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    2019年5月湖北省武汉市高考数学模拟试卷(理科)含答案解析

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    2019年5月湖北省武汉市高考数学模拟试卷(理科)含答案解析

    1、2019 年湖北省武汉市高考数学模拟试卷(理科) (5 月份)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 A1, 2,3,4 ,Bx|(x +1) (x3)0,则 AB( )A1 ,2 B2 ,4 C1 ,2,4 D2 (5 分)已知 F1(3,0) ,F 2(3,0) ,若点 P(x ,y )满足|PF 1| PF2|6,则 P 点的轨迹为( )A椭圆 B双曲线C双曲线的一支 D一条射线3 (5 分)在复平面内,给出以下说法:实轴上的点表示的数均为实数;虚轴上的点表示的数均为纯虚数;共扼复数的实部相等

    2、,虚部互为相反数其中说法正确的个数为( )A0 B1 C2 D34 (5 分)已知 a0.2 4,b0.3 2,c0.4 3,则( )Abac Bacb Ccab Dabc5 (5 分)已知 m,n 是两条不同直线, , 是三个不同平面,下列命题中正确的是( )A若 ,则 B若 m,n,则 mnC若 m , n,则 m n D若 m,m ,则 6 (5 分)某变量 X 的总体密度曲线为 y sin (0x2) ,变量 T 的总体密度曲线为 y |cos |(0x2 ) ,在同一直角坐标系中作两曲线如图所示,图中两阴影区域分别记作、,在矩形 OABC 区域内任取点 P,点 P 落在区域 I 或区

    3、域的概率为( )A B C D7 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输人 n 的值为 4,则输出 S 的值为( )A34 B98 C258 D6428 (5 分)某班星期二上午有五节课,下午有三节课,安排的课程有语文,数学,英语,物理,化学,生物,体育,其中数学是上午或下午连续的两节课,其余课程各一节,现将体育课安排在下午的第三节,则不同的安排方案有( )A120 B480 C600 D7209 (5 分)函数 f(x )A sin(x) ,其部分图象如图所示,则 f(x)的表达式是( )A BC D10 (5 分)已知(2 ) n(n2,n N) ,展开式中 x 的系数为 f(n) ,则+

    4、 + + 等于( )A B C D11 (5 分)已知点 P(x ,y )是约束条件 ,表示的平面区域内任意一点,如果点 P(x,y)落在不等式 xy+a0 所表示的平面区域的概率不小于 ,则实数 a的取值范围为( )A (,1 B (,1 C1 ,+) D 1,+)12 (5 分)设函数 f(x ) ,则 y2f(f (x ) )f (x)的取值范围为( )A (,0 B0 , C ,+) D (, 0 ,+)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13 (5 分)已知向量 (l,2) , (2,1) , (1,n) ,若(2 3 ) ,则n 14 (5 分)已知抛物线

    5、C:y 24 x 的焦点是双曲线 E:x 2y 2a 2 右焦点,则双曲线 E的标准方程为 15 (5 分)等差数列a n中,首项 a11,末项 an31,若公差 d 为正整数,则项数 n 的不同取值有 种16 (5 分)已知点 P 为半径等于 2 的球 O 球面上一点,过 OP 的中点 E 作垂直于 OP 的平面截球 O 的截面圆为圆 E,圆 E 的内接ABC 中,ABC90,点 B 在 AC 上的射影为 D,则三棱锥 PABD 体积的最大值为 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 一 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题考生根

    6、据要求作答 (一)必考题:共 60 分17 (12 分)如图,在ABC 中,BC 4,AC 5,AB 6,D 在边 AB 上,CD 为ABC的角平分线(1)求 CD 的长;(2)求ACD 的面积18 (12 分)如图 l,直角梯形 ABCD 中,ABCD,ABAD,AB2AD 2DC6 ;如图 2,将图 l 中DAC 沿 AC 折起,使得点 D 在面 ABC 上的正投影 G 在ABC 内部,点 E 为 AB 的中点,连接 DB,DE,三棱锥 D 一 ABC 的体积为 12 对于图 2 的几何体:(l)求证:DEAC;(2)求 DB 与面 DAC 所成角的余弦值19 (12 分)如图,O 为坐标

