,则 sin( 2) sin22sin cos ,故选:D【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式的应用,属于基础题4 (5 分)已知抛物线 C:y 28x 的焦

    12、点为 F,直线 y (x2)与 C 交于 A,B(A 在x 轴上方)两点,若 m ,则实数 m 的值为( )A B3 C2 D【分析】作出抛物线的准线,设 A、B 在 l 上的射影分别是 A1、B 1,过 B 作 BMAA 1于 M由抛物线的定义结合题中的数据,可算出 RtABM 中,得 cosBAE ,即可求解【解答】解:设 A、B 在 l 上的射影分别是 A1、B 1,过 B 作 BMAA 1 于 M由抛物线的定义可得出 RtABM 中,得BAM 60,cos60 ,解得 m3故选:B【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了抛物线的定义,考查了学生的转化思想,是中档题5 (5 分)下

    13、列四个命题:样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度;某校高三一级部和二级部的人数分别是 m,n,本次期末考试两级部数学平均分分别是 a,b,则这两个级部的数学平均分为 ;某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查,现将 800 名学生从 001 到 800进行编号,已知从 497512 这 16 个数中取得的学生编号是 503,则初始在第 1 小组001016 中随机抽到的学生编号是 007其中命题正确的个数是( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】 根据样本方差的定义进行判断,根据平均数的定义进行判断,根据系统抽样的定义

    14、求出样本间隔,解方程即可【解答】解:样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度;正确某校高三一级部和二级部的人数分别是 m、n,本次期末考试两级部数学平均分分别是 a、b,则这两个级部的数学平均分为 ;故错误某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查,则样本间隔为 8005016,已知从 497512 这 16 个数中取得的学生编号是 503,则设在初始在第 1 小组 00l 016 中随机抽到的学生编号是 x则 5031631+x,得 x7,在第 1 小组 1l6 中随机抽到的学生编号是 007 号,故正确,故正确的是 ,故选:C【点评

    15、】本题主要考查命题的真假判断,涉及的知识点较多,综合性较强,但难度不大6 (5 分)正四面体 ABCD 中,E,F 分别为棱 AD,BC 的中点,则异面直线 EF 与 CD 所成的角为( )A B C D【分析】取 BD 中点 O,连结 EO、FO ,则 OFCD,OEAB,且 OFOE ,从而EFO 是异面直线 EF 与 CD 所成的角,由此能求出异面直线 EF 与 CD 所成的角【解答】解:取 BD 中点 O,连结 EO、FO ,设正四面体的棱长为 a,则 OFCD,OEAB ,且 OFOE ,EFO 是异面直线 EF 与 CD 所成的角,取 CD 中点 G,连结 BG、AG,则 AGCD

    16、,BGCD,BGAG G ,CD平面 ABG,AB 平面 ABG,CDAB,OFOE ,EFO 异面直线 EF 与 CD 所成的角为 故选:B【点评】本题考查异面直线所成的角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题7 (5 分)函数 f(x )A sin(x+) 的部分图象如图所示,若 ,且 f(x 1)f(x 2) (x 1x 2) ,则 f(x 1+x2)( )A1 B C D【分析】由图象可得 A1,由周期公式可得 2,代入点( ,0)可得 值,进而可得 f(x)sin(2x + ) ,再由题意可得 x1+x2 ,代入计算可

    17、得【解答】解:由图象可得 A1, ,解得 2,f(x)sin(2x +) ,代入点( ,0)可得 sin( +)0 +k,k ,kZ又| , ,f(x)sin(2x + ) ,sin(2 + )1,即图中点的坐标为( ,1) ,又 ,且 f(x 1)f(x 2) (x 1x 2) ,x 1+x2 2 ,f(x 1+x2)sin (2 + ) ,故选:D【点评】本题考查三角函数的图象与解析式,属基础题8 (5 分)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则( + )的最小值是( )A2 B C D1【分析】根据条件建立坐标系,求出点的坐标,利用坐标法结合向量数量积的公

