1、2019 年江苏省扬州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题所给出的四个选项中，一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1 （3 分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）A B C D2 （3 分）下列各数中，小于2 的数是（ ）A B C D13 （3 分）分式 可变形为（ ）A B C D4 （3 分）一组数据 3、2、4、5、2，则这组数据的众数是（ ）A2 B3 C3.2 D45 （3 分）如图所示物体的左视图是（ ）A BC D6 （3 分）若点 P
2、 在一次函数 yx +4 的图象上，则点 P 一定不在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限7 （3 分）已知 n 是正整数，若一个三角形的 3 边长分别是 n+2、n+8、3n，则满足条件的n 的值有（ ）A4 个 B5 个 C6 个 D7 个8 （3 分）若反比例函数 y 的图象上有两个不同的点关于 y 轴的对称点都在一次函数第 2 页（共 31 页）yx+m 的图象上，则 m 的取值范围是（ ）Am2 Bm2Cm2 或 m2 D2 m2二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.不需写出解答过程请把答案直接填写在答
3、题卡相应位置上）9 （3 分）2019 年 5 月首届大运河文化旅游博览会在扬州成功举办，京杭大运河全长约1790000 米，数据 1790000 米用科学记数法表示为 10 （3 分）分解因式：a 3b9ab 11 （3 分）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质鼠抽检的结果如下：抽取的毛绒玩具数 n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000优等品的频数 m 19 17 91 184 462 921 1379 1846优等品的频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919
4、0.923从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 （精确到0.01）12 （3 分）一元二次方程 x（x2）x 2 的根是 13 （3 分）计算：（ 2） 2018（ +2） 2019 的结果是 14 （3 分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若ABC26，则ACD 15 （3 分）如图，AC 是O 的内接正六边形的一边，点 B 在 上，且 BC 是O 的内接正十边形的一边，若 AB 是 O 的内接正 n 边形的一边，则 n 16
5、 （3 分）如图，已知点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，以 BE 为边向正方形 ABCD 外部第 3 页（共 31 页）作正方形 BEFG，连接 DF，M、N 分别是 DC、DF 的中点，连接 MN若AB7，BE5，则 MN 17 （3 分）如图，将四边形 ABCD 绕顶点 A 顺时针旋转 45至四边形 ABCD的位置，若 AB16 cm，则图中阴影部分的面积为 18 （3 分）如图，在ABC 中，AB5，AC 4，若进行以下操作，在边 BC 上从左到右依次取点 D1、D 2、D 3、D 4、；过点 D1 作 AB、
6、AC 的平行线分别交 AC、AB 于点E1、F 1；过点 D1 作 AB、 AC 的平行线分别交 AC、AB 于点 E2、F 2；过点 D3 作 AB、AC的平行线分别交 AC、AB 于点 E3、F 3，则 4（D 1E1+D2E2+D2019E2019）+5（D 1F1+D2F2+D2019F2019） 三、解答题（本大题共 10 小题，共 96 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19 （8 分）计算或化简：（1） （3） 04cos45；（2） + 20 （8 分）解不等式组 ，并写出它的所有负整数解第 4 页（共 3
7、1 页）21 （8 分）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图每天课外阅读时间 t/h 频数 频率0t0.5 240.5t1 36 0.31t1.5 0.41.5t2 12 b合计 a 1根据以上信息，回答下列问题：（1）表中 a ，b ；（2）请补全频数分布直力图；（3）若该校有学生 1200 人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过 1 小时的人数22 （8 分）只有 1 和它本身两个因
8、数且大于 1 的正整数叫做素数我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数的和” 如 203+17（1）若从 7、11、19、23 这 4 个素数中随机抽取一个，则抽到的数是 7 的概率是 ；（2）从 7、11、19、23 这 4 个素数中随机抽取 1 个数，再从余下的 3 个数中随机抽取1 个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于 30 的概率23 （10 分） “绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务甲、乙两个工程队每天共整治河道 1500