    7、原点,椭圆 C: + 1(ab0)的焦距等于其长半轴长,M , N 为椭圆 C 的上、下顶点,且| MN|2(1)求椭圆 C 的方程;(2)过点 P(0,l)作直线 l 交椭圆 C 于异于 M,N 的 A,B 两点,直线 AM,BN 交于点 T求证:点 T 的纵坐标为定值 320 (12 分)某市房管局为了了解该市市民 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间购买二手房情况,首先随机抽样其中 200 名购房者,并对其购房面积 m(单位:平方米,60m130)进行了一次调查统计,制成了如图 1 所示的频率分布直方图,接着调查了该市 2018 年 1 月至 2019 年 l 月期间当月在售

    8、二手房均价 y(单位:万元/平方米) ,制成了如图 2 所示的散点图(图中月份代码 113 分别对应 2018 年 1 月至 2019 年 1 月)(l)试估计该市市民的平均购房面积 ;(2)从该市 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间所有购买二手房的市民中任取 3 人,用频率估计概率,记这 3 人购房面积不低于 100 平方米的人数为 X,求 X 的分布列与数学期望;(3)根据散点图选择 和 两个模型进行拟合,经过数据处理得到两个回归方程,分别为 0.9369+0.0285 和 0.9554+0.0306lnx,并得到一些统计量的值,如表所示:0.9369+0.0285 0.95

    9、54+0.03061 lnx(y i ) 20.000591 0.000164(y i ) 20.006050请利用相关指数矿判断哪个模型的拟合效果更好,并用拟合效果更好的模型预测 2019年 6 月份的二手房购房均价(精确到 0.001) 参考数据:ln20.69,ln31.10,ln72.83,ln192.94, 1.41, 1.73, 4.12,4.36参考公式:R 21 21 (12 分) (1)求证:x0 时,cosx1 x2 恒成立;(2)当 a1 时,x 0,+ ) ,证明不等式 xeax+xcosx+1(1+sinx) 2 恒成立(二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23

    10、 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修 4 一 4:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为8sin +6cos(1)求 C2 的直角坐标方程;(2)已知 P(1,3) ,C 1 与 C2 的交点为 A,B,求|PA |PB|的值选修 4 一 5:不等式选讲23设函数 f(x )|2x +a|+|x1|3(1)当 a4 时,求不等式,f(x )6 的解集;(2)若关于 x 的不等式 f(x)2 恒成立,求实数 a 的取值范围2019 年湖

    11、北省武汉市高考数学模拟试卷(理科) (5 月份)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 A1, 2,3,4 ,Bx|(x +1) (x3)0,则 AB( )A1 ,2 B2 ,4 C1 ,2,4 D【分析】先求出集合 A 和 B,由此能求出 AB【解答】解:集合 A1, 2,3,4 ,B x|(x+1) ( x3)0x|1x3,AB1,2故选:A【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2 (5 分)已知 F1(3,0) ,F 2(3

    12、,0) ,若点 P(x ,y )满足|PF 1| PF2|6,则 P 点的轨迹为( )A椭圆 B双曲线C双曲线的一支 D一条射线【分析】利用已知条件,结合双曲线定义,判断选项即可【解答】解:F 1(3,0) ,F 2(3,0) ,动点 P 满足| PF1| PF2|6,因为|F 1F2|6,则点 P 的轨迹是一条射线故选:D【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线定义的应用,是基础题3 (5 分)在复平面内,给出以下说法:实轴上的点表示的数均为实数;虚轴上的点表示的数均为纯虚数;共扼复数的实部相等,虚部互为相反数其中说法正确的个数为( )A0 B1 C2 D3【分析】由复平面的概念和实轴、虚