    18、式进行计算即可【解答】解:建立如图所示的坐标系,以 BC 中点为坐标原点,则 A(0, ) ,B(1,0) ,C (1,0) ,设 P(x ,y) ,则 (x, y) , (1x,y) , (1x,y) ,则 ( + )2x 22 y+2y22x 2+(y ) 2 当 x0,y 时,取得最小值 2( ) ,故选:B【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用,根据条件建立坐标系,利用坐标法是解决本题的关键9 (5 分)设函数 f(x )xcosxsinx 的图象上的点(x 0,y 0)处的切线的斜率为 k,若kg(x 0) ,则函数 g(x)的大致图象为( )ABCD【分析】求出函数的导数,得到函

    19、数的解析式,然后判断函数的图象即可【解答】解:函数 yx cosx sinx,可得 yxsin x,在点(x 0,y 0)处的切线的斜率为 k,若 kg(x 0)x 0sinx0,函数 k 是偶函数,排除A,D,当 x0 时,k 0,显然 C 不正确,B 正确;故选:B【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的图象,考查计算能力10 (5 分)已知 F1、F 2 分别是双曲线 C: 1 的左、右焦点,若 F2 关于渐近线的对称点恰落在以 F1 为圆心,|OF 1|为半径的圆上,则双曲线 C 的离心率为( )A2 B C3 D【分析】求出 F2 到渐近线的距离,利用 F2 关于渐近线的对称点恰落在

    20、以 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,可得直角三角形,即可求出双曲线的离心率【解答】解:由题意,F 1(c,0) ,F 2(c ,0) ,一条渐近线方程为 ,则 F2 到渐近线的距离为 b设 F2 关于渐近线的对称点为 M,F 2M 与渐近线交于 A,| MF2|2b,A 为 F2M 的中点又 0 是 F1F2 的中点,OA F 1M,F 1MF2 为直角,MF 1F2 为直角三角形,由勾股定理得 4c2c 2+4b23c 24(c 2a 2) ,c 24 a2,c2a,e2故选:A【点评】本题考查双曲线的几何性质,考查勾股定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题11 (5 分)数列a

    21、n满足 a11,对任意 nN*的都有 an+11+a n+n,则 +( )A B2 C D【分析】根据题意,将 an+11+ an+n 变形可得 an+1a n n+1,进而可得an(a na n1 )+(a n1 a n2 )+ (a 2a 1)+a 1n+(n1)+ +1,变形可得 ;据此由数列求和的方法分析可得答案【解答】解:根据题意,数列a n满足对任意 nN*的都有 an+11+a n+n,则an+1a nn+1,则 an(a na n1 )+(a n1 a n2 )+ (a 2a 1)+a 1n+(n1)+ +1,则 ;则 + 2(1 )+( )+( )2(1 ) ;故选:C【点评

    22、】本题考查数列的递推公式和数列的求和,关键是求出数列的通项公式,属于综合题12 (5 分)设 f(x )是定义在 R 上的函数,其导函数为 f(x) ,若 f(x)+f (x )1,f(0)2018,则不等式 exf(x)e x+2017(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( )A (,0)(0,+) B (,0)(2017,+)C (2017,+) D (0,+ )【分析】构造函数 g(x)e xf(x)e x,通过求导及已知不等式可得出 g(x)为递增函数,再将原不等式化为 g(x)g(0)可解得【解答】解:令 g(x)e xf(x)e x,则 g(x)e xf(x)+e xf(x )e

    23、 xe x(f(x)+f(x)1) ,f(x)+f(x )1,f(x)+f(x )10,g(x)0,g(x )在 R 上为单调递增函数,g(0)f(0)12018 12017原不等式可化为 g(x)g(0) ,根据 g(x)的单调性得 x0故选:D【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,属难题二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.13 (5 分)已知函数 f(x ) ,则不等式 f(f (1) ) 16 【分析】根据题意,由函数的解析式可得 f(1)4,进而计算 f(4)的值可得答案【解答】解:根据题意,函数 f(x ) ,则 f(1)16+9 4,则 f(f(1

