1、第 1 页（共 34 页）26.2 用函数观点看一元二次方程同步练习卷一选择题（共 7 小题）1若关于 x 的一元二次方程（x2） （x 3）m 有实数根 x1、x 2，且 x1x 2，有下列结论： x12，x 23 m 二次函数 y（xx 1） （xx 2）+ m 的图象与 x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）其中，正确的结论是（ ）A B C D2已知二次函数 yx 24x +m 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，且点 A 的坐标为（1，0） ，则线段 AB 的长为（ ）A1 B2 C3 D43如图，二次函数 yax 2+bx+c 图象的对称轴是直线 x 1，与 x 轴一个交点 A（
2、3，0） ，则与 x 轴的另一个交点坐标是（ ）A （0， ） B （ ，0） C （0，1） D （1，0）4函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 ax2+bx+c40 的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个异号的实数根C有两个不相等的实数根 D没有实数根5用“描点法”画二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象时，列了如下表格：x 0 1 2 3 4 y 3 4 3 0 5 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程 ax2+bx+c50 的解为（ ）第 2 页（共 34 页）Ax 12，x 24 Bx 11，x 23 Cx 13，x 24 Dx 14，
3、x 246已知抛物线 y（x +a） （x a1） （a 为常数，a0） 有下列结论（1）抛物线的对称轴为 x ；（2） （x+a） （x a1）1 有两个不相等的实数根；（3）抛物线上有两点 P（x 0，m ） ，Q （1，n） ，若 mn，则 0x 01其中，正确结论的个数为（ ）A0 B1 C2 D37二次函数 yx 2+bx 的对称轴为直线 x2，若关于 x 的一元二次方程 x2+bxt 0（t 为实数）在1x 4 的范围内有解，则 t 的取值范围是（ ）A0t5 B4t5 C4t 0 Dt4二填空题（共 4 小题）8已知二次函数 yax 2+bx（ a0）的最小值是3，若关于 x 的
4、一元二次方程ax2+bx+c0 有实数根，则 c 的最大值是 9抛物线 ya（x h） 2+k 经过（1，0） ， （5，0）两点，则关于 x 的一元二次方程a（xh+1 ） 2+k0 的解是 10已知二次函数 y3x 2+2x+n，当自变量 x 的取值在1x1 的范围内时，函数与 x 轴有且只有一个公共点，则 n 的取值范围是 11二次函数 yax 2+bx 的图象如图所示，若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+k10 没有实数根，则 k 的取值范围为 三解答题（共 15 小题）12已知关于 x 的一元二次方程 x2（k +5）x+3k+60（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方
5、程有一个根大于2 且小于 0，k 为整数，求 k 的值第 3 页（共 34 页）13如图，抛物线 yax 2+bx（a0）交 x 轴正半轴于点 A，直线 y2x 经过抛物线的顶点M已知该抛物线的对称轴为直线 x2，交 x 轴于点 B（1）求 M 点的坐标及 a，b 的值；（2）P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接 OP，BP设点 P 的横坐标为 m，OBP 的面积为 S，当 m 为多少时，s 14已知关于 x 的二次函数 yx 2+（k1）x+k（1）试判断该函数的图象与 x 轴的交点的个数；（2）求该函数的图象顶点 M 的坐标（用 k 的代数式表示） ；（3）当3k3 时，
6、求顶点 M 的纵坐标的取值范围15如图，抛物线 yax 2bx+4 与坐标轴分别交于 A，B ，C 三点，其中 A（3，0） ，B（8， 0） ，点 D 在 x 在轴上， ACCD，过点 D 作 DE x 轴交抛物线于点 E，点 P，Q分别是线段 CO，CD 上的动点，且 CPQD（1）求抛物线的解析式（2）记APC 的面积为 S1，PCQ 的面积为 S2，QED 的面积为 S3，若S1+S34S 2，求出 Q 点坐标（3）连结 AQ，则 AP+AQ 的最小值为 （请直接写出答案）16如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（1 ，0） ，B （5，0）两点（1）求抛物线的解析