    13、轴,以及共轭复数的概念,即可判断【解答】解:在复平面内,由于 x 轴为实轴,实轴上的点表示的数均为实数,故正确;y 轴为虚轴,除原点外,虚轴上的点表示的数均为纯虚数,故不正确;,共扼复数的实部相等,虚部互为相反数,故 正确故选:C【点评】本题考查复平面的概念,以及实轴、虚轴上的点表示的数,共轭复数的概念,考查判断能力,属于基础题4 (5 分)已知 a0.2 4,b0.3 2,c0.4 3,则( )Abac Bacb Ccab Dabc【分析】利用幂的意义,求出各个式子的具体值,可得结论【解答】解:a0.2 40.04 20.0016,b0.3 20.09,c0.4 30.064,bca,故选:

    14、B【点评】本题主要考查幂的意义,求出各个式子的具体值,可得结论,属于基础题5 (5 分)已知 m,n 是两条不同直线, , 是三个不同平面,下列命题中正确的是( )A若 ,则 B若 m,n,则 mnC若 m , n,则 m n D若 m,m ,则 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解:若 ,则 与 相交或平行,故 A 错误;若 m,n,则由直线与平面垂直的性质得 mn,故 B 正确;若 m,n,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 C 错误;若 m,m,则 与 相交或平行,故 D 错误故选:B【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养6 (

    15、5 分)某变量 X 的总体密度曲线为 y sin (0x2) ,变量 T 的总体密度曲线为 y |cos |(0x2 ) ,在同一直角坐标系中作两曲线如图所示,图中两阴影区域分别记作、,在矩形 OABC 区域内任取点 P,点 P 落在区域 I 或区域的概率为( )A B C D【分析】利用定积分分别求出区域、的面积,再求出矩形面积,由测度比是面积比得答案【解答】解:区域的面积 S1 ;区域的面积 S2 区域 I 或区域的面积和为 矩形 OABC 区域的面积 S 点 P 落在区域 I 或区域的概率为 P 故选:B【点评】本题考查定积分与几何概型概率的求法,考查计算能力,是中档题7 (5 分)执行

    16、如图所示的程序框图,若输人 n 的值为 4,则输出 S 的值为( )A34 B98 C258 D642【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解:若 n4,i1, S122,i 4,是,i2,S2+2 222+810,i 4,是,i3,S10+3 2334,i4,是,i4,S34+4 2498,i4,是i5,S98+5 25258,i4,否,输出 S258,故选:C【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,利用模拟运算法是解决本题的关键8 (5 分)某班星期二上午有五节课,下午有三节课,安排的课程有语文,数学,英语,物理,化学,生物,体育,其中数学是上午或下午连续的两节课,其余课程各一节,

    17、现将体育课安排在下午的第三节,则不同的安排方案有( )A120 B480 C600 D720【分析】根据元素优先法先排数学,其余学科全排列即可【解答】解:若数学安排下午,只能安排,6,7 节,其余 5 节课全排列有 A 120,若数学安排上午,可以是 12,23,34,45,共 4 种,其余 5 节课全排列有4A 4120480,共有 120+480600 种,故选:C【点评】本题主要考查排列的简单计数问题,根据元素优先法先满足数学是解决本题的关键9 (5 分)函数 f(x )A sin(x) ,其部分图象如图所示,则 f(x)的表达式是( )A BC D【分析】由三角函数图象的性质及三角函数

    18、图象的作法得: ,即 ,由“五点作图法 ”得:2 ,所以 ,又 f(0)1,所以 A ,即可得解【解答】解:由图可知,x( ) 时,函数图象为 y 轴左边第一个最低点,即 ,所以 T,所以 ,由“五点作图法”得:2 ,所以 ,又 f(0)1,所以 A ,即 f(x) sin(2x ) ,故选:B【点评】本题考查了三角函数图象的性质及三角函数图象的作法,属中档题10 (5 分)已知(2 ) n(n2,n N) ,展开式中 x 的系数为 f(n) ,则+ + + 等于( )A B C D【分析】利用二项式展开式的通项公式求得 f(n)的解析式,再化简要求的式子,用裂项法求和得出结果【解答】解:(2