    24、) )2 416;故 f(f(1) )16;故答案为:16【点评】本题考查分段函数函数值的计算,关键是分析分段函数解析式的形式,属于基础题14 (5 分)已知实数 x,y 满足 ,则 的取值范围为 ( , 【分析】实数 x,y 满足 ,表示一个三角形区域(包含边界) ,三角形的三个顶点的坐标分别为 A(0,1) ,B(1,2) ,C (0,2) , 的几何意义是点(x,y)与 P(2,0)连线的斜率,由此可求结论【解答】解:实数 x,y 满足 ,表示一个三角形区域(包含边界) ,三角形的三个顶点的坐标分别为 A( ,1) ,B(3,1) ,C( , ) ,的几何意义是点(x,y )与 P(2,

    25、0)连线的斜率,由于 PC 的斜率为 ,PB 的斜率为: 所以 则 的取值范围为:( , 故答案为:( , 【点评】本题考查线性规划知识的运用,解题的关键是确定平面区域,明确目标函数的几何意义15 (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,俯视图是一个等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为 【分析】几何体是三棱锥,根据三视图知几何体的后侧面与底面垂直,高为 ,结合直观图判定外接球的球心在后侧面的高 SO 上,利用球心到 A、S 的距离相等求得半径,代入球的表面积公式计算【解答】解:由三视图知:几何体是三棱锥,且几何体的后侧面 SAC 与底面垂直,高SO 为 ,如图:

    26、其中 OAOB OC1,SO平面 ABC,其外接球的球心在 SO 上,设球心为 M,OMx,则 xx ,外接球的半径 R ,几何体的外接球的表面积 S4 故答案为:【点评】本题考查三视图复原几何体形状的判断,几何体的表面积与体积的求法,考查空间想象能力与计算能力16 (5 分)在ABC 中,已知 c2,若 sin2A+sin2BsinAsinBsin 2C,则 a+b 的取值范围 (2,4 【分析】sin 2A+sin2Bsin AsinBsin 2C,由余弦定理可得:a 2+b2abc 2,再利用余弦定理可得 C由正弦定理可得: ,解出 a,b 代入 a+b,利用和差公式、三角函数的单调性与

    27、值域即可得出【解答】解:sin 2A+sin2BsinAsin Bsin 2C,由余弦定理可得:a 2+b2abc 2,可得 cosC ,C (0,) ,C 由正弦定理可得: ,a sinA,b sinB,B A则 a+b sinA+ sinB sinA+ sin( A)4sin ,A , ,sin ,a+b(2,4故答案为:(2,4【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域,考查了推理能力与计算能力,属于中档题三、解答题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 17 题21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要

    28、求作答17 (12 分)已知数列a n的前 n 项和 Snn 2+2n,等比数列 bn满足 b2a 1,b 3a 4(1)求数列a n和b n的通项公式;(2)求数列a nbn的前 n 项和 Tn【分析】 (1)由数列的递推式:n1 时,a 1S 1;n2 时,a nS nS n1 ,化简整理可得a n的通项公式;再由等比数列的通项公式,计算可得所求b n的通项公式;(2)求得 anbn(2n+1)3 n1 ,由数列的错位相减法求和,结合等比数列的求和公式,化简可得所求和【解答】解:(1)S nn 2+2n,可得 a1S 13;n2 时,a nS nS n1 n 2+2n(n1) 22(n1)

    29、2n+1;上式对 n1 也成立,可得 an2n+1,nN*,等比数列b n的公比设为 q,b 2a 13,b 3a 49,可得 q 3,则 bn3 n1 ;(2)a nbn(2n+1)3 n1 ,可得前 n 项和 Tn33 0+531+(2n+1)3 n1 ,3Tn33+53 2+(2n+1)3 n,两式相减可得2T n3+2 (3 1+32+3n1 )(2n+1)3 n3+2 (2n+1)3 n,化简可得 Tnn3 n【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列的递推式和等比数列的通项公式,考查数列的求和方法:错位相减法,考查化简整理的运算能力,属于中档题18 (12 分)如图,直三棱