7、式；（2）在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 x 轴于点 D，连接 AC，且 AD5，CD8，将 Rt ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值第 4 页（共 34 页）17如图，点 M（1，3）在抛物线 yax 2+bx2 上，且该抛物线与 x 轴分别交于点 A 和点 B（ 1，0） ，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 是抛物线对称轴上的一个动点，求 OD+MD 的最小值；（3）点 N 是抛物线上除点 M 外的一点，若ACN 与ACM 的面积相等，求点 N 的坐标18在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx 与抛物线 yax
8、 2（3+a）x+3（a0）交于A，B 两点，并且 OAOB（1）当 a1 时，求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）当 2 时，求 a 的取值范围19定义：在平面直角坐标系中，图形 G 上点 P（x，y）的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差yx 称为 P 点的“坐标差” ，记作 Zp，而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G 的“特征值” （1） 点 A（ 3，1）的“坐标差”为 ；求抛物线 yx 2+5x 的“特征值” ；第 5 页（共 34 页）（2）某二次函数 yx 2+bx+c（c0）的“特征值”为 1，点 B（m ，0）与点 C 分别是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴
9、的交点，且点 B 与点 C 的“坐标差”相等直接写出 m ；（用含 c 的式子表示）求此二次函数的表达式20抛物线 yx 2+2x+m 与 x 轴有两个不同的交点，求 m 的取值范围21如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴相交于 A（1，0） ，B （3，0） ，于 y 轴交于 C（1）求该抛物线的解析式；（2）若 M 是抛物线的对称轴与直线 BC 的交点，N 是抛物线的顶点，求 MN 的长；（3）若点 P 是抛物线上点，当 SPAB 8 时，求点 P 的坐标22如图，已知抛物线 yx 2+ax3 交 x 轴于点 A，D 两点，交 y 轴于点 C，过点 A 的直线与 x 轴下方的抛物线
10、交于点 B，已知点 A 的坐标是（1，0） （1）求 a 的值；（2）连结 BD，求ADB 面积的最大值；（3）当ADB 面积最大时，求点 C 到直线 AB 的距离23已知二次函数 yx 22x3（1）请你把已知的二次函数化成 y（xh） 2+k 的形式，并在平面直角坐标系中画出它的图象；（2）如果 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）是（1）中像上的两点，且 x1x 21，请直接写出第 6 页（共 34 页）y1、y 2 的大小关系为 （3）利用（1）中的图象表示出方程 x22x10 的根，画在（1）的图象上即可，要求保留画图痕迹24阅读下列材料我们通过下列步骤估计方程 2x2+x2
11、0 的根的所在的范围第一步：画出函数 y2x 2+x 2 的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与 x 轴的一个交点的横坐标在 0，1 之间第二步：因为当 x0 时，y 20；当 x1 时，y10所以可确定方程 2x2+x20 的一个根 x1 所在的范围是 0x 11第三步：通过取 0 和 1 的平均数缩小 x1 所在的范围；取 x ，因为当 x 时，y 0，又因为当 x1 时，y 0，所以 x 11（1）请仿照第二步，通过运算，验证 2x2+x20 的另一个根 x2 所在范围是2x 21；（2）在2x 21 的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将 x2 所在范围缩小至 mx 2n，使
12、得 nm 25 （1）已知二次函数 yx 22x 3，请你化成 y（xh） 2+k 的形式为 ，并在直角坐标系中画出 yx 22x 3 的图象；第 7 页（共 34 页）（2）如果 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）是（1）中图象上的两点，且 x1x 21，请直接写出 y1、y 2 的大小关系为 ；（3）利用（1）中的图象表示出方程 x22x10 的根来，要求保留画图痕迹，说明解题思路即可，不用计算结果26利用函数的图象，求方程 x22x+3 的解第 8 页（共 34 页）参考答案与试题解析一选择题（共 7 小题）1若关于 x 的一元二次方程（x2） （x 3）m 有实数根 x1、x