    19、 ) n(n2,n N) ,展开式中 x 的系数为 f(n) 2n2 ,则+ + + + + + 2+ +2+ + + 2+ + +2+4( + + )2+4( ) ,故选:B【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,用裂项法进行求和,属于中档题11 (5 分)已知点 P(x ,y )是约束条件 ,表示的平面区域内任意一点,如果点 P(x,y)落在不等式 xy+a0 所表示的平面区域的概率不小于 ,则实数 a的取值范围为( )A (,1 B (,1 C1 ,+) D 1,+)【分析】画出图象求出其对应的面积,即所有基本事件总数对应的几何量,再求出区域内三角

    20、形部分的面积,利用特殊值法,转化代入几何概型计算公式,即可得到结果【解答】解:满足约束条件 ,区域为ABO 内部(含边界) ,与不等式 xy+a0 的公共部分如图中多边形部分所示根据方程可得:A(0,2) ,B(2,0) ,C (6,6) ,|OA|2,|OB |2,C 到 AB 的距离为: 5 SACB 10,当 a1 时,D ( , ) ,E(3,4) ,SADE ,此时 点 P(x ,y)落在不等式 xy+a0 所表示的平面区域的概率不小于 ,可得 a1故选:C【点评】本题考查的知识点是几何概型,二元一次不等式(组)与平面区域,求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A ) ,

    21、再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据概率公式求解12 (5 分)设函数 f(x ) ,则 y2f(f (x ) )f (x)的取值范围为( )A (,0 B0 , C ,+) D (, 0 ,+)【分析】作出 yf(x)的图象,可得 f(x )的最小值为 ,设 tf (x) ,t ,即有y2f(t)t,讨论 t 的范围,结合额图象和单调性可得所求范围【解答】解:作出 yf(x)的图象,可得 f(x )的最小值为 ,设 tf(x) ,t ,即有 y2f(t)t,当 t1 时,y 2 t0;当 t1 时,y 22 t t 在 ,1递减,可得 y0, 综上可得函数 y 的范围是0 , 故

    22、选:B【点评】本题考查分段函数的图象和性质,考查换元法和分类讨论思想,化简运算能力,属于中档题二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13 (5 分)已知向量 (l,2) , (2,1) , (1,n) ,若(2 3 ) ,则n 4 【分析】可求出 ,根据 即可得出 ,进行数量积的坐标运算即可求出 n【解答】解: ; ; ;n4故答案为:4【点评】考查向量垂直的充要条件,以及向量数量积、减法和数乘的坐标运算14 (5 分)已知抛物线 C:y 24 x 的焦点是双曲线 E:x 2y 2a 2 右焦点,则双曲线 E的标准方程为 x 2y 21 【分析】由题意可得,双曲线的一个焦

    23、点为( ,0) ,再根据离心率为,求得 a 的值,从而可得 b2 的值,从而得到双曲线 E 的标准方程【解答】解:抛物线 C:y 24 x,此抛物线的焦点 F( ,0)故双曲线的一个焦点为( ,0) 故对于双曲线,c2, 可得:a1故要求的双曲线 E 的标准方程:x 2y 21故答案为:x 2y 21【点评】本题主要考查抛物线、双曲线的定义、性质和标准方程,属于中档题15 (5 分)等差数列a n中,首项 a11,末项 an31,若公差 d 为正整数,则项数 n 的不同取值有 7 种【分析】根据题意,由等差数列的通项公式可得 ana 1(n1)d30,变形可得d ,结合 d 为正整数,分析可得

    24、答案【解答】解:等差数列a n中,首项 a11,末项 an31 且公差 d 为整数,则 ana 1(n1)d30,变形可得 d ,又由 n3,则 n3 时,d2,当 n4 时,d10,当 n6 时,d6,当 n7 时,d5,当 n11 时,d3,当 n16 时,d2,当 n31 时,d1;则项数 n 的不同取值有 7 种;故答案为:7【点评】本题考查等差数列的定义以及通项公式,属于基础题16 (5 分)已知点 P 为半径等于 2 的球 O 球面上一点,过 OP 的中点 E 作垂直于 OP 的平面截球 O 的截面圆为圆 E,圆 E 的内接ABC 中,ABC90,点 B 在 AC 上的射影为 D,