9、米，且甲整治 3600 米河道用的时间与乙第 5 页（共 31 页）工程队整治 2400 米所用的时间相等求甲工程队每天修多少米？24 （10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分DAB，已知CE6，BE 8 ，DE 10（1）求证：BEC90；（2）求 cosDAE25 （10 分）如图，AB 是 O 的弦，过点 O 作 OCOA，OC 交 AB 于 P，CPBC（1）求证：BC 是O 的切线；（2）已知BAO25，点 Q 是 上的一点求 AQB 的度数；若 OA18，求 的长26 （10 分）如图，平面内的两条直线 l1、l 2，点 A，B 在直线 l1 上，点 C、D 在直线
10、 l2 上，过 A、B 两点分别作直线 l2 的垂线，垂足分別为 A1，B 1，我们把线段 A1B1 叫做线段 AB在直线 l2 上的正投影，其长度可记作 T（AB，AD） 或 T ，特别地线段 AC 在直线l2 上的正投影就是线段 A1C请依据上述定义解决如下问题：（1）如图 1，在锐角ABC 中，AB5，T （AC ，AB） 3，则 T（BC ，AB ） ；（2）如图 2，在 RtABC 中，ACB90，T （AC，AB） 4，T （BC，AB） 9，求ABC 的面积；（3）如图 3，在钝角ABC 中，A60，点 D 在 AB 边上，ACD90，T（AD， AC
11、） 2 ，T （BC，AB） 6，求 T（BC，CD ） ，第 6 页（共 31 页）27 （12 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，AB20，BC10，以 CD 为一边向矩形外部作等腰直角GDC，G90 点 M 在线段 AB 上，且 AMa，点 P 沿折线 ADDG运动，点 Q 沿折线 BCCG 运动（与点 G 不重合） ，在运动过程中始终保持线段PQAB设 PQ 与 AB 之间的距离为 x（1）若 a12如图 1，当点 P 在线段 AD 上时，若四边形 AMQP 的面积为 48，则 x 的值为 ；在运动过程中，求四边形 AMQP 的最大面积；（2）如图 2，若
12、点 P 在线段 DG 上时，要使四边形 AMQP 的面积始终不小于 50，求 a的取值范围28 （12 分）如图，已知等边ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B不重合） 直线 1 是经过点 P 的一条直线，把ABC 沿直线 1 折叠，点 B 的对应点是点B（1）如图 1，当 PB4 时，若点 B恰好在 AC 边上，则 AB的长度为 ；（2）如图 2，当 PB5 时，若直线 1AC，则 BB的长度为 ；（3）如图 3，点 P 在 AB 边上运动过程中，若直线 1 始终垂直于 AC，ACB的面积第 7 页（共 3
13、1 页）是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当 PB6 时，在直线 1 变化过程中，求ACB面积的最大值第 8 页（共 31 页）2019 年江苏省扬州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题所给出的四个选项中，一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1 （3 分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据中心对称图形的概念判断【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中
14、心对称图形，正确故选：D【点评】本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合2 （3 分）下列各数中，小于2 的数是（ ）A B C D1【分析】根据题意，结合实数大小比较的法则，从符号和绝对值两个方面分析可得答案【解答】解：比2 小的数是应该是负数，且绝对值大于 2 的数，分析选项可得， 2 1，只有 A 符合故选：A【点评】本题考查的是有理数大小比较的法则：正数都大于 0； 负数都小于 0； 正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小3 （3 分）分式 可变形为（ ）A B C D【分析】直接利用分式的基本性质分析得
15、出答案【解答】解：分式 可变形为： 第 9 页（共 31 页）故选：D【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确将原式变形是解题关键4 （3 分）一组数据 3、2、4、5、2，则这组数据的众数是（ ）A2 B3 C3.2 D4【分析】根据众数的定义即可求出这组数据的众数【解答】解：在这组数据中 2 出现了 2 次，出现的次数最多，则这组数据的众数是 2；故选：A【点评】此题考查了众数的定义；熟记众数的定义是解决问题的关键5 （3 分）如图所示物体的左视图是（ ）A BC D【分析】根据左视图是矩形，左视图中间有横着的实线进行选择即可【解答】解：左视图为： ，故选：B【点
16、评】本题考查实物体的三视图在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉6 （3 分）若点 P 在一次函数 yx +4 的图象上，则点 P 一定不在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数 yx+4 的图象经过第一、二、四象限，此题得解【解答】解：10，40，第 10 页（共 31 页）一次函数 yx +4 的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限点 P 在一次函数 yx +4 的图象上，点 P 一定不在第三象限故选：C【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系