13、 2，且 x1x 2，有下列结论： x12，x 23 m 二次函数 y（xx 1） （xx 2）+ m 的图象与 x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）其中，正确的结论是（ ）A B C D【分析】将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式0，列出关于 m 的不等式，求出不等式的解集即可对选项进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为 6m ，这只有在 m0 时才能成立，故选项错误；将选项中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令 y0，得到关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，确定
14、出二次函数图象与 x 轴的交点坐标，即可对选项进行判断【解答】解：一元二次方程（x2） （x3）m 化为一般形式得：x 25x+6m0，方程有两个不相等的实数根 x1、x 2，b 24ac（5） 24（6m ）4m +10，解得：m ，故选项正确；一元二次方程实数根分别为 x1、x 2，x 1+x25，x 1x26m，而选项 中 x12，x 23，只有在 m0 时才能成立，故选项错误；二次函数 y（x x 1） （xx 2）+mx 2（x 1+x2）x+x 1x2+mx 25x+（6m）+m x25x+6（x2） （x3） ，令 y0，可得（x 2） （x 3 ）0，解得：x2 或 3，抛物线
15、与 x 轴的交点为（2，0）或（3，0） ，故选项正确故选：A【点评】此题考查了抛物线与 x 轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题2已知二次函数 yx 24x +m 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，且点 A 的坐标为（1，0） ，第 9 页（共 34 页）则线段 AB 的长为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】将点 A（1，0）代入 yx 24x+m ，求出 m 的值，结合韦达定理AB| x1x 2| ；【解答】解：将点 A（1，0）代入 yx 24x+m ，得到 m3，所以 yx 24x +3，与 x 轴交于两点，设 A（x 1，y 1）
16、 ，b（x 2，y 2）x 24x+30 有两个不等的实数根，x 1+x24，x 1x23，AB|x 1x 2| 2；故选：B【点评】本题考查一元二次函数根与系数的关系；熟练掌握二次函数 x 轴上两点间的距离与根与系数的关系是解题的关键3如图，二次函数 yax 2+bx+c 图象的对称轴是直线 x 1，与 x 轴一个交点 A（3，0） ，则与 x 轴的另一个交点坐标是（ ）A （0， ） B （ ，0） C （0，1） D （1，0）【分析】找出点 A 关于 x1 的对称点的坐标即可【解答】解：点 A 的坐标为（3，0） ，点 A 关于 x 1 的对称点的坐标为（1，0） 故选：D【点评】本题
17、主要考查的是抛物线与 x 轴的交点，利用抛物线的对称性求得点 A 的对称点的坐标是解题的关键4函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 ax2+bx+c40 的根的情况是（ ）第 10 页（共 34 页）A有两个相等的实数根 B有两个异号的实数根C有两个不相等的实数根 D没有实数根【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为 4，判断方程 ax2+bx+c40 的根的情况即是判断函数 yax 2+bx+c 的图象与直线 y4 交点的情况【解答】解：函数的顶点的纵坐标为 4，直线 y4 与抛物线只有一个交点，方程 ax2+bx+c40 有两个相等的实数根故选：A【点评】此题主要
18、考查了方程 ax2+bx+c40 的根的情况，先看函数 yax 2+bx+c 的图象的顶点坐标纵坐标，再通过图象可得到答案5用“描点法”画二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象时，列了如下表格：x 0 1 2 3 4 y 3 4 3 0 5 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程 ax2+bx+c50 的解为（ ）Ax 12，x 24 Bx 11，x 23 Cx 13，x 24 Dx 14，x 24【分析】由表格中的数据可求出抛物线的解析式，则一元二次方程 ax2+bx+c50 中各项的系数已知，再解方程即可【解答】解：由题意可知点（0，3） ， （1，4） ， （2，3）在二次函数 y
19、ax 2+bx+c的图象上，则 ，解得： ，所以一元二次方程 ax2+bx+c50 可化为：x 22x3 50，解得：x 12，x 24，第 11 页（共 34 页）故选：A【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：对于二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0） ，b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数：b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点6已知抛物线 y（x +a） （x a1） （a 为常数，a0） 有下列结论（1）抛物线的对称轴为 x ；（2） （x+a）