    25、则三棱锥 PABD 体积的最大值为 【分析】由题意画出图形,求出三棱锥的高,利用导数求出底面三角形 ABD 的最大值,则三棱锥 PABD 体积的最大值可求【解答】解:如图,点 P 为半径等于 2 的球 O 球面上一点,过 OP 的中点 E 作垂直于 OP 的平面截球 O 的截面圆为圆 E,圆 E 的内接ABC 中,ABC90,点 B 在 AC 上的射影为 D,由题意,PEOE 1,AECE ,PA PBPC2,ABC 90,过 B 作 BDAC 于 D,设 ADx ,则 CD2 x ,再设 BDy,由BDCADB,可得 ,y ,则 ,令 f(x)x 4+2 ,则 ,由 f(x)0 ,可得 x

    26、,当 x 时,f(x) max ,ABD 面积的最大值为 ,则三棱锥 PABD 体积的最大值是 故答案为: 【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 一 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分17 (12 分)如图,在ABC 中,BC 4,AC 5,AB 6,D 在边 AB 上,CD 为ABC的角平分线(1)求 CD 的长;(2)求ACD 的面积【分析】 (1)在ABC 中,

    27、由余弦定理可求 cosACB 的值,利用同角三角函数基本关系式可求 sinACB 的值,由角平分线的性质及二倍角的余弦函数公式可求 sinACD,根据三角形的面积公式即可求得 CD 的值(2)由(1)利用三角形的面积公式可求 SACD 的值【解答】 (本题满分为 12 分)解:(1)在ABC 中,BC4,AC 5,AB6,由余弦定理可得:cosACB ,sinACB ,CD 为ABC 的角平分线,ACDBCD,12sin 2ACDcosACB ,sinACD ,S ABC S ACD +SBCD ,即: +,解得 CD 6 分(2)由(1)可得:S ACD 12分【点评】本题主要考查了余弦定理

    28、,同角三角函数基本关系式,角平分线的性质及二倍角的余弦函数公式,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题18 (12 分)如图 l,直角梯形 ABCD 中,ABCD,ABAD,AB2AD 2DC6 ;如图 2,将图 l 中DAC 沿 AC 折起,使得点 D 在面 ABC 上的正投影 G 在ABC 内部,点 E 为 AB 的中点,连接 DB,DE,三棱锥 D 一 ABC 的体积为 12 对于图 2 的几何体:(l)求证:DEAC;(2)求 DB 与面 DAC 所成角的余弦值【分析】 (1)在图 1 中作 AB 的中点 E,在图 1、图 2 中,取 AC 的中点

    29、 F,连结DF、CE、EF,则 DAC,EAC 均为等腰直角三角形,推导出 AC面 DEF,由此能证明 DEAC(2)推导出 DGAG,DG GC,EG 垂直平分 AC,E, F,G 共线,以 G 为原点,过G 为 z 轴,GM、GE、GD 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出 DB 与面 DAC 所成角的余弦值【解答】证明:(1)在直角梯形 ABCD 中,ABCD,ABCD,AB2AD 2DC 6,在图 1 中作 AB 的中点 E,在图 1、图 2 中,取 AC 的中点 F,连结 DF、CE、EF ,则DAC,EAC 均为等腰直角三角形,ACDF,ACEF ,

    30、又 DFEF F,AC面 DEF,又 DE面 DEF,DEAC解:(2)DG面 ABC, DGAG ,DGGC,DADC,GAGC,G 在 AC 的中垂线上,EG 垂直平分 AC,又 F 为 AC 中点,E,F ,G 共线,AB2AD 2DC 6 , ABC 是等腰直角三角形, 18, 12 ,解得 DG2 ,在等腰直角DAC 和等腰直角EAC 中,EFDF 3,在 Rt DGF 中,GF 1,以 G 为原点,过 G 为 z 轴,GM、GE 、GD 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(3,1,0) ,B(3,5,0) ,C (3,1,0) ,D(0,0,2 ) ,则 (