17、，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答7 （3 分）已知 n 是正整数，若一个三角形的 3 边长分别是 n+2、n+8、3n，则满足条件的n 的值有（ ）A4 个 B5 个 C6 个 D7 个【分析】分两种情况讨论：若 n+2n+83n，若 n+23nn+8，分别依据三角形三边关系进行求解即可【解答】解：若 n+2n+83n，则，解得 ，即 4n10，正整数 n 有 6 个：4，5，6，7，8，9；若 n+23nn+8，则，解得 ，即 2n4，正整数 n 有 2 个：3 和 4；综上所述，满足条件的 n 的值有 7 个，故选：D【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用
18、，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形8 （3 分）若反比例函数 y 的图象上有两个不同的点关于 y 轴的对称点都在一次函数yx +m 的图象上，则 m 的取值范围是（ ）Am2 Bm2Cm2 或 m2 D2 m2第 11 页（共 31 页）【分析】根据反比例函数图形上点的坐标特征得到反比例函数 y 的图象上有两个不同的点关于 y 轴的对称点在反比例函数 y 的图象上，解方程组 得x2mx+20，根据 y 的图象与一次函数 yx +m 的图象有两个不同的交点，得到方程 x2mx+20 有两
19、个不同的实数根，于是得到结论【解答】解：反比例函数 y 的图象上有两个不同的点关于 y 轴的对称点在反比例函数 y 的图象上，解方程组 得 x2mx+20，y 的图象与一次函数 yx +m 有两个不同的交点，方程 x2mx+20 有两个不同的实数根，m 280，m2 或 m2 ，故选：C【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，正确的理解题意是解题的关键二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9 （3 分）2019 年 5 月首届大运河文化旅游博览会在扬州成功举办，京杭大运河
20、全长约1790000 米，数据 1790000 米用科学记数法表示为 1.7910 6 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：数据 1790000 米用科学记数法表示为 1.79106，故答案为：1.7910 6【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值10 （3 分）
21、分解因式：a 3b9ab ab（a+3） （a3） 第 12 页（共 31 页）【分析】首先提取公因式 ab，然后再利用平方差公式继续分解，即可求得答案【解答】解：a 3b9aba（a 29）ab（a+3） （a3） 故答案为：ab（a+3） （a3） 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解注意先提公因式，再利用公式法分解因式，注意分解要彻底11 （3 分）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质鼠抽检的结果如下：抽取的毛绒玩具数 n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000优等品的频数 m 19 17 91 184 462 921 1379 1846优等品的频
22、率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 0.92 （精确到0.01）【分析】由表中数据可判断频率在 0.92 左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率为 0.92【解答】解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92，故答案为 0.92【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是
23、这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确12 （3 分）一元二次方程 x（x2）x 2 的根是 1 或 2 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：x（x 2）x 2，x（x2）（x 2）0，（x2） （x1）0，x20，x10，x12，x 21，故答案为：1 或 2【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是第 13 页（共 31 页）解此题的关键13 （3 分）计算：（ 2） 2018（ +2） 2019 的结果是 +2 【分析】先根据积的乘方得到原式（ 2） （ +2） 2