20、 （x a1）1 有两个不相等的实数根；（3）抛物线上有两点 P（x 0，m ） ，Q （1，n） ，若 mn，则 0x 01其中，正确结论的个数为（ ）A0 B1 C2 D3【分析】 （1）先把二次函数化为一般式 yx 2x a 2a，即可求出对称轴为 x ；（2）令 y1，即 x2x a 2 a1，计算判别式即可判断方程根的情况；（3）利用二次函数的增减性即可判断抛物线上两点 P（x 0，m） ，Q （1，n） ，若函数值mn 时，则自变量 0x 01【解答】解：抛物线 y（x +a） （x a1）x 2xa 2a，（1）抛物线的对称轴为 x ，所以此答案正确；（2）令 y1，即 x2x
21、a 2 a1，整理得一元二次方程 x2x a 2a10，14（a 2a1）4a 2+4a+52（a+1 ） 2+30，（x+a） （x a1）1 有两个不相等的实数根，所以此答案正确；（3）10，抛物线开口向上，当 x 时，y 随 x 的增大而减小，当 x 时，y 随 x 的增大而增大，若 mn，则 0x 01，所以此答案正确（1） （2） （3）均正确，故选：D【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的判别式，灵活应用这些性质是解题的关键第 12 页（共 34 页）7二次函数 yx 2+bx 的对称轴为直线 x2，若关于 x
22、的一元二次方程 x2+bxt 0（t 为实数）在1x 4 的范围内有解，则 t 的取值范围是（ ）A0t5 B4t5 C4t 0 Dt4【分析】先求出 b，确定二次函数解析式，关于 x 的一元二次方程 x2+bxt0 的解可以看成二次函数 yx 24x 与直线 yt 的交点，1x 4 时4y5，进而求解；【解答】解：对称轴为直线 x2，b4，yx 24x，关于 x 的一元二次方程 x2+bxt0 的解可以看成二次函数 yx 24x 与直线 yt 的交点，1x4，二次函数 y 的取值为4y5，4t5；故选：B【点评】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与
23、直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键二填空题（共 4 小题）8已知二次函数 yax 2+bx（ a0）的最小值是3，若关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c0 有实数根，则 c 的最大值是 3 【分析】利用公式先表示出二次函数的最值，由此得到 b212a，再利用关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有实数根，得到b 24ac 0，代入得到 12a4ac0，求解即可求出 c 的最大值【解答】解：二次函数 yax 2+bx（a0）的最小值是 3，a0，且 3，即 b212a，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有实数根，b 24ac0，即 12a4ac0，即 4a（3c
24、 ）0，3c0，即 c3，c 的最大值为 3故答案为：3第 13 页（共 34 页）【点评】本题考查了二次函数的最值和一元二次方程有实数根的条件，综合应用即可解决问题9抛物线 ya（x h） 2+k 经过（1，0） ， （5，0）两点，则关于 x 的一元二次方程a（xh+1 ） 2+k0 的解是 x 12，x 24 【分析】将抛物线 ya（x h） 2+k 向左平移一个单位得到 ya（x h+1 ） 2+k，然后根据抛物线 ya（x h） 2+k 经过（1，0） ， （5，0）两点，可以得到 a（xh+1）2+k0 的解【解答】解：将抛物线 ya（xh） 2+k 向左平移一个单位长度后的函数解
25、析式为ya（xh+1） 2+k，抛物线 ya（x h） 2+k 经过（ 1，0） ， （5，0）两点，当 a（xh+1） 2+k 的解是 x12，x 24，故答案为：x 12，x 24【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答10已知二次函数 y3x 2+2x+n，当自变量 x 的取值在1x1 的范围内时，函数与 x 轴有且只有一个公共点，则 n 的取值范围是 5n1 或 n 【分析】先确定抛物线的对称轴为直线 x ，讨论：若抛物线与 x 轴有两个交点，利用函数图象，当 x1，y0 且 x1，y0 时，在1x 1 的范围
26、内时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，即 32+n0 且 3+2+n0；若抛物线与 x 轴有两个交点，则2 243n0，在1x1 的范围内时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，然后分别解不等式组或方程即可【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x ，若抛物线与 x 轴有两个交点，则当 x1，y 0 且 x1，y 0 时，在1x1 的范围内时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，即 32+n0 且 3+2+n0，解得5n1；若抛物线与 x 轴有两个交点，则2 243n0，在1x1 的范围内时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，即 n ，综上所述，n 的取值范围是5n1 或 n 第 14 页（共