    31、3,5,2 ) , (3,1,2 ) , (3,1,2 ) ,设面 DAC 的法向量 (x,y,z) ,则 ,令 z1,则 (0,2 ,1) ,cos ,DB 与面 DAC 所成角的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明,考查线面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题19 (12 分)如图,O 为坐标原点,椭圆 C: + 1(ab0)的焦距等于其长半轴长,M , N 为椭圆 C 的上、下顶点,且| MN|2(1)求椭圆 C 的方程;(2)过点 P(0,l)作直线 l 交椭圆 C 于异于 M,N 的 A,B 两点,直线 AM,BN 交于点

    32、 T求证:点 T 的纵坐标为定值 3【分析】 (1)建立方程求出 ab,c 的值即可;(2)通过联立方程组,建立 AM、BN 的方程,再次联立 AM、BN 的方程求出交点 T 的纵坐标【解答】解:(1)由题意可知: ,又 a2b 2+c2,有 ,故椭圆 C 的方程为: (2)由题意知直线 l 的斜率存在,设其方程为 ykx+1 ,设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) (x 10,x 20) ,得(4k 2+3)x 2+8kx80,且有 x1+x2kx 1x2, ,故 故点 T 的纵坐标为 3【点评】本题主要考查椭圆的性质与方程,直线与圆的位置关系,属于中档题目20 (12 分)某市

    33、房管局为了了解该市市民 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间购买二手房情况,首先随机抽样其中 200 名购房者,并对其购房面积 m(单位:平方米,60m130)进行了一次调查统计,制成了如图 1 所示的频率分布直方图,接着调查了该市 2018 年 1 月至 2019 年 l 月期间当月在售二手房均价 y(单位:万元/平方米) ,制成了如图 2 所示的散点图(图中月份代码 113 分别对应 2018 年 1 月至 2019 年 1 月)(l)试估计该市市民的平均购房面积 ;(2)从该市 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间所有购买二手房的市民中任取 3 人,用频率估计概率

    34、,记这 3 人购房面积不低于 100 平方米的人数为 X,求 X 的分布列与数学期望;(3)根据散点图选择 和 两个模型进行拟合,经过数据处理得到两个回归方程,分别为 0.9369+0.0285 和 0.9554+0.0306lnx,并得到一些统计量的值,如表所示:0.9369+0.0285 0.9554+0.03061 lnx(y i ) 20.000591 0.000164(y i ) 20.006050请利用相关指数矿判断哪个模型的拟合效果更好,并用拟合效果更好的模型预测 2019年 6 月份的二手房购房均价(精确到 0.001) 参考数据:ln20.69,ln31.10,ln72.83

    35、,ln192.94, 1.41, 1.73, 4.12,4.36参考公式:R 21 【分析】 (1)由频率分布直方图能估计该市市民的平均购房面积 (2)每一位市民购房面积不低于 100 平方米的概率为0.20+0.15+0.050.4,XB ( 3,0.4) ,由此能求出 X 的分布列与数学期望(3)设模型 0.9369+0.0285 和 0.9554+0.0306lnx 的相关指数分别为 ,求出 ,从而模型 0.9554+0.0306lnx 的拟合效果更好,由此能求出结果【解答】解:(1)650.05+750.1+85 0.2+950.25+1050.2+1150.15+1250.0596(

    36、2)每一位市民购房面积不低于 100 平方米的概率为 0.20+0.15+0.050.4,XB(3,0.4) ,P(Xk) , (k 0,1,2,3) ,P(X0)0.6 30.216,P(X1) 0.432,P(X2) 0.288,P(X3)0.4 30.064,X 的分布列为:X 0 1 2 3P 0.216 0.432 0.288 0.064E(X)30.41.2(3)设模型 0.9369+0.0285 和 0.9554+0.0306lnx 的相关指数分别为 ,则 1 , , ,模型 0.9554+0.0306lnx 的拟合效果更好,2019 年 6 月份对应的 x18, 0.9554+