24、018（ +2） ，然后利用平方差公式计算【解答】解：原式（ 2） （ +2） 2018（ +2） 2019（54） 2018（ +2） +2，故答案为 +2【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍14 （3 分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若ABC26，则ACD 128 【分析】直接利用翻折变换的性质以及平行线的性质分析得出答案【解答】解：延长 DC，由题意可得：ABCBCEBCA26，则ACD1802626128故
25、答案为：128【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确应用相关性质是解题关键15 （3 分）如图，AC 是O 的内接正六边形的一边，点 B 在 上，且 BC 是O 的内接正十边形的一边，若 AB 是 O 的内接正 n 边形的一边，则 n 15 第 14 页（共 31 页）【分析】根据中心角的度数360边数，列式计算分别求出AOB，BOC 的度数，则AOC24，则边数 n360中心角【解答】解：连接 BO，AC 是O 内接正六边形的一边，AOC360660，BC 是O 内接正十边形的一边，BOC3601036，AOBAOCBOC603624，n3602415；故答案为：15【点
26、评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正十边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键16 （3 分）如图，已知点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，以 BE 为边向正方形 ABCD 外部作正方形 BEFG，连接 DF，M、N 分别是 DC、DF 的中点，连接 MN若AB 7，BE5，则 MN 【分析】连接 CF，则 MN 为 DCF 的中位线，根据勾股定理求出 CF 长即可求出 MN的长第 15 页（共 31 页）【解答】解：连接 CF，正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，AB 7，BE5，GFGB 5，BC7，GCGB+BC5+7 12， 1
27、3M、N 分别是 DC、DF 的中点，MN 故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质及中位线定理、勾股定理的运用构造基本图形是解题的关键17 （3 分）如图，将四边形 ABCD 绕顶点 A 顺时针旋转 45至四边形 ABCD的位置，若 AB16 cm，则图中阴影部分的面积为 32 【分析】由旋转的性质得：BAB'45，四边形 AB'C'D'四边形 ABCD，图中阴影部分的面积四边形 ABCD 的面积+扇形 ABB'的面积四边形 AB'C'D'的面积扇形ABB'的面积，代入扇形面积公式计算即可【解答】解：由旋转
28、的性质得：BAB'45，四边形 AB'C'D'四边形 ABCD，则图中阴影部分的面积四边形 ABCD 的面积+扇形 ABB'的面积四边形 AB'C'D'的面积扇形 ABB'的面积 32；故答案为：32【点评】本题考查了旋转的性质、扇形面积公式；熟练掌握旋转的性质，得出阴影部分的面积扇形 ABB'的面积是解题的关键第 16 页（共 31 页）18 （3 分）如图，在ABC 中，AB5，AC 4，若进行以下操作，在边 BC 上从左到右依次取点 D1、D 2、D 3、D 4、；过点 D1 作 AB、AC 的平行线分别交
29、AC、AB 于点E1、F 1；过点 D1 作 AB、 AC 的平行线分别交 AC、AB 于点 E2、F 2；过点 D3 作 AB、AC的平行线分别交 AC、AB 于点 E3、F 3，则 4（D 1E1+D2E2+D2019E2019）+5（D 1F1+D2F2+D2019F2019） 40380 【分析】D 1F1AC，D 1E1AB，可得 ，因为 AB5，BC 4，则有 4D1E1+5D1F120；同理有如下规律4D2E2+5D2F220，4D 2019E2019+5D2019F201920；【解答】解：D 1F1AC，D 1E1AB， ，即 ，AB5，BC 4，4D 1E1+5D1F120
30、，同理 4D2E2+5D2F220，4D 2019E2019+5D2019F201920，4（D 1E1+D2E2+D2019E2019）+5（D 1F1+D2F2+D2019F2019）20201940380；故答案为 40380【点评】本题考查平行线的性质，探索规律；能够根据平行线的性质和等量代换得到4D1E1+5D1F120 是解题的关键三、解答题（本大题共 10 小题，共 96 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19 （8 分）计算或化简：（1） （3） 04cos45；（2） + 第 17 页（共 31 页）【分析】 （1）先化简二次根式、
31、计算零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得；（2）先变形为同分母分式相减，再依据法则计算，继而约分即可得【解答】解：（1）原式2 142 121；（2）原式 a1【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则20 （8 分）解不等式组 ，并写出它的所有负整数解【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 4（x+1）7x+13，得：x3，解不等式 x4 ，得：x2，则不等式组的解集为3x2，所以不等式组的所有负整数解为3、2、1【点评】本题考查的是解一元一次不