27、 34 页）故答案为5n1 或 n 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质11二次函数 yax 2+bx 的图象如图所示，若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+k10 没有实数根，则 k 的取值范围为 k1 【分析】把关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+k10 没有实数根看作为抛物线 yax 2+bx与直线 yk+1 没有交点，结合图象得到当k +12 时，直线 yk+1 与抛物线yax 2+bx 没有交点，从而得到 k 的范围【解答】解：把关
28、于 x 的一元二次方程 ax2+bx+k10 没有实数根看作为抛物线yax 2+bx 与直线 yk+1 没有交点，而当k+12 时，直线 yk +1 与抛物线 yax 2+bx 没有交点，所以当 k1 时，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+k1 0 没有实数根故答案为 k1【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程解决此题的关键是数形结合的思想的运用三解答题（共 15 小题）12已知关于 x 的一元二次方程 x2（k +5）x+3k+60（1）求证：此方程总有两个实数根；
29、（2）若此方程有一个根大于2 且小于 0，k 为整数，求 k 的值【分析】 （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出0，根据判别式的意义即可证明；第 15 页（共 34 页）（2）设方程的两个根分别是 x1，x 2，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系求得 k 的取值范围，再进一步求出 k 的整数值【解答】 （1）证明：（k5） 24（3k +6）k 22k+1（k1） 20，无论 k 为何值，方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根分别是 x1，x 2，解方程得 x ，x 1k+2，x 23由题意可知2k+20，即4k2k 为整数k3【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的
30、交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中13如图，抛物线 yax 2+bx（a0）交 x 轴正半轴于点 A，直线 y2x 经过抛物线的顶点M已知该抛物线的对称轴为直线 x2，交 x 轴于点 B（1）求 M 点的坐标及 a，b 的值；（2）P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接 OP，BP设点 P 的横坐标为 m，OBP 的面积为 S，当 m 为多少时，s 【分析】 （1）通过直线 y2x 确定 M 点的坐标，然后利用对称轴方程和二次函数图象上点的坐标特征列关于 a、b 的方程组，再解方程组得到 a、b 的值；（2
31、）设 P（m，m 2+4m） ，利用三角形面积公式得到 2（m 2+4m） ，然后解方程求出即可得到满足条件的 m 的值【解答】解：（1）将 x2 代入 y2x 得 y4第 16 页（共 34 页）M（2，4） ，根据题意得 ，解得 ；（2）抛物线解析式为 yx 2+4x，设 P（m，m 2+4m） ，B（2，0） 2（m 2+4m） ，m24m ，解得 m1 ，m 2 ，P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，m 的值为 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也
32、考查了二次函数的性质14已知关于 x 的二次函数 yx 2+（k1）x+k（1）试判断该函数的图象与 x 轴的交点的个数；（2）求该函数的图象顶点 M 的坐标（用 k 的代数式表示） ；（3）当3k3 时，求顶点 M 的纵坐标的取值范围【分析】 （1）计算判别式的值得到（k+1） 20，然后根据判别式的意义确定该函数的图象与 x 轴的交点的个数；（2）利用配方法，把一般式配成顶点式即可得到该函数的图象顶点 M 的坐标；（3）设顶点 M 的纵坐标为 t，利用（2）的结论得到 t （k+1） 2，则 t 为 k 的二次函数，然后利用二次函数的性质求解【解答】解：（1）（k1） 24（1）kk2+2