    37、0.0306ln180.9554+0.0306(ln 2+2ln3)1.044 万元/平方米【点评】本题考查平均数的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查频率分布直方图、二项分布等基础知识,考查运算求解能力,是中档题21 (12 分) (1)求证:x0 时,cosx1 x2 恒成立;(2)当 a1 时,x 0,+ ) ,证明不等式 xeax+xcosx+1(1+sinx) 2 恒成立【分析】 (1)令 f(x )cosx 1+ x2,x0,+) ,f(0)0利用导数研究其单调性即可证明(2)由(1)可得:cosx1 x2,xsin x,在 x0,+ )上恒成立又当 a1 时,x

    38、0,+) ,xe axxe x因此当 a1 时,x 0,+ ) ,证明不等式xeax+xcosx+1 (1+sin x) 2 恒成立xe x+x(1 x2)+1(1+x) 2,x0 ,+ ) ,ex( x2+x+1)0,x 0,+ ) ,令 g(x )e x( x2+x+1) ,x0,+) ,g(0)0利用导数研究其单调性即可证明【解答】证明:(1)令 f(x)cos x1+ x2,x0,+) ,f(0)0f(x)sinx +x,令 u(x)xsinx,x 0,+) ,u(0)0则 u(x)1cos x0,函数 u(x)在 x0,+)上单调递增,u(x )u( 0)0函数 f(x)在 x0,+

    39、)上单调递增,f(x )f( 0)0因此 x0 时,cos x1 x2 恒成立(2)由(1)可得:cosx1 x2,xsin x,在 x0,+ )上恒成立又当 a1 时,x 0,+ ) ,xe axxe x当 a1 时,x 0,+ ) ,证明不等式 xeax+xcosx+1(1+sinx) 2 恒成立xex+x(1 x2)+1(1+x) 2,x0 ,+) ,ex( x2+x+1)0,x 0,+ ) ,令 g(x)e x( x2+x+1) ,x0,+ ) ,g(0)0g(x)e xx 1,x 0, +) 令 h(x)e xx 1,x 0, +) ,h(0)0h(x)e x10,只有当 x0 时取

    40、等号,g(x)0,在 x0,+)上恒成立g(x)0 在 x0,+)上恒成立当 a1 时,x 0,+ ) ,证明不等式 xeax+xcosx+1(1+sinx) 2 恒成立【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题(二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修 4 一 4:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方

    41、程为8sin +6cos(1)求 C2 的直角坐标方程;(2)已知 P(1,3) ,C 1 与 C2 的交点为 A,B,求|PA |PB|的值【分析】 (1)把已知方程两边同时乘以 ,结合 2x 2+y2,x cos,ysin 即可得到曲线 C 的直角坐标方程;(2)把直线的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,化为关于 t 的一元二次方程,利用根与系数的关系求解【解答】解:(1)由 8sin +6cos,得 28 sin+6cos,x 2+y26x8y0,即(x3) 2+(y4) 225;(2)把 代入(x3) 2+(y4) 225,得 t 1t220则|PA| |PB|t 1t2|20【点

    42、评】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查直线参数方程中参数 t 几何意义的应用,是中档题选修 4 一 5:不等式选讲23设函数 f(x )|2x +a|+|x1|3(1)当 a4 时,求不等式,f(x )6 的解集;(2)若关于 x 的不等式 f(x)2 恒成立,求实数 a 的取值范围【分析】 (1)由绝对值不等式解法,讨论 x1,x2,2x1,去掉绝对值,解不等式,求并集即可;(2)由绝对值不等式的性质求得 f(x )的最小值,再由恒成立思想,解不等式可得 a的范围【解答】解:(1)当 a4 时,f(x )6 即为|2x+4|+|x 1|9,当 x1 时,2x+4+x19,解得 1x2;当 x2 时,2x 4+1 x9,解得4x2;当2x1 时,2x +4+1x9,解得2x1,综上可得4x2,即有 f(x)6 的解集为 4,2;(2)由 f(x) |2x+a|+|x1|3,|x + |+|x+ |+|x1|30+|(x+ )(x1)| 3|1+ |3, (当且仅当 x 时取得等号) ,关于 x 的不等式 f(x)2 恒成立,可得 2|1+ |3,即为|1+ |5,解得 a8 或 a12,可得 a 的范围是(,128 ,+) 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法,注意运用分类讨论思想和转化思想,考查化简运算能力,属于中档题


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