    30、柱 ABCA 1B1C1 中,ABACAA 12, ,D,E 分别是 BC,CC 1 的中点(1)证明:平面 ADB1平面 ADE;(2)求三棱锥 DAB 1E 的高【分析】 (1)由已知得: ,RtB 1BDRtDCE,可得B1DDE,ADBC,B 1D平面 ADE,可得平面 ADB1平面 ADE;(2)设三棱锥 DAB 1E 的高为 h,由 ,得:,h1【解答】解:(1)由已知得:所以 RtB 1BDRtDCE所以BB 1D CDE,所以 B1DDE又因为 ABAC ,D 是 BC 的中点,所以 ADBC所以 AD平面 BCC1B1,所以 ADB 1D而 ADDE D ,所以 B1D平面

    31、ADE又 B1D平面 ADB1,所以平面 ADB1平面 ADE;(2)设三棱锥 DAB 1E 的高为 h,因为,所以 ,由 ,得: ,所以 ,所以 ,由 ,得: ,所以 h1【点评】本题考查了空间线面位置关系,等体积法球高,属于中档题19 (12 分)某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在50,100 内,发布成绩使用等级制,各等级划分标准见下表百分制 85 分及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下等级 A B C D规定:A,B ,C 三级为合格等级,D 为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况,从中抽取

    32、了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50,60)60,70) ,70,80) ,80 ,90)90,00的分组作出频率分布直方图如图1 所示,样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示(1)求 n 和频率分布直方图中的 x,y 的值,并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率;(2)根据频率分布直方图,求成绩的中位数(精确到 0.1) ;(3)在选取的样本中,从 A,D 两个等级的学生中随机抽取 2 名学生进行调研,求至少有一名学生是 A 等级的概率【分析】 (1)由题意求出样本容量,再计算 x、y 的值,用频率估计概率值;(2)根据频率分布直方图,计算成绩的中位数即

    33、可;(3)由茎叶图中的数据,利用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值【解答】解:(1)由题意知,样本容量 n 50,x 0.004,y 0.018;因为成绩是合格等级人数为:(10.1)5045 人,抽取的 50 人中成绩是合格等级的概率为 P ,即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为 ;(2)根据频率分布直方图,计算成绩的中位数为 70+ 1073.9;(3)由茎叶图知,A 等级的学生有 3 人,D 等级的学生有 0.1505 人,记 A 等级的学生为 A、B 、C,D 等级的学生为 d、e、f 、g、h,从这 8 人中随机抽取 2 人,基本事件是:AB、AC、Ad 、Ae 、Af、

    34、Ag 、Ah、BC 、Bd、Be 、Bf 、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf 、Cg 、Ch、de、df 、dg、dh、ef 、eg、eh、fg、fh 、gh 共 28 个;至少有一名是 A 等级的基本事件是:概率AB、AC、Ad 、Ae 、Af、Ag 、Ah、BC 、Bd、Be 、Bf 、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf 、Cg 、Ch 共 18 个;故所求的概率为 P 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了列举法求古典概型的概率问题,是基础题20 (12 分)已知椭圆 C: 的离心率为 ,右焦点 F2 到直线l1:3x +4y0 的距离为 ()求椭圆 C 的方程;()过椭圆右焦点 F

    35、2 斜率为 k(k 0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 E、F 两点,A 为椭圆的右顶点,直线 AE,AF 分别交直线 x3 于点 M,N ,线段 MN 的中点为 P,记直线PF2 的斜率为 k,求证:k k为定值【分析】 ()由椭圆的离心率等于 ,结合右焦点 F2 到直线 l1:3x+4y0 的距离为联立方程组求解 a,c 的值,进一步求得 b 的值,则椭圆 C 的方程可求;()设过点 F2(1,0)的直线 l 方程为:yk(x1) ,和椭圆方程联立后利用根与系数关系求得 E,F 两点的横坐标的和与积,写出 AE 和 AF 的方程,取 x3 求得点 M和点 P 的坐标,由两点求斜率公式求得直

    36、线 PF2 的斜率为 k,代入 kk整理为定值【解答】 ()解:由题意得 , ,c1,a2,所求椭圆方程为 ;()设过点 F2(1,0)的直线 l 方程为:yk(x1) ,再设点 E(x 1, y1) ,点 F(x 2,y 2) ,将直线 l 方程 yk(x1)代入椭圆 ,整理得:(4k 2+3)x 28k 2x+4k2120点 P 在椭圆内,直线 l 和椭圆都相交, 0 恒成立,且 ,直线 AE 的方程为: ,直线 AF 的方程为: 令 x3,得点 , ,点 P 的坐标 ,直线 PF2 的斜率为 ,将 代入上式,得:kk为定值 【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系的应用,