33、k+1（k+1） 20，该函数的图象与 x 轴的交点的个数为 1 个或 2 个；（2）yx 2+（k 1）x+kx 2（k1）x +（ ） 2（ ） 2+k（x ） 2+第 17 页（共 34 页）该函数的图象顶点 M 的坐标为（ ， ） ；（3）设顶点 M 的纵坐标为 t，则 t （k+1） 2，当 k1 时，t 有最小值 0；当3k1，t 随 k 的增大而减小，则 0t1；当1k3 时，t 随 k 的增大而减小，则 0t4，t 的范围为 0t4，即当3k3 时，顶点 M 的纵坐标 t 的取值范围为 0t4【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax 2+bx+c（a，b，
34、c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数（b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b 24ac0时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点） 也考查了二次函数的性质15如图，抛物线 yax 2bx+4 与坐标轴分别交于 A，B ，C 三点，其中 A（3，0） ，B（8， 0） ，点 D 在 x 在轴上， ACCD，过点 D 作 DE x 轴交抛物线于点 E，点 P，Q分别是线段 CO，CD 上的动点，且 CPQD（1）求抛物线的解析式（2）记APC 的面积为 S1，P
35、CQ 的面积为 S2，QED 的面积为 S3，若S1+S34S 2，求出 Q 点坐标（3）连结 AQ，则 AP+AQ 的最小值为 （请直接写出答案）【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）作 QNOD，根据等腰三角形的性质得出 D（3，0 ） ，进而求得 E（3，5） ，根据勾股定理求得 CD5，设 PCQDx ，由NQC ODC 的性质得出NQ ，根据 S1+S34S 2，列出关于 x 的方程，即可求得 x 的值，进而求得 NQ和 ON，就求得 Q 点的坐标第 18 页（共 34 页）（3）连接 AE，先证明ACPEQD ，则 APEQ ，所以 AP+AQEQ+AQ，利用三角
36、形三边的关系得到 EQ+AQAE（当且仅当点 A、Q、E 共线时取等号） ，然后计算出AE 即可【解答】解：（1）抛物线 yax 2bx +4 与坐标轴分别交于 A，B，C 三点，其中A（3，0） ，B（8，0） ，C（0，4） ，设抛物线的解析式为 ya（x+3） （x 8） ，代入 C 点的坐标得，424 a，a ，y （x+3） （x 8） ，抛物线的解析式为：y x2+ x+4；（2）ACCD，COAD，ODOA 3 ，D（3，0） ，E 点的横坐标为 3，把 x3 代入 y x2+ x+4 得，y5，E（3，5） ，OD3，OC4，CD5，设 PCQDx，作 QNOD，交 OC 于
37、N，NQCODC， ，即 ，NQ ，S 1+S34S 2，x3+ 53 4 x解得 x ，第 19 页（共 34 页）QD ，CQ5 ， ， ，NQ ，CN ，ON4CN ，Q（ ， ） ；（3）连接 AE，ACCD，COAD，OC 平分ACD，ACODCO，EDOC，DCOCDE，DECDAC5，CPQD ，ACPEDQ，APEQ ，AP+AQEQ+AQ，而 EQ+AQAE（当且仅当点 A、Q、E 共线时取等号） ，EQ+ AQ 的最小值 ，AQ+ AP 的最小值为 ，故答案为 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会
38、利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与第 20 页（共 34 页）图形性质16如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（1 ，0） ，B （5，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 x 轴于点 D，连接 AC，且 AD5，CD8，将 Rt ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值【分析】 （1）将点 A（1，0） ，B（5，0）代入函数解析式即可；（2）根据条件求出 C（6， 8） ，沿 x 轴向右平移 m 个单位后 C 点坐标为（6+m，8） ，再将点平移后的 C 点代入函数解析式即可求解；【解答】
39、解：（1）抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（1，0） ，B （5，0） ，b4，c5，yx 2+4x+5；（2）由 AD5，CD8，可得：D（6，0） ，C（6，8） ，将 Rt ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位后 C 点坐标为（6+m，8） ，当 C 在抛物线上时，8（ m6） 2+4（m6）+5，m7 或 m9；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；掌握待定系数法求函数解析式，理解平面内点的平移特点是解题的关键17如图，点 M（1，3）在抛物线 yax 2+bx2 上，且该抛物线与 x 轴分别交于点 A 和点 B（ 1，0） ，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解