32、等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键21 （8 分）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图每天课外阅读时间 t/h 频数 频率第 18 页（共 31 页）0t0.5 240.5t1 36 0.31t1.5 0.41.5t2 12 b合计 a 1根据以上信息，回答下列问题：（1）表中 a 120 ，b 0.1 ；（2）请补全频数分布直力图；（3）若该校有学生 12
33、00 人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过 1 小时的人数【分析】 （1）由 0.5t1 的频数与频率可得总人数 a，再用 12 除以总人数可得 b 的值；（2）总人数乘以 0.4 得出第 3 组频数，从而补全图形；（3）利用样本估计总体思想可得【解答】解：（1）a360.3120，b121200.1，故答案为：120，0.1；（2）1t1.5 的人数为 1200.448，补全图形如下：第 19 页（共 31 页）（3）估计该校学生每天课外阅读时间超过 1 小时的人数为 1200（0.4+0.1）600（人） 【点评】本题主要考查频率分布直方图和频率分布表的知识和分析问题以及解决问题的能力，
34、解题的关键是能够读懂统计图，并从中读出有关信息22 （8 分）只有 1 和它本身两个因数且大于 1 的正整数叫做素数我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数的和” 如 203+17（1）若从 7、11、19、23 这 4 个素数中随机抽取一个，则抽到的数是 7 的概率是 ；（2）从 7、11、19、23 这 4 个素数中随机抽取 1 个数，再从余下的 3 个数中随机抽取1 个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于 30 的概率【分析】 （1）直接根据概率公式计算可得；（2）画树状图得出所
35、有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得【解答】解：（1）从 7、11、19、23 这 4 个素数中随机抽取一个，则抽到的数是 7 的概率是 故答案为 （2）树状图如图所示：第 20 页（共 31 页）共有 12 种可能，满足条件的有 4 种可能，所以抽到的两个素数之和等于 30 的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率23 （10 分） “绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务甲、乙两个工程队每天共
36、整治河道 1500 米，且甲整治 3600 米河道用的时间与乙工程队整治 2400 米所用的时间相等求甲工程队每天修多少米？【分析】直接利用甲整治 3600 米河道用的时间与乙工程队整治 2400 米所用的时间相等，得出等式求出答案【解答】解：设甲工程队每天修 x 米，则乙工程队每天修（1500x）米，根据题意可得： ，解得：x900，经检验得：x900 是原方程的根，故 1500900600（m） ，答：甲工程队每天修 900 米，乙工程队每天修 600 米【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键24 （10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分DAB，已
37、知CE6，BE 8 ，DE 10（1）求证：BEC90；（2）求 cosDAE【分析】 （1）根据平行四边形的性质得出 DCAB，ADCB，DCAB，推出DEAEAB，再根据角平分线性质得出DAEDEA，推出 ADDE10，得出ABCD16，由勾股定理的逆定理即可得出结论；第 21 页（共 31 页）（2）由平行线得出ABEBEC 90，由勾股定理求出 AE 8 ，得出 cosDAEcosEAB，即可得出结果【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB ，ADBC，DCAB，DEAEAB，AE 平分DAB，DAEEAB，DAEDEAADDE 10，BC10，ABCDDE+CE
38、 16，CE 2+BE26 2+82100BC 2，BCE 是直角三角形，BEC90；（2）解：ABCD，ABE BEC90，AE 8 ，cosDAEcosEAB 【点评】本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定、三角函数等知识点，证明 ADDE 是解题的关键25 （10 分）如图，AB 是 O 的弦，过点 O 作 OCOA，OC 交 AB 于 P，CPBC（1）求证：BC 是O 的切线；（2）已知BAO25，点 Q 是 上的一点求 AQB 的度数；若 OA18，求 的长【分析】 （1）连接 OB，根据等腰三角形的性质得到 OAB OBA ，CPB PBC，第 2
39、2 页（共 31 页）等量代换得到APOCBP，根据三角形的内角和得到CBO90，于是得到结论；（2） 根据等腰三角形和直角三角形的性质得到ABO25，APO65，根据三角形外角的性质得到POBAPOABO 40，根据圆周角定理即可得到结论；根据弧长公式即可得到结论【解答】 （1）证明：连接 OB，OAOB ，OABOBA，PCCB，CPBPBC，APOCPB，APOCBP，OCOA，AOP90，OAP+APO 90，CBP+ ABO 90，CBO90，BC 是O 的切线；（2）解： BAO25，ABO25，APO 65，POBAPOABO 40，AQB （AOP +POB） 13065；OA