    37、直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系求解,这是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考生具备较强的运算推理的能力,是高考试卷中的压轴题21 (12 分)设函数 f(x ) alnxa R(1)求函数 yf(x)的单调区间和极值(2)若函数 f(x )在区间(1,e 2内恰有两个零点,求 a 的取值范围【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间和极值即可;(2)通过讨论 a 的范围,若满足 f(x )在区间(1,e 2内恰有两个零点,需满足,解出即可【解答】解:(1)由 f(x ) alnx,得 f(x )x (x0) ,当 a 0

    38、时, f(x )0,函数 f(x)在(0,+)上单调递增,函数无极大值,也无极小值;当 a 0 时,由 f(x ) 0,得 x 或 x (舍去) 于是,当 x 变化时,f(x)与 f(x )的变化情况如下表:x (0, ) ( ,+ )f(x) 0 +f(x) 递减 递增所以函数 f(x)的单调递减区间是(0, ) ,单调递增区间是( ,+) 函数 f(x)在 x 处取得极小值 f( ) ,无极大值综上可知,当 a0 时,函数 f(x )的单调递增区间为(0,+) ,函数既无极大值也无极小值;当 a0 时,函数 f(x )的单调递减区间是(0, ) ,单调递增区间为( ,+) ,函数 f(x)

    39、有极小值 ,无极大值(2)当 a0 时,由(1)知函数 f(x )在区间(0,+)上单调递增,故函数 f(x)在区间( 1,e 2上至多有一个零点,不合题意当 a0 时,由(1)知,当 x(0, )时,函数 f(x)单调递减;当 x( ,+)时,函数 f(x)单调递增,所以函数 f(x)在( 0,+)上的最小值为 f( ) 若函数 f(x)在区间( 1,e 2内恰有两个零点,则需满足 ,即 整理得 ,所以 ea 故所求 a 的取值范围为(e, 【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道中档题选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)在直角坐

    40、标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) 在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 2 sin(1)求圆 C 的直角坐标方程;(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(1, ) ,求| PA|+|PB|的值【分析】 (1)圆 C 的方程 l 转化为 ,由此能求出圆 C 的直角坐标方程(2)将直线 l 的参数方程为 代入 5,得 ,由此能求出|PA|+|PB|【解答】解:(1)圆 C 的方程为 2 sin,即 ,圆 C 的直角坐标方程为 x2+y22 y,即 x2+(y ) 25(

    41、2)将直线 l 的参数方程为 (t 为参数)代入 5,得:(1+ t) 2+( t) 25,即 ,2+160,设 t1,t 2 是上述方程的根,则 t1+t2 ,t 1t24,点 P 的坐标为(1, ) ,|PA|+|PB|t 1t 2| 3 【点评】本题考查圆的直角坐标方程的求法,考查两线段和的求法,考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,是中档题选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|x 1|+|x+1|+2(1)求不等式 f(x )6 的解集;(2)若关于 x 的不等式 f(x)a 2a2 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围【分析】 (1)由题

    42、意不等式 f(x )6 可化为 或 或 ,求出不等式 f(x )6 的解集即可;(2)求出函数 f(x )的最小值,把不等式 f(x)a 2a2 在 R 上恒成立,化为a2a24,求出解集即可【解答】解:(1)函数 f(x)|x1|+| x+1|+2 ,不等式 f(x) 6 可化为:或 或 ,解得 x2 或 x2,不等式 f(x) 6 的解集为 x|x2 或 x2;(2)f(x) |x1|+|x+1|+2| (x1)(x+1)|+24,若关于 x 的不等式 f(x)a 2a2 在 R 上恒成立,则 a2a24,即 a2a60,解得2a3,实数 a 的取值范围是2a3【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题,也考查了不等式恒成立问题,是中档题


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