40、析式；（2）若点 D 是抛物线对称轴上的一个动点，求 OD+MD 的最小值；第 21 页（共 34 页）（3）点 N 是抛物线上除点 M 外的一点，若ACN 与ACM 的面积相等，求点 N 的坐标【分析】 （1）将点 M（1， 3）和 B（1，0）代入 y ax2+bx2 即可求解；（2）作点 M（1，3）关于对称轴的对称点为 M（2，3） ，连接 OM，则 OD+MD的最小值为 OD+DMOM；（3） 过 M 做 MNAC 交抛物线与点 N1，直线 MN1 的解析式为为 y x ，与抛物线解析式联立求 N；过点 M 作 MGx 轴，交 AC 于点 H，过点 G 作 N2N3AC，交抛物线与点
41、 N2，N 3，则直线 N2N3 的解析式为 y x ，与抛物线解析式联立求 N的坐标；【解答】解：（1）将点 M（ 1，3）和 B（1，0）代入 yax 2+bx2， ， ，抛物线解析式为 y ；（2）如图 1：作点 M（1， 3）关于对称轴的对称点为 M（2，3） ，连接 OM，则 OD+MD 的最小值为 OD+DMOM ；OM ；（3）由（1）可求 A（4，0） ，C（0，2） ，AC 的直线解析式为 y x2，ACN 与 ACM 的面积相等，MNAC，第 22 页（共 34 页）如图所示：过 M 做 MNAC 交抛物线与点 N1M（1，3） ，直线 MN1 的解析式为 y ，联立得 ，
42、 或 ，N 1（3，2） ；过点 M 作 MGx 轴，交 AC 于点 H，H（1， ） ，GHHM ，过点 G 作 N2N3AC，交抛物线与点 N2，N 3，则直线 N2N3 的解析式为 y x ，联立得 ， 或 ，N 2（2+ ， ） ，N 3（2 ， ） ；满足条件的 N 有三个分别是 N1（3，2） ，N 2（2+ ， ） ，N 3（2 ，） ；第 23 页（共 34 页）【点评】本题考查二次函数的图象及性质，最短距离；熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求最短距离，掌握直线与抛物线交点坐标的求法是解题的关键18在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx 与抛物线 yax 2（3+a
43、）x+3（a0）交于A，B 两点，并且 OAOB（1）当 a1 时，求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）当 2 时，求 a 的取值范围【分析】 （1）把 a1 代入函数解析式得到关于 x 的一元二次方程 x24x+30，通过解该方程求得抛物线与 x 轴交点的横坐标；（2）根据题意得到直线 AB 与抛物线的交点坐标，依据限制性条件 2 来求 a 的取值范围【解答】解：（1）把 a1 代入 yax 2（3+a）x +3（a0） ，得 yx 24x +3令 y0，即 x24x +30，解得 x11，x 23抛物线与 x 轴的交点坐标是（1，0） ， （3，0） ；（2）依题意得：xax 2（3+a）
44、x +3（a0） ，解得 x11，x 2 与 y 轴交于（ 0，3） 当 a0，OB4 时，B（4 ，4） 解得 a 当 OB2 时 B（2，2） 解得 a a ；同理，当 a0 时， a 第 24 页（共 34 页） a 或 a 【点评】考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象与系数的关系，函数图象与性质等知识点，综合性较强，解题时，需要对 a 的取值进行分类讨论19定义：在平面直角坐标系中，图形 G 上点 P（x，y）的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差yx 称为 P 点的“坐标差” ，记作 Zp，而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G 的“特征值” （1） 点 A（ 3，
45、1）的“坐标差”为 2 ；求抛物线 yx 2+5x 的“特征值” ；（2）某二次函数 yx 2+bx+c（c0）的“特征值”为 1，点 B（m ，0）与点 C 分别是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点，且点 B 与点 C 的“坐标差”相等直接写出 m c ；（用含 c 的式子表示）求此二次函数的表达式【分析】 （1）由“坐标差”的定义可求出点 A（3，1）的“坐标差” ；用 yx 可找出 yx 关于 x 的函数关系式，再利用配方法即可求出 yx 的最大值，进而可得出抛物线 yx 2+5x 的“特征值” ；（2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，由“坐标差”的定义结合点 B 与点 C 的“
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