40、18， AQB 65， 的长 第 23 页（共 31 页）【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，弧长的计算，圆周角定理，熟练正确切线的判定和性质定理是解题的关键26 （10 分）如图，平面内的两条直线 l1、l 2，点 A，B 在直线 l1 上，点 C、D 在直线 l2 上，过 A、B 两点分别作直线 l2 的垂线，垂足分別为 A1，B 1，我们把线段 A1B1 叫做线段 AB在直线 l2 上的正投影，其长度可记作 T（AB，AD） 或 T ，特别地线段 AC 在直线l2 上的正投影就是线段 A1C请依据上述定义解决如下问题：（1）如图 1，在锐角ABC 中，
41、AB5，T （AC ，AB） 3，则 T（BC ，AB ） 2 ；（2）如图 2，在 RtABC 中，ACB90，T （AC，AB） 4，T （BC，AB） 9，求ABC 的面积；（3）如图 3，在钝角ABC 中，A60，点 D 在 AB 边上，ACD90，T（AD， AC） 2 ，T （BC，AB） 6，求 T（BC，CD ） ，【分析】 （1）如图 1 中，作 CHAB根据正投影的定义求出 BH 即可（2）如图 2 中，作 CHAB 于 H由正投影的定义可知 AH4，BH9，利用相似三角形的性质求解 CH 即可解决问题（3）如图 3 中，作 CHAD 于 H，BK CD 于 K根据正投影的
42、定义，求出 CD，DK即可解决问题第 24 页（共 31 页）【解答】解：（1）如图 1 中，作 CHABT （AC，AB） 3，AH3，AB5，BH532，T （BC，AB） BH2，故答案为 2（2）如图 2 中，作 CHAB 于 HT （AC，AB） 4，T （BC，AB） 9，AH4，BH9，ACBCHACHB90，A+ACH90，ACH+BCH90，ABCH，ACHCBH， ， ，CH6，S ABC ABCH 13639第 25 页（共 31 页）（3）如图 3 中，作 CHAD 于 H，BK CD 于 KACD90，T （AD，AC） 2，AC2，A60，ADCBDK30，CD A
43、C2 ，AD2AC 4，AH AC1，DHAD AH3，T （BC，AB） 6，CHAB，BH6，DBBH DH3，在 Rt BDK 中， K 90 ，BD 3，BDK30，DKBDcos30 ，CKCD +DK2 + ，T （BC，CD） CK 【点评】本题属于三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题27 （12 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，AB20，BC10，以 CD 为一边向矩形外部作等腰直角GDC，G90 点 M 在线段 AB 上，且 AMa，点 P
44、沿折线 ADDG运动，点 Q 沿折线 BCCG 运动（与点 G 不重合） ，在运动过程中始终保持线段PQAB设 PQ 与 AB 之间的距离为 x（1）若 a12如图 1，当点 P 在线段 AD 上时，若四边形 AMQP 的面积为 48，则 x 的值为 3 ；在运动过程中，求四边形 AMQP 的最大面积；（2）如图 2，若点 P 在线段 DG 上时，要使四边形 AMQP 的面积始终不小于 50，求 a第 26 页（共 31 页）的取值范围【分析】 （1）P 在线段 AD 上，PQAB20，APx ，AM12，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；当 P，在 AD 上运动时，P 到 D 点时四边形
45、AMQP 面积最大，为直角梯形，得出0x10 时，四边形 AMQP 面积的最大值 （12+20）10160，当 P 在 DG 上运动，10x 20，四边形 AMQP 为不规则梯形，作 PHAB 于 M，交CD 于 N，作 GECD 于 E，交 AB 于 F，则 PMx ，PNx10，EFBC10，由等腰直角三角形的性质得出 GE CD10，得出GFGE+EF20，GH20x，证明GPQGDC ，得出比例式，得出PQ402x，求出梯形 AMQP 的面积 （12+402x）x（x13） 2+169，由二次函数的性质即可得出结果；（2）P 在 DG 上，则 10x 20，AM a，PQ 402x，梯
46、形 AMQP 的面积S （a+402x）x x 2+ x，对称轴 x10+ ，得出 1010+ 15，对称轴在 10 和 15 之间，得出 10x20，二次函数图象开口向下，当 x20 时，S 最小，得出20 2+ 2050，a5；即可得出答案【解答】 （1）解：P 在线段 AD 上，PQAB20，APx，AM12，四边形 AMQP 的面积 （12+20）x48，解得：x3；故答案为：3；当 P，在 AD 上运动时，P 到 D 点时四边形 AMQP 面积最大，为直角梯形，0x10 时，四边形 AMQP 面积的最大值 （12+20）10160，第 27 页（共 31 页）当 P 在 DG 上运动，10x 20，四边形 AMQP 为不规则梯形，作 PHAB 于 M，交 CD 于 N，作 GECD 于 E，交 AB 于 F，如图 2 所示：则 PMx，PNx10，EF BC10，GDC 是等腰直角三角形，DECE，GE CD10 ，GFGE +EF20，GH20x，由题意得：PQCD，GPQ GDC， ，即 ，解得：PQ402x，梯形 AMQP 的面积 （12+402x）xx 2+26x（x13） 2+169，当 x13 时，四边形 AMQP 的面积最大169；
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